SIC-POVM

量子力学と量子情報理論の文脈では、対称的で情報完全な正の演算子値測度(SIC - POVM ) は、一般化測定 (POVM)の特定のタイプです。SIC-POVM は、(1) 情報完全であること、(2) 情報完全性と互換性のある結果の数が最小限であること、(3) 対称性が高いことという定義上の特徴により特に注目に値します。この文脈では、情報完全性とは、測定データから入力状態を完全に再構築できる POVM の特性です。

SIC-POVMの特性は、基礎量子力学の研究、特にQBism ^{[要出典]で利用される「標準量子測定」の興味深い候補となっています。SIC-POVMは、}量子状態トモグラフィー^[1]や量子暗号^[2]の分野でいくつかの用途があり、ヒルベルトの第12問題との関連性が発見されています。^[3]

次元ヒルベルト空間上の POVM は、和が単位元となる半正定値演算子の集合です。${\displaystyle d}$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \left\{F_{i}\right\}_{i=1}^{m}}$$${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}F_{i}=I.}$$

POVM が少なくとも 個の演算子で構成され、それらが自己随伴演算子の空間に広がる場合、それは情報完全 POVM (IC-POVM) であると言われます。 個の要素で構成される IC-POVM は、最小と呼ばれます。等しいペアワイズヒルベルト-シュミット内積を持つランク-1 の射影子のセットは、 SIC-POVM と呼ばれる 要素を持つ最小の IC-POVM を定義します。${\displaystyle d^{2}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})}$${\displaystyle d^{2}}$${\displaystyle d^{2}}$ ${\displaystyle \left\{\Pi _{i}\right\}_{i=1}^{d^{2}}}$$${\displaystyle \mathrm {Tr} \left(\Pi _{i}\Pi _{j}\right)={\frac {d\delta _{ij}+1}{d+1}},}$$${\displaystyle F_{i}={\frac {1}{d}}\Pi _{i}}$

が POVM であり、したがって であるような任意のランク 1 射影子の集合を考えます。すべての に対して射影子のペアワイズ内積が等しいようにすると、の値が固定されます。これを確認するには、 が を意味することに注目してください。したがって、 この特性により、SIC-POVM は対称になります。つまり、 任意の要素のペアは、他のペアと 同じヒルベルト-シュミット内積を持ちます。${\displaystyle (\Pi _{i})_{i=1}^{d^{2}}}$${\displaystyle F_{i}=\Pi _{i}/d}$${\displaystyle {\frac {1}{d}}\sum _{i}\Pi _{i}=I}$${\displaystyle \mathrm {Tr} (\Pi _{i}\Pi _{j})=c}$${\displaystyle i\neq j}$${\displaystyle c}$$${\displaystyle {\begin{aligned}d&=\mathrm {Tr} (I^{2})\\&={\frac {1}{d^{2}}}\sum _{i,j}\mathrm {Tr} (\Pi _{i}\Pi _{j})\\&={\frac {1}{d^{2}}}\left(d^{2}+cd^{2}(d^{2}-1)\right)\end{aligned}}}$$${\displaystyle c={\frac {1}{d+1}}}$$${\displaystyle \mathrm {Tr} \left(\Pi _{i}\Pi _{j}\right)={\frac {d\delta _{ij}+1}{d+1}}.}$$

SIC-POVM要素を使用すると、次のような興味深いスーパー演算子を構築できます。この演算子は、SIC-POVMと球面tデザインの関係を考えるときに最も役立ちます。次のマップを考えてみましょう。 ${\displaystyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})\rightarrow {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {G}}:{\mathcal {L}}({\mathcal {H}})&\rightarrow {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})\\A&\mapsto \displaystyle \sum _{\alpha }|\psi _{\alpha }\rangle \langle \psi _{\alpha }|A|\psi _{\alpha }\rangle \langle \psi _{\alpha }|\end{aligned}}}$

