代数多様体

代数多様体は、数学の一分野である代数幾何学における中心的な研究対象である。古典的には、代数多様体は実数または複素数上の多項式方程式系の解の集合として定義される。現代の定義では、この概念をいくつかの異なる方法で一般化しつつ、元の定義の背後にある幾何学的直観を維持しようとしている。^[¹^]^：⁵⁸

代数多様体の定義に関する慣習は、若干異なる。例えば、代数多様体は既約でなければならないという定義もある。既約とは、ザリスキ位相において閉じている2つの小さな集合の和集合ではないことを意味する。この定義では、既約でない代数多様体は代数集合と呼ばれる。既約性を要求しない慣習もある。

代数学の基本定理は、複素数を係数とする1変数単項式（代数的対象）が、複素平面上のその根の集合（幾何学的対象）によって決定されることを示すことで、代数学と幾何学の結びつきを確立する。この結果を一般化したヒルベルトのヌルシュテレンザッツは、多項式環のイデアルと代数的集合との間の基本的な対応関係を提供する。ヌルシュテレンザッツおよび関連する結果を用いて、数学者たちは代数的集合に関する問題と環論に関する問題との間に強い対応関係を確立した。この対応関係は、代数幾何学の決定的な特徴である。

多くの代数多様体は微分可能多様体ですが、代数多様体は特異点を持つ可能性がありますが、微分可能多様体は特異点を持つことができません。代数多様体は次元によって特徴づけられます。次元が1の代数多様体は代数曲線と呼ばれ、次元が2の代数多様体は代数曲面と呼ばれます。

現代のスキーム理論の文脈では、体上の代数多様体とは、その体上の整（既約かつ縮約）スキームであり、その構造射は分離され、有限型である。

概要と定義

代数的に閉じた体上のアフィン多様体は、概念的には最も定義しやすいタイプの多様体であり、本節で定義する。次に、同様の方法で射影多様体と準射影多様体を定義できる。多様体の最も一般的な定義は、より小さな準射影多様体をつなぎ合わせることによって得られる。このようにして真に新しい多様体の例を構成できるかどうかは自明ではないが、永田は1950年代にそのような新しい多様体の例を示した。

アフィン多様体

代数的に閉じた体 $K$ と自然数 $n$ に対して、 $A n を$ K 上のアフィン $n$ 空間と $し$ 、アフィン座標系の選択によって $K n$ と同一視する。環 $K$ $[$ $x$ $1$ $, ...,$ $x$ $n$ $]$ の多項式 $fは、$ $A$ $n$ の点において $f を$ 評価することによって、すなわち各 $x$ $i$ $に対してK$ の値を選択することによって、 $A$ $n$ $上のK$ 値関数とみなすことができる。K $[$ $x$ $1$ $, ... ,$ $x$ $n$ $]$ の多項式の集合 $S$ ごとに、零点軌跡 $Z$ $($ $S$ $)を$ $、$ $S$ の関数が同時にゼロとなる $A$ $n$ の点の集合と定義する。すなわち、

Z(S)=\left\{x\in \mathbf {A} ^{n}\mid f(x)=0{\text{ for all }}f\in S\right\}.

$A$ $n$ の部分集合 $V$ は、ある $Sに対して$ $V$ $=$ $Z$ $($ $S$ $)$ である場合、アフィン代数集合と呼ばれる。^[¹^]^:²空でないアフィン代数集合 $V$ は、2 つの真の代数部分集合の和集合として表すことができない場合、既約と呼ばれる。 ^[¹^]^:³既約のアフィン代数集合は、アフィン多様体とも呼ばれる。^[¹^]^:³ (一部の著者は、既約であるか否かを問わず、任意のアフィン代数集合を指すのにアフィン多様体という語句を使用する。^[^{注 1}^] )

アフィン多様体は、閉集合をアフィン代数集合と正確に定義することで、自然な位相を与えることができる。この位相はザリスキ位相と呼ばれる。 ^[¹^]^:²

$A$ $n$ の部分集合 $V$ が与えられたとき、 $I$ $($ $V$ $)を$ $V$ 上で消滅するすべての多項式関数のイデアルと定義します。

I(V)=\left\{f\in K[x_{1},\ldots ,x_{n}]\mid f(x)=0{\text{ for all }}x\in V\right\}.

任意のアフィン代数集合 $V$ に対して、 $V$ の座標環または構造環は、このイデアルによる多項式環の商環である。 ^[¹^]^:⁴

射影多様体と準射影多様体

$k を$ 代数的に閉じた体とし、P $n を$ $k$ 上の射影 $n$ 空間とする。k $[$ $x$ $0$ $,$ $...,$ $x$ $n$ $]$ 内の $f を次数$ $d$ の同次多項式とする。同次座標における $P$ $n$ 内の点における $f$ の評価は適切に定義されていない。しかし、 $f$ は同次である、つまり $f$ $($ $λx$ $0$ $, ...,$ $λx$ $n$ $) =$ $λ$ $d$ $f$ $($ $x$ $0$ $, ...,$ $x$ $n$ $)$ であるため、点 $[$ $x$ $0$ $: ...$ $:$ $x$ $n$ $]で$ $f が$ ゼロになるかどうかを問うことは意味がある。同次多項式の集合 $S$ ごとに、 $S$ のゼロ軌跡を、 $S$ 内の関数がゼロになる $P$ $n$ 内の点の集合として定義する。

Z(S)=\{x\in \mathbf {P} ^{n}\mid f(x)=0{\text{ for all }}f\in S\}.

