ホモトピー

数学の一分野である位相幾何学では、ある位相空間から別の位相空間への 2 つの連続関数は、一方が他方に「連続的に変形」できる場合、ホモトピック(古代ギリシャ語のὁμός homós 「同じ、類似」およびτόπος tópos 「場所」に由来) と呼ばれます。このような変形は、2 つの関数間のホモトピー( / h ə ˈ m ɒ t ə p iː /、^[1] hə- MO -tə-pee ; / ˈ h oʊ m oʊ ˌ t oʊ p iː /、^[2] HOH -moh-toh-pee ) と呼ばれます。ホモトピーの注目すべき用途は、代数位相幾何学における重要な不変量であるホモトピー群とコホモトピー群の定義です。^[3]

実際には、特定の空間でホモトピーを使用するのは技術的な困難を伴います。代数位相学者は、コンパクトに生成された空間、CW 複体、またはスペクトルを扱います。

正式には、位相空間Xから位相空間Yへの 2 つの連続関数 fとg間のホモトピーは、単位区間[0, 1]を持つ空間Xの積からYへの連続関数として定義され、すべての に対してかつとなります。 ${\displaystyle H:X\times [0,1]\to Y}$${\displaystyle H(x,0)=f(x)}$${\displaystyle H(x,1)=g(x)}$${\displaystyle x\in X}$

Hの2 番目のパラメータを時間と考えると、 H はfからgへの連続的な変形を表します。つまり、時間 0 では関数fがあり、時間 1 では関数gがあります。また、2 番目のパラメータは、スライダーが 0 から 1 に移動するにつれてfからgにスムーズに遷移できるようにする「スライダー コントロール」と考えることもできます(逆の場合も同様)。

別の表記法では、2つの連続関数間のホモトピーは、および となる連続関数の族であり、写像はからまで連続している、と表現される。2つのバージョンは、 と設定することで一致する。各写像が連続していることを要求するだけでは不十分である。 ^[4]${\displaystyle f,g:X\to Y}$${\displaystyle h_{t}:X\to Y}$${\displaystyle t\in [0,1]}$${\displaystyle h_{0}=f}$${\displaystyle h_{1}=g}$ ${\displaystyle (x,t)\mapsto h_{t}(x)}$${\displaystyle X\times [0,1]}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle h_{t}(x)=H(x,t)}$${\displaystyle h_{t}(x)}$

右上のループアニメーションは、トーラスのR ³への 2 つの埋め込みfとgの間のホモトピーの例を示しています。X はトーラス、YはR ³、fはトーラスからR ³への連続関数で、アニメーションの開始時に埋め込まれたドーナツ面の形状にトーラスを移動します。gはトーラスを埋め込まれたコーヒーマグ面の形状にトーラスを移動します。アニメーションは、h _t (X) のイメージをパラメーターtの関数として表示します。tは、アニメーション ループの各サイクルで時間とともに 0 から 1 まで変化します。アニメーションは一時停止し、次にtが1 から 0 に戻るときにイメージを表示し、一時停止し、このサイクルを繰り返します。

連続関数fとg は、上記のようにfからgへのホモトピーHが存在する場合のみ、ホモトピーであると言われます。ホモトピーであることは、 XからYへのすべての連続関数の集合上の同値関係です。このホモトピー関係は、次の意味で関数合成と互換性があります。 f ₁、g ₁  : X → Yがホモトピーであり、f ₂、g ₂  : Y → Zがホモトピーである場合、それらの合成f ₂  ∘  f ₁とg ₂  ∘  g ₁  : X → Zもホモトピーです。

• がおよびによって与えられる場合、によって与えられる写像はそれらの間のホモトピーです。${\displaystyle f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle f(x):=\left(x,x^{3}\right)}$${\displaystyle g(x)=\left(x,e^{x}\right)}$${\displaystyle H:\mathbb {R} \times [0,1]\to \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle H(x,t)=\left(x,(1-t)x^{3}+te^{x}\right)}$
• より一般的には、がユークリッド空間の凸部分集合であり、が同じ端点を持つ経路である場合、次式で表される線型ホモトピー^[5]（または直線ホモトピー） が存在する。${\displaystyle C\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f,g:[0,1]\to C}$

  ${\displaystyle {\begin{aligned}H:[0,1]\times [0,1]&\longrightarrow C\\(s,t)&\longmapsto (1-t)f(s)+tg(s).\end{aligned}}}$