この演算子はSIC-POVM要素に対して、恒等演算子と非常によく似た方法で作用する。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {G}}(\Pi _{\beta })&=\displaystyle \sum _{\alpha }\Pi _{\alpha }\left|\langle \psi _{\alpha }|\psi _{\beta }\rangle \right|^{2}\\&=\displaystyle \Pi _{\beta }+{\frac {1}{d+1}}\sum _{\alpha \neq \beta }\Pi _{\alpha }\\&=\displaystyle {\frac {d}{d+1}}\Pi _{\beta }+{\frac {1}{d+1}}\Pi _{\beta }+{\frac {1}{d+1}}\sum _{\alpha \neq \beta }\Pi _{\alpha }\\&=\displaystyle {\frac {d}{d+1}}\Pi _{\beta }+{\frac {d}{d+1}}\sum _{\alpha }{\frac {1}{d}}\Pi _{\alpha }\\&=\displaystyle {\frac {d}{d+1}}\left(\Pi _{\beta }+I\right)\end{aligned}}}$

しかし、SIC-POVM の要素は任意の量子状態を完全かつ一意に決定できるため、この線形演算子は任意の状態の分解に適用でき、次のように記述できるようになります。

${\displaystyle G={\frac {d}{d+1}}\left({\mathcal {I}}+I\right)}$どこ${\displaystyle I(A)=A{\text{ and }}{\mathcal {I}}(A)=\mathrm {Tr} (A)I}$

ここから左逆関数は^[4]と計算でき、 ${\displaystyle G^{-1}={\frac {1}{d}}\left[\left(d+1\right)I-{\mathcal {I}}\right]}$

${\displaystyle I=G^{-1}G={\frac {1}{d}}\sum _{\alpha }\left[(d+1)\Pi _{\alpha }\odot \Pi _{\alpha }-I\odot \Pi _{\alpha }\right]}$、

状態を表す式は、次のように準確率分布で作成できます。 ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho =I|\rho )&=\displaystyle \sum _{\alpha }\left[(d+1)\Pi _{\alpha }-I\right]{\frac {(\Pi _{\alpha }|\rho )}{d}}\\&=\displaystyle \sum _{\alpha }\left[(d+1)\Pi _{\alpha }-I\right]{\frac {\mathrm {Tr} (\Pi _{\alpha }\rho )}{d}}\\&=\displaystyle \sum _{\alpha }p_{\alpha }\left[(d+1)\Pi _{\alpha }-I\right]\quad {\text{ where }}p_{\alpha }=\mathrm {Tr} (\Pi _{\alpha }\rho )/d\\&=\displaystyle -I+(d+1)\sum _{\alpha }p_{\alpha }|\psi _{\alpha }\rangle \langle \psi _{\alpha }|\\&=\displaystyle \sum _{\alpha }\left[(d+1)p_{\alpha }-{\frac {1}{d}}\right]|\psi _{\alpha }\rangle \langle \psi _{\alpha }|\end{aligned}}}$

ここで、はヒルベルト空間で見た密度演算子のディラック表記である。これは、状態の適切な準確率分布（負の結果をもたらす可能性があるためこのように呼ばれる）表現が次のように与えられることを示している 。${\displaystyle |\rho )}$${\displaystyle {\mathcal {L}}({\mathcal {H}})}$${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle (d+1)p_{\alpha }-{\frac {1}{d}}}$

SIC-POVMを定義する方程式は手作業で解くことができ、ベクトルが得られる 。${\displaystyle d=2}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}|\psi _{1}\rangle &=|0\rangle \\|\psi _{2}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {3}}}|0\rangle +{\sqrt {\frac {2}{3}}}|1\rangle \\|\psi _{3}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {3}}}|0\rangle +{\sqrt {\frac {2}{3}}}e^{i{\frac {2\pi }{3}}}|1\rangle \\|\psi _{4}\rangle &={\frac {1}{\sqrt {3}}}|0\rangle +{\sqrt {\frac {2}{3}}}e^{i{\frac {4\pi }{3}}}|1\rangle ,\end{aligned}}}$$

これらは、ブロッホ球面内の正四面体の頂点を形成します。SIC-POVMを定義する射影は で与えられ、SIC-POVMの要素は です。 ${\displaystyle \Pi _{i}=|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}$${\displaystyle F_{i}=\Pi _{i}/2=|\psi _{i}\rangle \!\langle \psi _{i}|/2}$