$P$ $n$ の部分集合 $V$ は、ある $Sに対して$ $V$ $=$ $Z$ $($ $S$ $)$ であるとき、射影代数集合と呼ばれる。^[¹^]^:⁹既約射影代数集合は射影多様体と呼ばれる。^[¹^]^:¹⁰

射影多様体は、すべての代数集合が閉じていると宣言することによって、ザリスキー位相を備える。

$P$ $n$ の部分集合 $V$ が与えられたとき、 $I$ $($ $V$ $) を$ $V$ 上で消滅するすべての同次多項式によって生成されるイデアルとする。任意の射影代数集合 $V$ に対して、 $V$ の座標環は、このイデアルによる多項式環の商環である。^[¹^]^:¹⁰

準射影多様体は、射影多様体のザリスキ開部分集合です。 $x 0 = 0$ チャートを使用すると、すべてのアフィン多様体が準射影的であることに注意してください。^{[ 2 ]}また、アフィン多様体の代数集合の補集合は準射影多様体であることにも注意してください。アフィン多様体の文脈では、このような準射影多様体は通常、多様体ではなく構成可能集合と呼ばれます。

抽象品種

古典的な代数幾何学では、すべての多様体は定義上準射影多様体であり、射影空間の閉部分多様体の開部分多様体であることを意味します。たとえば、Hartshorneの第 1 章では、代数的に閉じた体上の多様体は準射影多様体として定義されていますが、^{[ 1 ]}^{: 15}第 2 章以降では、多様体(抽象多様体とも呼ばれる) という用語は、局所的には準射影多様体であるが、全体として見ると必ずしも準射影的ではない、つまり射影空間への埋め込みを持たない可能性のある、より一般的な対象を指します。^{[ 1 ]}^{: 105}したがって、古典的には、代数多様体の定義には射影空間への埋め込みが必要であり、この埋め込みは多様体の位相と多様体上の正則関数を定義するために使用されました。このような定義の欠点は、すべての多様体が射影空間への自然な埋め込みを持つわけではないことです。例えば、この定義では、積 $P 1 \times P 1$ は、より大きな射影空間に埋め込まれるまでは多様体とはみなされません。これは通常、セグレ埋め込みによって行われます。さらに、射影空間への埋め込みを1つ許容する多様体は、例えばヴェロネーゼ埋め込みと合成することによって、他の多くの埋め込みも許容します。したがって、正則関数など、本来は内在的であるはずの多くの概念が、必ずしもそうとは限りません。

代数多様体を埋め込みなしで抽象的に定義する最初の成功した試みは、アンドレ・ヴェイユが『代数幾何学の基礎』で評価を用いて行った。クロード・シュヴァレーは、同様の目的を果たしたがより一般的なスキームの定義を行った。しかし、アレクサンダー・グロタンディークのスキームの定義はさらに一般的であり、最も広く受け入れられている。グロタンディークの言葉では、抽象代数多様体は通常、代数的に閉じた体上の有限型の積分分離スキームとして定義される[ 1 ]：104-105 ただし^、^一部^の^著者^は既約性、縮約性、または分離性の条件を省略したり、基礎となる体が代数的に閉じていないことを許容したりする。^[³^]古典的な代数多様体は、代数的に閉じた体上の準射影積分分離有限型スキームである。

非準射影的抽象代数多様体の存在

非準射影代数多様体の初期の例の 1 つは、永田によって与えられた。^{[ 4 ]}永田の例は完全ではなかった(コンパクト性の類似) が、その後すぐに彼は完全かつ非射影の代数曲面を発見した。^{[ 5 ]}^{[ 1 ]}^{: 105、注釈 4.10.2}それ以降、他の例が発見されている。たとえば、準射影ではないが完全であるトーリック多様体を構成するのは簡単である。^{[ 6 ]}

例

亜種

部分多様体とは、多様体の部分集合であり、それ自体が多様体である（周囲の多様体によって誘導される位相構造に関して）。例えば、多様体のすべての開部分集合は多様体である。閉じた埋め込みも参照のこと。

ヒルベルトのヌルシュテルンザッツによれば、アフィン多様体または射影多様体の閉じた部分多様体は、その多様体の座標環の素イデアルまたは無関係でない同次素イデアルと1対1に対応する。

アフィン多様体

例１

$k = C$ とし、 $A 2を$ $C$ 上の2 次元アフィン空間とする。環 $C$ $[$ $x$ $,$ $y$ $]の多項式は、$ $A$ $2$ の点において評価することにより、 $A$ $2$ 上の複素数値関数とみなすことができる。C $[$ $x$ $,$ $y$ $]$ の部分集合 $S が$ $単一$ の要素 $f$ $($ $x$ $,$ $y$ $)$ を含むとする。

f(x,y)=x+y-1.