• を単位n円板、つまり集合上の恒等関数とします。をすべての点を原点に送る定数関数とします。すると、次の式はそれらの間のホモトピーです。 ${\displaystyle \operatorname {id} _{B^{n}}:B^{n}\to B^{n}}$${\displaystyle B^{n}:=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|\leq 1\right\}}$${\displaystyle c_{\vec {0}}:B^{n}\to B^{n}}$ ${\displaystyle c_{\vec {0}}(x):={\vec {0}}}$

  ${\displaystyle {\begin{aligned}H:B^{n}\times [0,1]&\longrightarrow B^{n}\\(x,t)&\longmapsto (1-t)x.\end{aligned}}}$

2 つの位相空間XとYが与えられたとき、XとYの間のホモトピー同値とは、連続写像f  : X → Yとg  : Y → Xのペアであり、g  ∘  fが恒等写像id _Xに同値であり、f  ∘  g がid _Yに同値であるようなものである。このようなペアが存在する場合、XとY はホモトピー同値である、または同じホモトピー型であると言われる。直感的には、 2 つの空間XとY は、曲げ、縮小、拡大の操作によって互いに変換できる場合、ホモトピー同値である。点とホモトピー同値である空間は、収縮可能 と呼ばれる。

同相写像はホモトピー同値の特殊なケースであり、g  ∘  f は恒等写像 id _Xに等しく（同相であるだけでなく）、f  ∘  gは id _Yに等しい。^{[6] : 0:53:00}したがって、 X と Y が同相であればホモトピー同値であるが、その逆は真ではない。 例:

• 円盤は放射状の線に沿って連続的に変形して 1 つの点に到達できるため、円盤は 1 つの点とホモトピー同値です。ただし、円盤と円盤の間には一対一の関係がないため(一方が無限集合でもう一方が有限集合であるため)、円盤と円盤は同相ではありません。
• メビウスの帯とねじれのない（閉じた）帯は、両方の帯を連続的に円に変形できるため、ホモトピー同値です。ただし、同相ではありません。

• ホモトピー同値性の最初の例は、 と表記される点です。確認する必要がある部分は、と（ の原点への射影）の間のホモトピーの存在です。これは と記述できます。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\simeq \{0\}}$${\displaystyle H:I\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{n}}}$${\displaystyle p_{0}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle H(t,\cdot )=t\cdot p_{0}+(1-t)\cdot \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{n}}}$
• ( 1 次元球面) との間にはホモトピー同値関係があります。 ${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}-\{0\}}$
  • より一般的には、.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-\{0\}\simeq S^{n-1}}$
• 点とホモトピー同値なファイバーを持つファイバーバンドル には、ホモトピー同値な全空間と基底空間があります。はファイバーを持つファイバーバンドルなので、これは前の 2 つの例を一般化したものです。${\displaystyle \pi :E\to B}$${\displaystyle F_{b}}$${\displaystyle \pi :\mathbb {R} ^{n}-\{0\}\to S^{n-1}}$${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$
• すべてのベクトル束は、点と同等のファイバーホモトピーを持つファイバー束です。
• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-\mathbb {R} ^{k}\simeq S^{n-k-1}}$任意の に対して、 をファイバーバンドルの全空間 として書き、上記のホモトピー同値を適用します。${\displaystyle 0\leq k<n}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-\mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}\times (\mathbb {R} ^{n-k}-\{0\})\to (\mathbb {R} ^{n-k}-\{0\})}$
• CW複体のサブ複体が縮約可能であれば、商空間はホモトピーと同値である。^[7]${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/A}$${\displaystyle X}$
• 変形収縮はホモトピー同値です。

関数はヌルホモトピックであると言われる${\displaystyle f}$ それが定数関数にホモトピーである場合。( から 定数関数へのホモトピーは、ヌルホモトピーと呼ばれることもあります。) たとえば、単位円から任意の空間への写像は、境界上でと一致する単位円から への写像に連続的に拡張できるときに、まさにヌルホモトピーです。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D^{2}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$

これらの定義から、空間が収縮可能であるのは、 から自身へ の恒等写像（これは常にホモトピー同値である）がヌルホモトピックである場合のみであることがわかります。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

ホモトピー同値性は、代数位相幾何学において多くの概念がホモトピー不変である、つまりホモトピー同値性の関係を尊重するため重要です。たとえば、 XとYがホモトピー同値空間である場合、次のようになります。

