クロネッカー係数

数学において、クロネッカー係数 g ^λ _{μν は、}対称群の2 つの既約表現のテンソル積(= クロネッカー積) の既約表現への分解を表します。これらは代数的組合せ論と幾何学的複雑性理論で重要な役割を果たします。これらは 1938 年にMurnaghanによって導入されました。

nの分割 λ が与えられたとき、 λ に関連付けられたスペヒト加群をV _{λ と}書きます。すると、クロネッカー係数g ^λ _{μν は}次の規則で与えられます。

${\displaystyle V_{\mu }\otimes V_{\nu }=\bigoplus _{\lambda }g_{\mu \nu }^{\lambda }V_{\lambda }.}$

これを対称関数のレベルで解釈すると、2つのシューア多項式のクロネッカー積の式が得られます。

${\displaystyle s_{\mu }\star s_{\nu }=\sum _{\lambda }g_{\mu \nu }^{\lambda }s_{\lambda }.}$

これをリトルウッド・リチャードソン係数と比較すると、誘導表現

${\displaystyle \uparrow _{S_{|\mu |}\times S_{|\nu |}}^{S_{|\lambda |}}\left(V_{\mu }\otimes V_{\nu }\右）=\bigoplus _{\lambda }c_{\mu \nu }^{\lambda }V_{\lambda },}$

対称関数の対応する演算は通常の積である。また、リトルウッド・リチャードソン係数はGL _nの表現に対するクロネッカー係数の類似物であることにも注意されたい。つまり、 λ に対応する既約表現をW _λと書くと（λ は最大でn個の部分を持つ）、次のようになる。

${\displaystyle W_{\mu }\otimes W_{\nu }=\bigoplus _{\lambda }c_{\mu \nu }^{\lambda }W_{\lambda }.}$

BürgisserとIkenmeyer (2008)は、クロネッカー係数の計算は#P困難であり、 GapPに含まれることを示した。Ikenmeyer、Mulmuley、Walter (2017)による最近の研究では、与えられたクロネッカー係数がゼロでないかどうかを判断することはNP困難であることがわかっている。^{[1]これらの係数の計算複雑性に対する最近の関心は}、幾何学的複雑性理論プログラムとの関連性から生じている。

表現論と組合せ論における未解決の大きな問題は、クロネッカー係数の組合せ論的記述を与えることである。これは、1938 年にMurnaghan がそのような組合せ論的記述を求めたときから未解決のままであった。^[2]組合せ論的記述は、上記の結果に照らして、 問題が # P 完全であることを意味する。

クロネッカー係数は次のように計算できます。 ここで、は順列 上の整数分割に対応する既約表現の指標値です。 $${\displaystyle g(\lambda ,\mu ,\nu )={\frac {1}{n!}}\sum _{\sigma \in S_{n}}\chi ^{\lambda }(\sigma ) \chi ^{\mu }(\sigma )\chi ^{\nu }(\sigma ),}$$${\displaystyle \chi ^{\lambda }(\sigma )}$ ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \sigma \in S_{n}}$

クロネッカー係数は一般化されたコーシー恒等式にも現れる。 $${\displaystyle \sum _{\lambda ,\mu ,\nu }g(\lambda ,\mu ,\nu )s_{\lambda }(x)s_{\mu }(y)s_{\nu }(z)=\prod _{i,j,k}{\frac {1}{1-x_{i}y_{j}z_{k}}}.}$$

• リトルウッド・リチャードソン係数

• Bürgisser, Peter; Ikenmeyer, Christian (2008)、「クロネッカー係数の計算の複雑さ」、第 20 回形式べき級数と代数的組合せ論に関する国際会議 (FPSAC 2008)、Discrete Math. Theor. Comput. Sci. Proc.、AJ、Assoc. Discrete Math. Theor. Comput. Sci.、Nancy、pp. 357–368、MR  2721467