$f (x, y)$ の零点軌跡は、この関数がゼロになる $A 2$ 内の点の集合です。つまり、 $y$ $= 1 -$ $x$ $となる複素数(x, y)$ のペアの集合です。これはアフィン平面上の直線と呼ばれます。（複素数上の位相から派生した古典的な位相では、複素直線は 2 次元の実多様体です。）これが集合 $Z$ $($ $f$ $)$ です。

Z(f)=\{(x,1-x)\in \mathbf {C} ^{2}\}.

$したがって、 A$ $2$ の部分集合 $V = Z (f)は$ 代数集合である。集合 $V$ は空集合ではない。また、2 つの真の代数部分集合の和集合として表すことができないため、既約である。したがって、アフィン代数多様体である。

例２

$k = C$ とし、 $A 2を$ $C$ 上の 2 次元アフィン空間とする。環 $C [x, y]の多項式は、$ $A$ $2$ の点において評価することにより、 $A$ $2$ 上の複素数値関数とみなすことができる。C $[$ $x$ $,$ $y$ $]$ の部分集合 $S が$ $単一$ の要素 $g$ $($ $x$ $,$ $y$ $)$ を含むとする。

g(x,y)=x^{2}+y^{2}-1.

$g (x, y)$ の零点軌跡とは $、この関数$ $がゼロとなる$ $A2$ 内の点の集合、すなわち $x2$ $+$ $y2$ $= 1となる点$ $(x, y)$ の集合のことです $。g$ $($ $x$ $,$ $y$ $)$ $は$ 絶対既約多項式であるため、これは代数多様体です。その実点の集合 (すなわち、 $x$ と $y$ が実数となる点の集合) は単位円として知られており、この名称は多様体全体にもよく用いられます。

例３

次の例は、超曲面でも、線形空間でも、一点でもない。A $3 を$ $C$ 上の 3 次元アフィン空間とする。Cの $x$ に対する点 $(x, x 2, x 3)$ の集合は代数多様体であり、より正確にはどの平面にも含まれない代数曲線である。^[^{注 2}^]これは、上の図に示されているねじれた三次曲線である。これは $、$ 次の式で定義できる。

{\begin{aligned}y-x^{2}&=0\\z-x^{3}&=0\end{aligned}}

この代数集合の既約性を証明する必要がある。この場合のアプローチの一つは、射影 $(x, y, z) \mapsto (x, y)が解の集合上で$ 単射であり、その像が既約平面曲線であることを確認することである。

より難しい例の場合、同様の証明は常に可能ですが、難しい計算が必要になる場合があります。まず、次元を計算するためのグレブナー基底計算を行い、次にランダムな線形変数変換（常に必要とは限りません）を行います。次に、別の単項式順序付けのためのグレブナー基底計算を行い、射影を計算して、それが一般的に単射であり、その像が超曲面であることを証明し、最後に、像の既約性を証明するための多項式分解を行います。

一般線形群

基底体 $k上の$ $n$ × $n$ 行列の集合は、座標 $x$ $ij$ $を持つアフィンn$ $2$ 空間 $A$ $n$ $2$ と同一視でき、 $x$ $ij$ $($ $A$ $)$ は行列 $A$ $の($ $i$ $,$ $j$ $)$ 番目の要素です。行列式 $detは$ $x$ $ij$ の多項式であり、したがって $A$ $n$ $2$ 内の超曲面 $H$ $=$ $V$ $(det)を定義します$ $。H$ の補集合は、すべての可逆な $n$ × $n行列からなる$ $A$ $n$ $2$ の開部分集合であり、一般線形群 $GL$ $n$ $($ $k$ $)$ です。一般にアフィン多様体の超曲面の補集合はアフィンであるため、これはアフィン多様体です。具体的には、アフィン直線に座標 $t$ が与えられた $A$ $n$ $2$ $\times$ $A$ $1$ を考えます。すると、 $GL$ $n$ $($ $k$ $)は$ $x$ $ij$ 、 $t$ に関する多項式の $A$ $n$ $2$ $\times$ $A$ $1$ における零点軌跡に相当する。

t\cdot \det[x_{ij}]-1,

$すなわち、 t$ $det($ $A$ $) = 1$ となる行列 $A$ の集合は解を持つ。これは代数的に見ると最もよくわかる。GL n ( k ) の座標環 $は$ $局所$ $化$ $k$ [ x $ij$ $|$ $0$ $\leq$ $i$ $,$ $j$ $\leq$ $n$ $]$ $[det$ $-1$ $]であり、これ$ $は$ $k$ $[$ $x$ $ij$ $,$ $t$ $| 0 \leq$ $i$ $,$ $j$ $\leq$ $n$ $]/($ $t$ $det - 1)$ と同一視できる。

基底体 $k$ の乗法群 $k \times$ $はGL$ $1$ $($ $k$ $)$ と同じであり、したがってアフィン多様体である。その有限積 $($ $k$ $\times$ $)$ $r$ は代数トーラスであり、これもまたアフィン多様体である。

