3次元球面

半径rの3次元球面の3次元表面積は

${\displaystyle SV=2\pi ^{2}r^{3}\,}$

4次元超体積（3次元球面によって囲まれた4次元領域、つまり球の内容）は

${\displaystyle H={\frac {1}{2}}\pi ^{2}r^{4}.}$

3次元球面と3次元超平面との空でない交点はすべて2次元球面になります（ただし、超平面が3次元球面に接している場合は、交点は1点になります）。3次元球面が与えられた3次元超平面を通過する際、交点は最初は1点ですが、その後、超平面が3次元球面の「赤道」を横切るときに最大サイズに達する、成長する2次元球面になります。そして、3次元球面が超平面から離れると、2次元球面は再び1点に縮小します。

与えられた3次元超平面において、3次元球面は「赤道面」を中心に回転することができる（2次元球面が中心軸を中心に回転するのと同様）。この場合、3次元球面は大きさが一定の2次元球面のように見える。

3次元球面とは、境界を持たないコンパクトで連結な3次元多様体です。また、単連結でもあります。これは広義には、3次元球面上の任意のループ、つまり円形の経路は、球面から出ることなく一点まで連続的に縮小できることを意味します。 2003年にグリゴリー・ペレルマンによって証明されたポアンカレ予想は、3次元球面が（同相写像を除いて）これらの性質を持つ唯一の3次元多様体であることを示しています。

3次元球面は、R ³の一点コンパクト化と同相である。一般に、3次元球面と同相な位相空間は、位相的3次元球面と呼ばれる。

3-球面のホモロジー群は次のようになります。H 0 ( S 3 , ^Z )とH 3 ( _S 3 , _Z )はどちらも無限巡回群ですが、他のすべてのインデックスiに対してH _i ( S ^{3 ,} Z ) = {0}となります。これらのホモロジー群を持つ任意の位相空間は、ホモロジー 3-球面として知られています。当初、ポアンカレはすべてのホモロジー 3-球面がS ³と同相であると予想しましたが、その後、同相でないものを自ら構成し、現在ではポアンカレ ホモロジー球面として知られています。現在では、無限に多くのホモロジー球面が存在することが知られています。たとえば、 3-球面の任意の結び目上の傾き⁠ 1 / n ⁠のデーン充填はホモロジー球面を与えます。通常、これらは 3-球面と同相ではありません。

ホモトピー群については、 π ₁ ( S ³ ) = π ₂ ( S ³ ) = 0であり、π ₃ ( S ³ )は無限巡回群です。高次のホモトピー群 ( k ≥ 4 ) はすべて有限アーベル群ですが、それ以外に明確なパターンはありません。詳細については、「球面のホモトピー群」を参照してください。

3次元球面は自然に滑らかな多様体であり、実際にはR ⁴の閉じた埋め込み部分多様体です。R 4上のユークリッド計量は 3次元球面上に計量を誘導し、リーマン多様体の構造を与えます。すべての球面と同様に、3次元球面は一定の正の断面曲率を持ち^、その値は半径rに対して1 / r ²に等しくなります。

3次元球面の興味深い幾何学的特徴の多くは、3次元球面が四元数の乗算によって与えられる自然なリー群構造を持つという事実に由来する（群構造に関する以下のセクションを参照）。このような構造を持つ他の球面は、0次元球面と1次元球面のみである（円群を参照）。

2次元球面とは異なり、3次元球面は非零ベクトル場（接束の断面）を許容します。3つの線形独立かつ非零ベクトル場を見つけることも可能です。これらは、3次元球面のリー代数の基底を形成する任意の左不変ベクトル場とみなすことができます。これは、3次元球面が平行化可能であることを意味します。したがって、3次元球面の接束は自明です。n次元球面上の線形独立ベクトル場の数に関する一般的な議論については、 「球面上のベクトル場」の記事を参照してください。

円群TのS ³への興味深い作用があり、3 次元球面にホップ束として知られる主円束の構造を与えます。S ³をC ²の部分集合と考えると、作用は次のように与えられます。

${\displaystyle (z_{1},z_{2})\cdot \lambda =(z_{1}\lambda ,z_{2}\lambda )\quad \forall \lambda \in \mathbb {T} }$。

