有理点に対する一様有界性予想

算術幾何学において、有理点の一様有界性予想は、与えられた数体に対して、${\displaystyle K}$正の整数${\displaystyle g\geq 2}$数が存在する${\displaystyle N(K,g)}$のみに依存する${\displaystyle K}$そして${\displaystyle g}$任意の代数曲線に対して${\displaystyle C}$定義済み${\displaystyle K}$種数が等しい${\displaystyle g}$最大で${\displaystyle N(K,g)}$${\displaystyle K}$-有理点。これは、 Faltings の定理の改良版であり、次のことを主張しています。${\displaystyle K}$合理的なポイント${\displaystyle C(K)}$必然的に有限である。

この予想に対する最初の重要な進展は、カポラソ、ハリス、マズールによるものでした。^{[ 1 ]}彼らは、ボンビエリ・ラング予想を仮定すれば、この予想が成り立つことを証明しました。

マズールの予想Bは、一様有界性予想の弱い変種であり、ある数が存在するはずだと主張する。${\displaystyle N(K,g,r)}$任意の代数曲線に対して${\displaystyle C}$定義済み${\displaystyle K}$属を持つ${\displaystyle g}$そしてそのヤコビアン変種${\displaystyle J_{C}}$モルデル＝ヴェイユは${\displaystyle K}$等しい${\displaystyle r}$、その数${\displaystyle K}$-合理的なポイント${\displaystyle C}$最大で${\displaystyle N(K,g,r)}$。

マイケル・ストールは、マズールの予想Bが超楕円曲線に対して成り立つことを、以下の追加仮説の下で証明した。${\displaystyle r\leq g-3}$^{[ 2 ]}ストールの結果は、2015年にカッツ、ラビノフ、ズライク＝ブラウンによってさらに改良された。^{[ 3 ]}これらの研究はいずれもシャボーティの方法に基づいている。

マズールの予想Bは、シャボーティの方法ではなく、ガオとハベッガーの幾何学的ボゴモロフ予想に関する以前の研究を用いて、2021年にディミトロフ、ガオ、ハベッガーによって解決された。 ^{[ 4 ]}