一般線形群は線形代数群の一例であり、群演算が多様体の射となるような群の構造を持つアフィン多様体である。

特徴的な品種

$A を体$ $k$ 上の必ずしも可換ではない代数とする。A $が$ 可換でない場合でも、 $A が$ $Z$ フィルターを持つ可能性があり、その結果、関連する環が $\textstyle \operatorname {gr} A=\bigoplus _{i=-\infty }^{\infty }A_{i}/{A_{i-1}}$ $はk$ 代数として可換、既約かつ有限生成である。すなわち、 $gr A$ はアフィン（既約）多様体 $X$ の座標環である。例えば、 $A$ が有限次元リー代数の普遍包絡代数である場合 ${\mathfrak {g}}$ すると、 $gr A$ は多項式環（PBW 定理）となり、より正確には双対ベクトル空間の座標環となる。 ${\mathfrak {g}}^{*}$ 。

$M を$ $A$ 上のフィルター付き加群とする(すなわち、 $A i M j \subset M i + j$ )。gr M が gr A -代数として有限生成である場合 $、 X$ $における gr$ Mの $サポート$ 、 $すなわち$ $gr$ M が消滅しない場所を $M$ $の$ $特性$ 多様体と呼ぶ。^[⁷^] $この概念はD$ -加群の理論において重要な役割を果たす。

投影的多様性

射影多様体とは、射影空間の閉部分多様体のことである。すなわち、素イデアルを生成する同次多項式の集合の零点軌跡のことである。

例１

アフィン平面曲線 $y 2 = x 3 - x$ 。対応する射影曲線は楕円曲線と呼ばれる。

平面射影曲線は、3つの不定元に関する既約同次多項式の零点軌跡です。射影直線 $P 1は射影曲線の例であり、$ $x$ $= 0$ で定義される射影平面 $P 2 = {[x, y, z]}$ 上の曲線と見なすことができます。別の例として、まずアフィン三次曲線を考えてみましょう。

y^{2}=x^{3}-x.

2次元アフィン空間（標数が2でない体上）において、次の3次同次多項式方程式が成り立つ。

y^{2}z=x^{3}-xz^{2},

$これは、 P 2$ 内の楕円曲線と呼ばれる曲線を定義します。この曲線は種数が 1 です (種数式)。特に、種数が 0 である射影直線 $P 1$ とは同型ではありません。曲線を区別するために種数を使用することは非常に基本的です。実際、種数は曲線を分類するために最初に使用される不変量です (代数曲線のモジュライの構成も参照)。

例２：グラスマン多様体

$V を$ 有限次元ベクトル空間とする。グラスマン多様体 $G n (V)は、$ $V$ のすべての $n$ 次元部分空間の集合である。これは射影多様体であり、プリュッカー埋め込みによって射影空間に埋め込まれる。

{\begin{cases}G_{n}(V)\hookrightarrow \mathbf {P} \left(\bigwedge ^{n}V\right)\\\langle b_{1},\ldots ,b_{n}\rangle \mapsto [b_{1}\wedge \cdots \wedge b_{n}]\end{cases}}

ここで、 $b i$ $はV$ 内の線形独立なベクトルの任意の集合である。 $\wedge ^{n}V$ $はV$ の $n$ 次外積であり、括弧 $[$ $w$ $]は非ゼロベクトル$ $w$ によって張られる線を意味します。

グラスマン多様体には、トートロジー束と呼ばれる自然なベクトル束（または他の用語では局所的に自由な層）が付属しており、これはチャーン類などの特性クラスの研究において重要である。

ヤコビ多様体とアーベル多様体

$C を$ 滑らかな完全曲線とし、Pic $(C)$ をそのピカール群、すなわち $C$ 上の線束の同型類群とする。C $は$ 滑らかであるため、 $Pic(C) は$ $C$ の因子類群と同一視でき、したがって次数準同型 $deg$ $: Pic($ $C$ $) \to$ $Z$ が存在する。Cの $ヤコビ$ $多様体Jac($ $C$ $)$ はこの次数写像の核、すなわち次数 0 の $C$ 上の因子類群である。ヤコビ多様体はアーベル多様体の一例であり、アーベル群構造と互換性のある完全多様体である（ただし、「アーベル」という名前はアーベル群であるからではない）。アーベル多様体は射影的であることが判明している（簡単に言うと、代数的シータ関数は射影空間への埋め込みを与える。アーベル多様体を定義する方程式を参照）。したがって、 $Jac($ $C$ $)$ は射影多様体である。単位元における $Jac($ $C$ $)$ の接空間は自然に同型である $\operatorname {H} ^{1}(C,{\mathcal {O}}_{C});$ ^{[ 8 ]} $したがって、 Jac(C)$ の次元 $C$ の種数である。

$C$ 上に点 $P 0$ を固定します。各整数 $n$ $> 0$ に対して、自然な射が存在します^[⁹^]

C^{n}\to \operatorname {Jac} (C),\,(P_{1},\dots ,P_{r})\mapsto [P_{1}+\cdots +P_{n}-nP_{0}]