高次元の場合、これは実現不可能であり、より洗練されたアプローチを使用する必要があります。

SIC-POVMは、次元ユニタリ表現を持つ群が存在し、 ${\displaystyle P}$${\displaystyle G}$${\displaystyle d^{2}}$

• ${\displaystyle \forall |\psi \rangle \langle \psi |\in P,\quad \forall U_{g}\in G,\quad U_{g}|\psi \rangle \in P}$
• ${\displaystyle \forall |\psi \rangle \langle \psi |,|\phi \rangle \langle \phi |\in P,\quad \exists U_{g}\in G,\quad U_{g}|\phi \rangle =|\psi \rangle }$

SIC-POVMの探索は、グループ共分散の特性を利用することで大幅に簡素化できます。実際、問題は正規化されたフィデューシャルベクトル を見つけることに帰着し、 ${\displaystyle |\phi \rangle }$

${\displaystyle |\langle \phi |U_{g}|\phi \rangle |^{2}={\frac {1}{d+1}}\ \forall g\neq id}$。

SIC-POVM は、のグループアクションによって生成されるセットです。 ${\displaystyle U_{g}}$${\displaystyle |\phi \rangle }$

これまでのところ、ほとんどのSIC-POVMは の下での群共分散を考慮することによって発見されてきた。^[5]ユニタリ表現を構成するために、をd次元上のユニタリ演算子の群に写像する。まずいくつかの演算子を導入する必要がある。を の基底とすると、位相演算子は ${\displaystyle \mathbb {Z} _{d}\times \mathbb {Z} _{d}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{d}\times \mathbb {Z} _{d}}$${\displaystyle U(d)}$${\displaystyle |e_{i}\rangle }$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle T|e_{i}\rangle =\omega ^{i}|e_{i}\rangle }$統一の根源はどこにあるか${\displaystyle \omega =e^{\frac {2\pi i}{d}}}$

シフト演算子 は

${\displaystyle S|e_{i}\rangle =|e_{i+1{\pmod {d}}}\rangle }$

これら2つの演算子を組み合わせると、ハイゼンベルク・ワイル群を生成する ワイル演算子が得られる。これはユニタリ演算子である。 ${\displaystyle W(p,q)=S^{p}T^{q}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}W(p,q)W^{\dagger }(p,q)&=S^{p}T^{q}T^{-q}S^{-p}\\&=Id\end{aligned}}}$

この写像は射影ユニタリ表現であることが確認できる。また、群共分散のすべての特性^[6]を満たしており、SIC集合の数値計算に有用である。 ${\displaystyle (p,q)\in \mathbb {Z} _{d}\times \mathbb {Z} _{d}\rightarrow W(p,q)}$

SIC-POVMのいくつかの有用な特性を考慮すると、そのような集合が任​​意の次元のヒルベルト空間で構築できるかどうかを明確に知ることができれば有用であろう。もともとZaunerの論文^[7]で提案された、任意の次元の基準ベクトルの存在についての推測が仮定された。

具体的には、

すべての次元に対して、ワイル・ハイゼンベルク群の下での正のランク 1 演算子の軌道を要素とする SIC-POVM が存在します。さらに、ヤコビ群の要素 T と可換です。中心を法 とした T の作用は、順序が 3 です。${\displaystyle d\geq 2}$${\displaystyle E_{0}}$ ${\displaystyle H_{d}}$${\displaystyle E_{0}}$${\displaystyle J_{d}=H_{d}\rtimes SL(2,\mathbb {Z} _{d})}$${\displaystyle H_{d}}$

のグループ共分散の概念を利用すると、これは次のように言い換えることができる^[8]${\displaystyle \mathbb {Z} _{d}\times \mathbb {Z} _{d}}$

任意の次元 に対して、を の正規直交基底とし、次のように定義する。 ${\displaystyle d\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \left\{k\right\}_{k=0}^{d-1}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{d}}$

${\displaystyle \displaystyle \omega =e^{\frac {2\pi i}{d}},\quad \quad D_{j,k}=\omega ^{\frac {jk}{2}}\sum _{m=0}^{d-1}\omega ^{jm}|k+m{\pmod {d}}\rangle \langle m|}$

すると、その集合はSIC-POVM になります。 ${\displaystyle \exists |\phi \rangle \in \mathbb {C} ^{d}}$${\displaystyle \left\{D_{j,k}|\phi \rangle \right\}_{j,k=1}^{d}}$