この作用の軌道空間は、2次元球面S ²と同相である。S ^3はS 2 ^× S 1^と同相ではないため、ホップ束は非自明である。

3次元球面は、2つの3次元球面の境界を「貼り合わせる」ことによって位相的に構築できます。3次元球面の境界は2次元球面であり、これら2つの2次元球面は同一視されます。つまり、同じ大きさの2つの3次元球面を想像し、それらの2次元球面の境界が一致するように重ね合わせ、2次元球面上の対応する点のペアが互いに完全に等価であるとします。2次元球面の場合（下記参照）と同様に、貼り合わせ面は赤道球面と呼ばれます。

3つの球の内部は互いに接着されていないことに注意してください。4次元目を考える一つの方法は、3つの球の3次元座標の連続実数値関数、おそらく「温度」と考えることです。接着する2つの球に沿って「温度」をゼロとし、一方の3つの球を「高温」、もう一方の3つの球を「低温」とします。「高温」の3つの球は「上半球」、低温の3つの球は「下半球」と考えることができます。温度は、2つの3つの球の中心で最高/最低になります。

この構成は、一対の円盤の境界を貼り合わせることによって作られる2次元球の構成に類似しています。円盤は2次元球であり、円盤の境界は円（1次元球）です。直径が同じ一対の円盤を考えます。それらを重ね合わせ、境界上の対応する点を貼り合わせます。ここでも、3次元目を温度と考えることができます。同様に、2次元球を膨張させ、一対の円盤を移動させて北半球と南半球にすることができます。

2次元球面から1点を取り除くと、残ったものはユークリッド平面と同相になります。同様に、3次元球面から1点を取り除くと、3次元空間が得られます。これを視覚的に理解するのに非常に便利なのが立体投影です。まず、低次元版について説明します。

単位2次元球面の南極を3次元空間のxy平面上に置きます。球面上の点P（北極Nを除く）を、直線NPと平面の交点に写像することで、平面にマッピングします。3次元球面（ここでも北極を除く）の立体投影も、同様の方法で3次元空間にマッピングされます。（立体投影は等角写像であるため、球面は球面または平面に写像されることに注意してください。）

一点コンパクト化を少し違った角度から考える方法として、指数写像を用いる方法があります。ユークリッド平面上に配置された単位2球面の図に戻りましょう。平面上の原点を基準とした測地線を考え、これを2球面上の南極を基準とした同じ長さの測地線に写像します。この写像によって、半径πの円上のすべての点が北極に送られます。開いた単位円盤はユークリッド平面と同相なので、これもまた一点コンパクト化です。

3次元球面に対する指数写像も同様に構築されます。また、3次元球面が単位四元数のリー群であるという事実を用いて議論することもできます。

S ²上の通常の球面座標に類似した何らかの超球面座標をS ³上に持つと便利です。そのような選択肢の 1 つは( ψ , θ , φ )を使用することです (決して唯一の選択肢ではありません) 。ここで

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&=r\cos \psi \\x_{1}&=r\sin \psi \cos \theta \\x_{2}&=r\sin \psi \sin \theta \cos \varphi \\x_{3}&=r\sin \psi \sin \theta \sin \varphi \end{aligned}}}$

ここで、ψとθは0からπまでの範囲をとり、φは0から2πまでの範囲をとります。なお、ψの任意の固定値に対して、θとφは半径の2次元球面をパラメータ化します。${\displaystyle r\sin \psi }$ただし、 ψが0またはπに等しい場合の退化ケースを除き、その場合は点を表します。

これらの座標における3次元球面上の円形計量は^{[ 2 ]で与えられる。}

${\displaystyle ds^{2}=r^{2}\left[d\psi ^{2}+\sin ^{2}\psi \left(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}\right)\right]}$

そしてボリュームは

${\displaystyle dV=r^{3}\left(\sin ^{2}\psi \,\sin \theta \right)\,d\psi \wedge d\theta \wedge d\varphi .}$

これらの座標は、四元数を用いて簡潔に記述できます。任意の単位四元数q は、次のように表すことができます。

${\displaystyle q=e^{\tau \psi }=\cos \psi +\tau \sin \psi }$

ここでτは単位虚数四元数、すなわちτ² = −1を満たす四元数^である。これはオイラーの公式の四元数版である。単位虚数四元数はすべてIm Hの単位2球面上にあるので、そのようなτは次のように書ける。

${\displaystyle \tau =(\cos \theta )i+(\sin \theta \cos \varphi )j+(\sin \theta \sin \varphi )k}$