ここで $C n$ $はC$ の $n$ 個のコピーの積です。g $= 1$ (つまり、 $C$ が楕円曲線の場合) の場合、n = 1 の上記の射は $同型$ $で$ $ある$ ことがわかります。^[¹^]^:^{Ch. IV、例 1.3.7}特に、楕円曲線はアーベル多様体です。

モジュリの品種

整数 $g \geq 0が与えられたとき、種数$ $g$ の滑らかな完全曲線の同型類の集合は、種数 g の曲線のモジュライと呼ばれます。 $g$ そして、次のように表記される。 ${\mathfrak {M}}_{g}$ このモジュライが可約な代数多様体の構造を持つことを示す方法はいくつかあります。例えば、幾何学的不変量理論を用いる方法があり、これは同型類の集合が（可約な）準射影多様体構造を持つことを保証します。^{[ 10 ]}固定種数の曲線のモジュライのようなモジュライは、通常、射影多様体ではありません。その理由は、滑らかな曲線の退化（極限）は滑らかでないか、可約である傾向があるためです。これにより、種数 $g$ $\geq 2の$ 安定曲線の概念が生まれます。これは、必ずしも滑らかではない完全曲線で、ひどく悪い特異点がなく、自己同型群もそれほど大きくありません。安定曲線のモジュライは、 ${\overline {\mathfrak {M}}}_{g}$ $種数g \geq 2$ の安定曲線の同型類の集合は、射影多様体であり、 ${\mathfrak {M}}_{g}$ 開いた稠密な部分集合として。 ${\overline {\mathfrak {M}}}_{g}$ 境界点を追加することで得られる ${\mathfrak {M}}_{g}$ 、 ${\overline {\mathfrak {M}}}_{g}$ 口語的には、 ${\mathfrak {M}}_{g}$ 歴史的には、MumfordとDeligneの論文^{[ 11 ]}が安定曲線の概念を導入し、 ${\mathfrak {M}}_{g}$ $g \geq 2$ の場合、既約である。

曲線のモジュライは典型的な状況の一例です。良いオブジェクトのモジュライは射影的ではなく、準射影的になる傾向があります。別の例として、曲線上のベクトル束のモジュライがあります。ここでは、滑らかな完全曲線 $C$ 上の安定ベクトル束と半安定ベクトル束の概念があります。与えられたランク $n$ と与えられた次数 $d$ (束の行列式の次数)の半安定ベクトル束のモジュライは、次のように表される射影多様体です。 $SU_{C}(n,d)$ セットを含む $U_{C}(n,d)$ $ランクn$ および次数 $d$ の安定ベクトル束の同型クラスの開部分集合。^{[ 12 ]}線束は安定であるため、このようなモジュライは $C$ のヤコビ多様体の一般化である。

一般に、曲線のモジュライの場合とは対照的に、モジュライのコンパクト化は一意である必要はなく、場合によっては、異なる方法と異なる著者によって異なる非同値なコンパクト化が構築される。C 上の例としては、 $有界$ 対称領域 $D$ $を算術離散群Γ$ の作用で割った商である $D / Γ$ をコンパクト化する問題がある。^[¹³^]基本的な例として、 $D/\Gamma$ は $D={\mathfrak {H}}_{g}$ 、シーゲルの上半空間と $Γは$ $Sp(2$ $g$ $,$ $Z$ $)$ と可換である。この場合、 $D$ $/ Γ$ はモジュラスとして解釈される。 ${\mathfrak {A}}_{g}$ 次元 $g$ の主偏極複素アーベル多様体(主偏極はアーベル多様体とその双対を同一視する) の。トーリック多様体 (またはトーラス埋め込み) の理論は、 $D / Γ を$ コンパクト化する方法、つまりそのトーラスコンパクト化を与える。 ^{[ 14 ]}^{[ 15 ]} $しかし、 D / Γ$ をコンパクト化する他の方法もある。たとえば、 Baily と Borel による $D$ $/ Γ$ の最小コンパクト化がある。これは、モジュラー形式(Siegel の場合、Siegel モジュラー形式。^[¹⁶^] Siegel モジュラー多様体も参照)によって形成される次数付き環に関連付けられた射影多様体である。コンパクト化の一意性がないのは、これらのコンパクト化のモジュライ解釈がないためである。つまり、それらは (圏論の意味で) 自然なモジュライ問題を表していないか、より正確には、安定曲線のモジュライスタックの類似物となる自然なモジュライスタックが存在しない。

アフィン変換でも射影変換でもない例

代数多様体はアフィンでも射影的でもない。例として、 $X = P 1 \times A 1$ とし、 $p : X \to A 1$ を射影とする。ここでX は多様体の積であるため、代数多様体である。P $1 は$ $X$ $の$ 閉部分多様体( $p$ の零点として) であるため、アフィンではないが、アフィン多様体は正の次元の射影多様体を閉部分多様体として含むことはできない。X上に定数でない正則関数 $、$ すなわち $p$ が存在するため、射影的でもない。