任意の次元に対するSIC-POVMの存在の証明は未解決の問題であるが^[6]、量子情報コミュニティでは進行中の研究分野である。

SIC 集合の正確な表現は、からまでのすべての次元のヒルベルト空間に対して、また までの高次元の一部では に対して、合計115 個の の値に対して見つかっています。 ^[a]さらに、 上のハイゼンベルク群共変性を使用すると、 までのすべての整数に対して、また までの高次元の一部では に対する数値解が見つかりました。^[b]${\displaystyle d=2}$${\displaystyle d=53}$${\displaystyle d=5779}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{d}\times \mathbb {Z} _{d}}$${\displaystyle d=193}$${\displaystyle d=2208}$

球面tデザインは、 d次元の一般化超球面上のベクトルの集合であり、上の任意の -次多項式の平均値は、すべての正規化されたベクトル上の の平均に等しくなります。をヒルベルト空間の t倍テンソル積として定義し、${\displaystyle S=\left\{|\phi _{k}\rangle :|\phi _{k}\rangle \in \mathbb {S} ^{d}\right\}}$${\displaystyle t^{th}}$${\displaystyle f_{t}(\psi )}$${\displaystyle S}$${\displaystyle f_{t}(\psi )}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{t}=\displaystyle \bigotimes _{i=1}^{t}{\mathcal {H}}}$

${\displaystyle S_{t}=\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|\Phi _{k}^{t}\rangle \langle \Phi _{k}^{t}|,\quad |\Phi _{k}^{t}\rangle =|\phi _{k}\rangle ^{\otimes t}}$

t-倍テンソル積フレーム演算子として、正規化されたベクトルの集合が球面tデザインを形成するのは、次の場合のみで あることが示される^[8]。${\displaystyle \left\{|\phi _{k}\rangle \in \mathbb {S} ^{d}\right\}_{k=1}^{n}}$${\displaystyle n\geq {t+d-1 \choose d-1}}$

${\displaystyle \displaystyle \mathrm {Tr} \left[S_{t}^{2}\right]=\sum _{j,k}\left|\langle \phi _{j}|\phi _{k}\rangle \right|^{2t}={\frac {n^{2}t!(d-1)!}{(t+d-1)!}}}$

すると、すべてのSIC-POVMは2デザインであることがすぐに分かります。

${\displaystyle \mathrm {Tr} (S_{2}^{2})=\displaystyle \sum _{j,k}|\langle \phi _{j}|\phi _{k}\rangle |^{4}={\frac {2d^{3}}{d+1}}}$

これはまさに上記の定理を満たす必要な値です。

d次元ヒルベルト空間において、2つの異なる基底が相互に偏りがないとは次のとき言われる。 ${\displaystyle \left\{|\psi _{i}\rangle \right\},\left\{|\phi _{j}\rangle \right\}}$

${\displaystyle \displaystyle |\langle \psi _{i}|\phi _{j}\rangle |^{2}={\frac {1}{d}},\quad \forall i,j}$

これは本質的に SIC-POVM の対称性に似ているようです。Woottersは、完全な不偏基底の集合は有限射影平面と呼ばれる幾何学的構造を生み出すのに対し、SIC-POVM (素数冪の任意の次元)は有限アフィン平面を生み出すと指摘しています。これは、点と線の役割が入れ替わった有限射影平面の定義と同一の構造です。この意味で、SIC-POVM の問題と相互に不偏な基底の問題は互いに双対的です。^[17]${\displaystyle d+1}$

次元では、この類推はさらに進めることができ、相互に不偏な基底の完全な集合をSIC-POVMから直接構築することができます。^{[18] SIC-POVMの9つのベクトルは、相互に不偏な基底の12のベクトルとともに、}コッヘン-スペッカー証明で使用できる集合を形成します。^[19]しかし、6次元ヒルベルト空間では、SIC-POVMは知られていますが、相互に不偏な基底の完全な集合はまだ発見されておらず、そのような集合は存在しないと広く信じられています。^{[20] [21]}${\displaystyle d=3}$

• 量子力学における測定
• 相互に偏りのない基盤
• 視点
• Qビズム