• Yがパス接続されている場合のみ、X はパス接続されます。
• Yが単純に接続されている場合のみ、X は単純接続です。
• XとYの(特異)ホモロジー群とコホモロジー群は同型です。
• XとY がパス接続されている場合は、XとYの基本群は同型であり、高次のホモトピー群も同型です。(パス接続性の仮定がなければ、 π ₁ ( X、  x _{0 ) は π 1} ( Y、f ( x ₀ ))と同型になります。ここで、 f  : X → Y はホモトピー同値であり、x ₀ ∈ Xです。)

ホモトピー不変ではない位相空間の代数的不変量の例としては、コンパクトに支えられたホモロジー（大まかに言えば、コンパクト化のホモロジーであり、コンパクト化はホモトピー不変ではない）が挙げられる。

基本群を定義するためには、部分空間に対するホモトピーの概念が必要である。これらは、部分空間の要素を固定したままにするホモトピーである。正式には、fとg がXからYへの連続写像であり、K がXのサブセットである場合、すべてのk ∈ Kおよびt ∈ [0, 1] に対して H ( k , t ) = f ( k ) = g ( k ) となるような、 f と g の間にホモトピー H : X × [ 0 ,  1 ] → Yが存在するとき、fとgはKに対してホモトピックである という。また、 gがXからKへの引き戻しであり、 f が恒等写像である場合、これはXからKへの強い変形引き戻しとして知られている。Kが点の場合、尖ったホモトピーという用語が使用される。

位相空間Xから位相空間Yへの与えられた2つの連続関数fとgが埋め込みである場合、それらを「埋め込みを介して」接続できるかどうかを尋ねることができます。これにより、アイソトピーの概念が生じます。これは、以前に使用した表記法のホモトピーHであり、各固定されたtに対して、H（x、  t）は埋め込みを与えます。^[8]

関連しているが異なる概念として、周囲同位体の概念があります。

2 つの埋め込みが同位体であることを要求するのは、同位体であることを要求するよりも強い要求です。たとえば、区間 [−1, 1] からf ( x ) = − xで定義される実数への写像は、恒等写像g ( x ) = xと同位ではありません。fから恒等写像へのホモトピーはいずれも端点を交換する必要があり、つまり端点同士が「通過」し合うことになります。さらに、f は区間の方向を変えましたが、g は変えていません。これは、同位体では不可能です。しかし、写像は同位体です。 fから恒等写像へのホモトピーの 1 つはH : [−1, 1] × [0, 1] → [−1, 1] で、 H ( x ,  y ) = 2 yx  −  xで与えられます。

境界上で一致する単位球の2つの同相写像（埋め込みの特殊なケース）は、アレクサンダーのトリックを使用して同位体であることを示すことができます。このため、f ( x ,  y ) = (− x , − y )で定義されるR ²の単位円板の写像は、原点の周りの180度回転に対して同位体であり、恒等写像とf は回転によって接続できるため同位体です。

幾何学的位相学、例えば結び目理論では、同位体の概念は同値関係の構築に使用されます。例えば、2 つの結び目が同一であるとみなされるのはどのような場合でしょうか。3 次元空間で K 1 と K 2 という 2 つの結び目を取り上げます。結び目は_、 1次元_空間である「糸の輪」(または円) をこの空間に埋め込むものであり、この埋め込みによって、円と埋め込み空間における円の像の間に同相関係が生まれます。結び目の同値の概念の背後にある直感的な考え方は、埋め込みのパスを介して 1 つの埋め込みを別の埋め込みに変形できるというものです。つまり、 t  = 0で始まりK ₁埋め込みを与え、t  = 1で終了してK ₂埋め込みを与え、すべての中間値が埋め込みに対応する連続関数です。これは同位体の定義に対応します。この文脈で研究されるアンビエント同位体は、埋め込まれた部分多様体への作用の観点から考慮される、より大きな空間の同位体です。結び目K ₁とK _{2 は、} K _{1 を}K ₂に移動する周囲の同位体がある場合に同等であるとみなされます。これは、位相カテゴリにおける適切な定義です。