非アフィン非射影多様体の別の例としては、 $X = A 2 - (0, 0)$ が挙げられる（多様体の射 § 例を参照）。

非例

$C$ 上のアフィン直線 $A 1を考えます。A$ $1$ $=$ $C$ における円 ${$ $z$ $\in$ $C$ $:$ $|$ $z$ $|$ $2$ $= 1 }の補$ $集合$ は、代数多様体ではありません (代数集合ですらありません)。 $|$ $z$ $|$ $2$ $- 1は$ $z$ の多項式ではないことに注意してください (ただし、実座標 $x$ 、 $y$ の多項式です)。一方、 $A$ $1$ $=$ $Cにおける原点の補集合は、原点が$ $z$ のゼロ軌跡であるため、代数 (アフィン) 多様体です。これは次のように説明できます。アフィン直線の次元は 1 であり、それ自身以外の任意の部分多様体は厳密に小さい次元、つまり 0 次元でなければなりません。

同様の理由から、（複素数体上の）ユニタリ群は代数多様体ではないが、特殊線形群 $SL n (C)は、$ $det - 1$ の零点軌跡である $GL n (C)$ の閉部分多様体である。（ただし、異なる基底体上では、ユニタリ群に多様体の構造を与えることができる。）

基本的な結果

アフィン代数集合 $V$ が多様体であるのは、 $I$ $($ $V$ $)が$ 素イデアルである場合に限る。言い換えれば、 $V$ が多様体であるのは、その座標環が整域である場合に限る。^[¹⁷^]^:⁵²^[¹^]^:⁴
空でないアフィン代数集合はすべて、代数多様体の有限個の和集合として一意に表すことができる（ただし、分解に含まれるどの多様体も他の多様体の部分多様体ではない）。^{[ 1 ]}^{: 5}
多様体の次元は、様々な同値な方法で定義できます。詳細は「代数多様体の次元」を参照してください。
有限個の代数多様体の積（代数的に閉じた体上）は代数多様体である。アフィン多様体の有限積はアフィン多様体^{[ 18 ]}であり、射影多様体の有限積は射影多様体である。

代数多様体の同型性

$V 1 と V 2 を$ 代数多様体とする。V $1 と$ $V 2$ が同型であるとは、正則写像 $φ$ $:$ $V$ $1$ $\to$ $V$ $2$ と $ψ$ $:$ $V$ $2$ $\to$ V 1が存在し、合成写像 $ψ$ $\circ$ $φ$ と $φ$ $\circ$ $ψがそれぞれ$ $V$ $1と$ $V$ $2$ 上の恒等写像となる場合をいい、 $V 1 ≅ V 2$ と $表記$ $する$ 。

議論と一般化

上記の基本的な定義と事実によって、古典的な代数幾何学を行うことができます。それ以上のことができるように、例えば、代数的に閉じていない体上の多様体を扱うためには、いくつかの基礎的な変更が必要です。現代の多様体の概念は、上記のものよりもかなり抽象的ですが、代数的に閉じている体上の多様体の場合には同等です。抽象代数多様体は、特定の種類のスキームです。幾何学的側面でのスキームへの一般化により、上記の対応関係をより広いクラスの環に拡張することができます。スキームとは、すべての点が、局所的に環化された空間として、環のスペクトルと同型な近傍を持つような、局所的に環化された空間です。基本的に、 $k$ 上の多様体は、構造層が $k$ 代数の層であり、上記の環 $R$ がすべて整域であり、すべて有限生成 $k$ 代数である、つまり、素イデアルによる多項式代数の商であるという性質を持つスキームです。

この定義は任意の体 $k$ 上で機能します。これにより、結果として得られるオブジェクトが射影空間に収まるかどうかを気にすることなく、アフィン多様体を（共通の開集合に沿って）貼り合わせることができます。ただし、この定義は、例えばゼロが二重になったアフィン直線のような、やや特殊なオブジェクトを導入してしまう可能性があるという問題も引き起こします。このようなオブジェクトは通常、多様体とはみなされず、多様体の基礎となるスキームが分離されていることを要求することで排除されます。（厳密に言えば、上記の定義では有限個のアフィンパッチのみが必要であるという、3つ目の条件もあります。）

現代の研究者の中には、多様体が整数領域のアフィンチャートを持つという制約を取り除き、多様体について話すときには、アフィンチャートが自明な零根を持つことだけを要求する者もいる。

完全多様体とは、非特異曲線の開部分集合からその曲線全体への任意の写像が一意的に拡張できるような多様体のことである。すべての射影多様体は完全であるが、その逆は必ずしも成り立たない。

これらの多様体は、 Serreの層コホモロジーに関する基礎論文FAC ^{[ 19 ]}がこれらの多様体について書かれたことから、「Serre の意味での多様体」と呼ばれてきました。より一般的な対象も補助的に使用されることがありますが、これらは代数幾何学の研究を始める際の典型的な対象であり続けています。

一般化につながる一つの方法は、可約な代数集合（および代数的に閉じていない体 $k ）を許容することであり、これにより環$ Rは整域ではなくなる。より重要な修正は、環の層に冪零元、すなわち既約でない環を許容することである。これは、グロタンディークのスキーム理論に組み込まれた、古典代数幾何学のいくつかの一般化の一つである。