この形式のτを用いると、単位四元数qは次のように与えられる。

${\displaystyle q=e^{\tau \psi }=x_{0}+x_{1}i+x_{2}j+x_{3}k}$

ここで、x _0,1,2,3は上記のとおりである。

q が空間回転を記述するために使用される場合(四元数と空間回転を参照)、それはτを中心とした2 ψの角度の回転を記述します。

単位半径の場合、別の超球座標( η , ξ ₁ , ξ ₂ )は、 S ^3のC ²への埋め込みを利用する。複素座標( z ₁ , z ₂ ) ∈ C ²では、次のように書く。

${\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}&=e^{i\,\xi _{1}}\sin \eta \\z_{2}&=e^{i\,\xi _{2}}\cos \eta .\end{aligned}}}$

これはR ⁴で次のように表現することもできます。

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&=\cos \xi _{1}\sin \eta \\x_{1}&=\sin \xi _{1}\sin \eta \\x_{2}&=\cos \xi _{2}\cos \eta \\x_{3}&=\sin \xi _{2}\cos \eta .\end{aligned}}}$

ここでηは0からπ / 2までの範囲をとり、 ξ1とξ2は₀から2πまでの任意の値をとることができます。これらの座標は、 _{3次元球面を}ホップ束として記述する際に役立ちます。

${\displaystyle S^{1}\to S^{3}\to S^{2}.\,}$

η の値が0 からπ / 2の間の任意の固定値の場合、座標( ξ1 , ξ2 )_は2 次元トーラスをパラメータ化します。_上記の定数ξ1と_{ξ2のリングは、トーラス上に単純な直交グリッドを形成します。右の画像}を参照してください。退化ケースでは、 η が0 またはπ / 2の場合、これらの座標は円を記述します。

これらの座標における3次元球面上の円形計量は次のように与えられる。

${\displaystyle ds^{2}=d\eta ^{2}+\sin ^{2}\eta \,d\xi _{1}^{2}+\cos ^{2}\eta \,d\xi _{2}^{2}}$

そしてボリュームは

${\displaystyle dV=\sin \eta \cos \eta \,d\eta \wedge d\xi _{1}\wedge d\xi _{2}.}$

ホップファイブレーションの相互連結円を得るには、上記の式に簡単な置換を行います^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}&=e^{i\,(\xi _{1}+\xi _{2})}\sin \eta \\z_{2}&=e^{i\,(\xi _{2}-\xi _{1})}\cos \eta .\end{aligned}}}$

この場合、 ηとξ1_はどちらの円を指すかを指定し、ξ2_は各円に沿った位置を指定します。ξ1またはξ2の1周（ ₀から2πまで）は_、トーラスがそれぞれの方向に1周することに相当します。

別の便利な座標系は、極から対応する赤道上のR ³超平面へのS ³の立体投影によって得られます。たとえば、点(−1, 0, 0, 0)から投影する場合、 S ³内の点pは次のように表すことができます。

${\displaystyle p=\left({\frac {1-\|u\|^{2}}{1+\|u\|^{2}}},{\frac {2\mathbf {u} }{1+\|u\|^{2}}}\right)={\frac {1+\mathbf {u} }{1-\mathbf {u} }}}$

ここで、u = ( u ₁ , u ₂ , u ₃ )はR ³のベクトルであり、‖ u ‖ ² = u ₁ ² + u ₂ ² + u ₃ ²です。上記の 2 番目の等式では、p を単位四元数、u = u ₁ i + u ₂ j + u ₃ kを純粋四元数と同一視しています。（四元数の乗算は一般に非可換ですが、ここでは分子と分母が可換であることに注意してください）。この写像の逆写像は、S 3^のp = ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ )を

${\displaystyle \mathbf {u} ={\frac {1}{1+x_{0}}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right).}$

点(1, 0, 0, 0)から投影しても同じように、その場合、点pは次のように与えられる。

${\displaystyle p=\left({\frac {-1+\|v\|^{2}}{1+\|v\|^{2}}},{\frac {2\mathbf {v} }{1+\|v\|^{2}}}\right)={\frac {-1+\mathbf {v} }{1+\mathbf {v} }}}$

ここで、v = ( v ₁ , v ₂ , v ₃ )はR ³の別のベクトルです。この写像の逆写像はpを

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {1}{1-x_{0}}}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right).}$

u座標は(−1, 0, 0, 0)以外のすべての場所で定義され、v座標は(1, 0, 0, 0)以外のすべての場所で定義されることに注意してください。これにより、S ³上の2つの座標チャートまたは「パッチ」からなるアトラスが定義され、これら2つは合わせてS ³全体をカバーします。これらの2つのチャートの重なり部分における遷移関数は次のように与えられます。

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {1}{\|u\|^{2}}}\mathbf {u} }$

そしてその逆もまた然り。