より強い同値性の概念がある文脈では、同等の概念に対して同様の言語が使用されます。たとえば、2 つの滑らかな埋め込み間のパスは滑らかな同位体です。

ローレンツ多様体では、特定の曲線が時間的(すべての局所フレームで時間的に前向きにしか進まず、後ろ向きには進まないものを表す) として区別される。2つの時間的曲線間の時間的ホモトピーは、曲線が 1 つの曲線から別の曲線への連続的な変換中に時間的であり続けるホモトピーである。ローレンツ多様体上の時間的閉曲線(CTC) は、点に対して時間的ホモトピックではない (つまり、時間的ホモトピックがゼロ)。したがって、そのような多様体は時間的曲線によって多重連結されていると言われる。3次元球面などの多様体は、単純連結(任意のタイプの曲線によって) でありながら、時間的多重連結である可能性がある。^[9]

ホモトピーH  : X × [0,1] → Yと被覆p  : Y → Yがあり、 H ₀ = p ○ h ₀となるような写像h ₀  : X → Yが与えられている場合 （h _0はh ₀のリフトと呼ばれる）、すべてのH をp ○ H = Hとなる写像H  : X × [0, 1] → Yにリフトすることができます。ホモトピーのリフト特性は、ファイバ化を特徴付けるために使用されます。

ホモトピーに関連するもう 1 つの便利な特性は、ホモトピー拡張特性です。これは、ある集合のサブセットから集合自体への 2 つの関数間のホモトピーの拡張を特徴付けます。これは、コファイブレーションを扱うときに便利です。

2 つの関数が部分空間に対してホモトピックである関係は同値関係であるため、固定されたXとYの間の写像の同値類を見ることができます。 を固定し、単位区間 [0, 1] がn回それ自身と交差し、その境界を部分空間とすると、同値類は と表されるグループを形成します。ここで、 は部分空間 の像内にあります。 ${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$${\displaystyle X=[0,1]^{n}}$ ${\displaystyle \partial ([0,1]^{n})}$${\displaystyle \pi _{n}(Y,y_{0})}$${\displaystyle y_{0}}$${\displaystyle \partial ([0,1]^{n})}$

ある同値類の別の同値類への作用を定義することができ、群が得られます。これらの群はホモトピー群と呼ばれます。 の場合、それは基本群とも呼ばれます。 ${\displaystyle n=1}$

ホモトピーの考え方は、圏論の形式的な圏に変換できます。ホモトピー圏は、その対象が位相空間であり、その射が連続写像のホモトピー同値類である圏です。2 つの位相空間XとYは、ホモトピー同値である場合に限り、この圏で同型です。位相空間の圏の関手は、ホモトピー圏の関手として表現できる場合、ホモトピー不変です。

たとえば、ホモロジー群は関数ホモトピー不変量です。つまり、XからYへのfとg がホモトピックである場合、ホモロジー群のレベルでfとgによって誘導される群準同型は同じです。つまり、すべてのnに対して、 H _n ( f ) = H _n ( g ) : H _n ( X ) → H _n ( Y ) です。同様に、XとYがさらにパス接続されており、fとg間のホモトピーが尖っている場合、ホモトピー群のレベルでfとgによって誘導される群準同型も同じです。 π _n ( f ) = π _n ( g ) : π _n ( X ) → π _n ( Y ) です。

ホモトピーの概念に基づいて、代数方程式と微分方程式の計算方法が開発されてきた。代数方程式の計算方法には、ホモトピー接続法^[10]と接続法（数値接続を参照）がある。微分方程式の計算方法には、ホモトピー解析法がある。

ホモトピー理論はホモロジー理論の基礎として使用できます。つまり、ホモトピー同値になるまで、空間X上のコホモロジー関数を、 X を適切な固定空間に写像することによって表すことができます。たとえば、任意のアーベル群Gと任意の基底 CW 複体Xについて、 Xからアイレンバーグ-マクレーン空間への 基底写像の基底ホモトピー類の集合は、 空間Xのn番目の特異コホモロジー群と自然単射です。アイレンバーグ-マクレーン空間のオメガスペクトルは、Gに係数を持つ特異コホモロジーの空間を表現していると言えます。 ${\displaystyle [X,K(G,n)]}$ ${\displaystyle K(G,n)}$${\displaystyle H^{n}(X,G)}$

• ファイバーホモトピー同値（ホモトピー同値の相対バージョン）
• ホメオトピー
• ホモトピー型理論
• マッピングクラスグループ
• ポアンカレ予想
• 正則ホモトピー

• アームストロング、MA (1979)。基本トポロジー。シュプリンガー。ISBN 978-0-387-90839-7。
• 「ホモトピー」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• 「アイソトピー（位相幾何学）」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• スパニエ、エドウィン（1994年12月）。代数トポロジー。スプリンガー。ISBN 978-0-387-94426-5。