環に冪零元を許容することは、代数幾何学における「重複度」の管理と関連している。例えば、 $x 2 = 0で定義されるアフィン直線の閉じた部分スキームは、$ $x = 0$ (原点)で定義される部分スキームとは異なる。より一般的には、 $X$ と $Y$ が既約であっても、スキームの射 $X$ $\to$ $Yの$ $Y$ 上の点におけるファイバーは既約でない場合がある。幾何学的には、これは、良好な写像のファイバーが非自明な「無限小」構造を持つ可能性があることを意味する。

さらに一般化されたものとして、代数空間やスタックと呼ばれるものがある。

代数多様体

代数多様体とは、 $m$ 次元多様体でもある代数多様体のことであり、したがって、十分に小さい局所パッチはすべて $k m$ と同型である。言い換えれば、この多様体は滑らかである（特異点がない）。k が実数 R の場合 $、$ 代数 $多様$ 体はナッシュ多様体と呼ばれる。代数多様体は、有限個の解析的代数関数の零点集合として定義できる。射影代数多様体は、射影多様体の同値な定義である。リーマン球面はその一例である。

注記

↑ハートショーン、p. xv、ハリス、p. 3
↑ハリス、9ページ。還元不可能であることは、ハートショーン7ページで演習問題として述べられている。

参考文献

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16ハートショーン、ロビン(1977)。代数幾何学。シュプリンガー・フェルラーク。ISBN 0-387-90244-9。
↑ハートショーン著、演習 I.2.9、12ページ
↑ Liu, Qing (2010).代数幾何学と算術曲線（再版）. オックスフォード：オックスフォード大学出版局. pp. 55 定義 2.3.47、88 例 3.2.3. ISBN 978-0199202492。
↑永田正義(1956). 「抽象多様体の射影多様体への埋め込み問題について」 .京都大学理学部紀要. シリーズA: 数学. 30 : 71– 82. doi : 10.1215/kjm/1250777138 . MR 0088035 .
↑永田正義(1957). 「抽象曲面の射影多様体への埋め込みについて」 .京都大学理学部紀要. シリーズA: 数学. 30 (3): 231– 235. doi : 10.1215/kjm/1250777007 . MR 0094358 . S2CID 118328992 .
↑フルトン、ウィリアム(1993).トーリック多様体入門.プリンストン大学出版局. p. 65. ISBN 978-0-691-00049-7。は、非自明な線束を持たない完全トーリック多様体を表す。したがって、特に、豊富線束を持たない。
↑定義 1.1.12、Ginzburg, V., 1998. Lectures on D-modules. University of Chicago.
↑ミルン 2008 、命題2.1
↑ミルン 2008 、§5の冒頭
↑ MFK 1994 、定理 5.11。
↑ Deligne, Pierre ; Mumford, David (1969). "The irreducibility of the space of curves of given genus" (PDF) . Publications Mathématiques de l'IHÉS . 36 : 75– 109. CiteSeerX 10.1.1.589.288 . doi : 10.1007/bf02684599 . S2CID 16482150 .
↑ MFK 1994 、第5章付録C。
↑マーク・ゴレスキー。モジュラー多様体のコンパクト化とコホモロジー。調和解析、トレース公式、志村多様体、クレイ数学論文集第4巻、551-582ページ。アメリカ数学会、プロビデンス、ロードアイランド州、2005年。
↑ Ash, A.; Mumford, David ; Rapoport, M. ; Tai, Y. (1975), Smooth compactification of locally symmetric varieties (PDF) , Brookline, Mass.: Math. Sci. Press, ISBN 978-0-521-73955-9MR 0457437
↑浪川幸彦 (1980).シーゲル空間のトーラスコンパクト化. 数学講義ノート. 第812巻. doi : 10.1007/BFb0091051 . ISBN 978-3-540-10021-8。
↑ Chai, Ching-Li (1986). "Siegel Moduli Schemes and Their Compactifications over $C$ ". Arithmetic Geometry . pp. 231–251 . doi : 10.1007/978-1-4613-8655-1_9 . ISBN 978-1-4613-8657-5。
↑ハリス、ジョー(1992).代数幾何学 ― 入門コース. 大学院数学テキストシリーズ. 第133巻. Springer-Verlag . doi : 10.1007/978-1-4757-2189-8 . ISBN 0-387-97716-3。
↑代数幾何学 I.数学科学百科事典第23 巻 1994 年doi : 10.1007/978-3-642-57878-6 . ISBN 978-3-540-63705-9。
↑セール、ジャン・ピエール (1955)。「ファイソー代数の一貫性」(PDF)。数学年報。61 (2): 197–278。土井: 10.2307/1969915。JSTOR 1969915。

情報源

コックス、デイビッド；ジョン・リトル；ドン・オシェア（1997）。理想、多様性、アルゴリズム（第2 版）。シュプリンガー・フェルラーク。ISBN 0-387-94680-2。
アイゼンバッド、デイビッド（1999）。代数幾何学への展望を伴う可換代数。シュプリンガー・フェルラーク。ISBN 0-387-94269-6。
ミルン、ジェームズ S. (2008). 「代数幾何学」 . 2009年9月1日取得。
Milne J.、「ヤコビ多様体」、算術幾何学の第VII章として出版（コネチカット州ストーズ、1984年）、167–212、Springer、ニューヨーク、1986年。
David, マムフォード;フォガティ、ジョン。フランシス・カーワン(1994)。幾何学的不変理論。 Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [数学および関連分野の結果 (2)]。 Vol. 34 (第 3 版)。ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag。ISBN 978-3-540-56963-3MR 1304906 .
代数幾何学と算術曲線 /オックスフォード科学出版。オックスフォード大学出版局。2006年。ISBN 978-0-19-154780-5OCLC 646747871。

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[2] ハートショーン、p. xv、ハリス、p. 3

[8] ハリス、9ページ。還元不可能であることは、ハートショーン7ページで演習問題として述べられている。

[Hartshorne-1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16ハートショーン、ロビン(1977)。代数幾何学。シュプリンガー・フェルラーク。ISBN 0-387-90244-9。

[3] ハートショーン著、演習 I.2.9、12ページ

[LiuQing-4] Liu, Qing (2010).代数幾何学と算術曲線（再版）. オックスフォード：オックスフォード大学出版局. pp. 55 定義 2.3.47、88 例 3.2.3. ISBN 978-0199202492。

[Nagata56-5] 永田正義(1956). 「抽象多様体の射影多様体への埋め込み問題について」 .京都大学理学部紀要. シリーズA: 数学. 30 : 71– 82. doi : 10.1215/kjm/1250777138 . MR 0088035 .

[Nagata57-6] 永田正義(1957). 「抽象曲面の射影多様体への埋め込みについて」 .京都大学理学部紀要. シリーズA: 数学. 30 (3): 231– 235. doi : 10.1215/kjm/1250777007 . MR 0094358 . S2CID 118328992 .

[7] フルトン、ウィリアム(1993).トーリック多様体入門.プリンストン大学出版局. p. 65. ISBN 978-0-691-00049-7。は、非自明な線束を持たない完全トーリック多様体を表す。したがって、特に、豊富線束を持たない。

[9] 定義 1.1.12、Ginzburg, V., 1998. Lectures on D-modules. University of Chicago.

[10] ミルン 2008 、命題2.1

[11] ミルン 2008 、§5の冒頭

[12] MFK 1994 、定理 5.11。

[13] Deligne, Pierre ; Mumford, David (1969). "The irreducibility of the space of curves of given genus" (PDF) . Publications Mathématiques de l'IHÉS . 36 : 75– 109. CiteSeerX 10.1.1.589.288 . doi : 10.1007/bf02684599 . S2CID 16482150 .

[14] MFK 1994 、第5章付録C。

[15] マーク・ゴレスキー。モジュラー多様体のコンパクト化とコホモロジー。調和解析、トレース公式、志村多様体、クレイ数学論文集第4巻、551-582ページ。アメリカ数学会、プロビデンス、ロードアイランド州、2005年。

[16] Ash, A.; Mumford, David ; Rapoport, M. ; Tai, Y. (1975), Smooth compactification of locally symmetric varieties (PDF) , Brookline, Mass.: Math. Sci. Press, ISBN 978-0-521-73955-9MR 0457437

[17] 浪川幸彦 (1980).シーゲル空間のトーラスコンパクト化. 数学講義ノート. 第812巻. doi : 10.1007/BFb0091051 . ISBN 978-3-540-10021-8。

[18] Chai, Ching-Li (1986). "Siegel Moduli Schemes and Their Compactifications over $C$ ". Arithmetic Geometry . pp. 231–251 . doi : 10.1007/978-1-4613-8655-1_9 . ISBN 978-1-4613-8657-5。

[Harris-19] ハリス、ジョー(1992).代数幾何学 ― 入門コース. 大学院数学テキストシリーズ. 第133巻. Springer-Verlag . doi : 10.1007/978-1-4757-2189-8 . ISBN 0-387-97716-3。

[20] 代数幾何学 I.数学科学百科事典第23 巻 1994 年doi : 10.1007/978-3-642-57878-6 . ISBN 978-3-540-63705-9。

[21] セール、ジャン・ピエール (1955)。「ファイソー代数の一貫性」(PDF)。数学年報。61 (2): 197–278。土井: 10.2307/1969915。JSTOR 1969915。

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代数多様体

概要と定義

アフィン多様体

射影多様体と準射影多様体

抽象品種

非準射影的抽象代数多様体の存在

例

亜種

アフィン多様体

例１

例２

例３

一般線形群

特徴的な品種

投影的多様性

例１

例２：グラスマン多様体

ヤコビ多様体とアーベル多様体

モジュリの品種

アフィン変換でも射影変換でもない例

非例

基本的な結果

代数多様体の同型性

議論と一般化

代数多様体

関連項目

注記

参考文献

情報源

関連するトピック

三次多様体

数学

代数

実数