四分円

幾何学において、空間曲線の四分円線または四分円線は、曲線の 4 つの点を通過する線です。これは、一般的な空間曲線が線と持つことのできる交点の最大数であり、このような曲線では四分円線は離散的な線のセットを形成します。四分円線は、いくつかの種類の曲線について研究されてきました。

• 結び目理論における結び目とリンクは、非自明な場合、常に四分円弧を持ち、四分円弧の存在と数は、結び目の最小全曲率やロープの長さなどの結び目の不変量と関連して研究されてきました。
• 複素射影空間における非特異代数曲線の四分円曲線の数は、アーサー・ケイリーによって導出された式によって計算できます。
• 斜めの直線の配置の四等分線は、配置の 4 本の直線のサブセットに接します。これらは、線織面およびSchläfli の二重 6構成に関連付けられています。

四等分線は、曲線、面、またはその他の集合と4つの異なる点で交差する線です。これは、2点で曲線または面と交差する線である割線、および3点で曲線または面と交差する線である三等分線に類似しています。^[2]

正割線や三割線と比較すると、四分線は空間曲線に特に関係があります。なぜなら、四分線は直線と一般的な曲線の交点の数が最も多いからです。平面では、一般的な曲線は直線と任意の回数交差できます。たとえば、正弦曲線の小さな一般的な摂動は、水平軸と無限に交差します。対照的に、任意の空間曲線を小さな距離で摂動して一般的な曲線にした場合、摂動された曲線の 5 点以上を通る直線は存在しません。ただし、元の空間曲線の四分線は、摂動の近くに残ります。^[3]一般的な空間曲線の場合、四分線は離散的な直線の集合を形成します。対照的に、三分線が発生すると、連続した直線の族を形成します。^[4]

この現象の 1 つの説明は視覚によるものです。空間曲線を遠くから見ると、そのような視点の空間は 2 次元球体として記述でき、各方向に 1 つの点が対応します。曲線のストランドのペアは、これらすべての視点から、またはそれらの 2 次元サブセットから交差しているように見えます。視点が三等分線上にある場合、3 つのストランドは三重交差を形成し、四等分線上の視点からは 4 つのストランドは四重交差を形成します。ストランドのペアの交差が別のストランド上にあるという各制約により、自由度の数が 1 つ減少します (一般的な曲線の場合)。そのため、三等分線上の視点は球体の 1 次元 (連続的に無限) サブセットを形成し、四等分線上の視点は 0 次元 (離散) サブセットを形成します。CTCウォールは、一般的な空間曲線が直線によって最大4回交差するという事実は「この種の定理の中で最も単純なものの一つ」であり、高次元横断上の類似の定理のモデルケースであると書いている。^[3]

曲線の性質に応じて、四分円曲線が全く存在しない場合、有限個存在する場合、または無限個存在する場合がある。これらの考察により、四分円曲線の存在条件を決定したり、結び目のある曲線、^{[5] [6]}代数曲線、^[7]または直線の配置などのさまざまな特殊なケースで四分円曲線の数の上限を見つけたりすることが興味深いものとなる。^[8]

3次元ユークリッド空間では、すべての非自明な 結び目またはリンクには四分円弧が存在します。この結果はもともとエリカ・パンヴィッツによって結び目のある多角形と滑らかな結び目の場合に確立されましたが、^[5] この結果は適切な一般的な位置にある結び目とリンク数がゼロでないリンクに拡張され、^[6] その後、すべての非自明な結び目とリンクに拡張されました。^[9]

Pannwitz は、結び目を境界とする局所的に平坦な円板の場合、円板の特異点の数を使用して、異なる四分円弧の数の下限を構成できることをより強力に証明しました。少なくとも 1 つの四分円弧が存在することは、そのような円板には少なくとも 1 つの特異点があるという事実から生じます。 ^{[5] [10]} Morton と Mond (1982) は、与えられた結び目の異なる四分円弧の数は常に少なくとも であり、ここで は結び目の交差数であると予想しました。^{[6] [10]}その後、この予想に対する反例が発見されました。^[10]${\displaystyle n(n-1)/2}$${\displaystyle n}$

2成分リンクには四分円線があり、四分円線上の点は2成分間で交互に現れます。[6] また、非自明な結び目には四分円線があり、結び目と同様に周期的に並べられた4つの点は四分円線に沿って順番に現れます。^[ 11 ]^これらの交互四分円線の存在は、非自明な結び目の合計曲率の下限値であるファリー・ミルノーの定理を導くために使用できます。 ^{[11]四分円線は、結び目のロープの}長さの下限値を見つけるためにも使用されています。^[12]${\displaystyle abcd}$${\displaystyle acbd}$

GT ジンと HS キムは、結び目のある曲線に四分円線が有限個あるとき、四分円線が と交差する点を頂点とし、四分円線が に現れるのと同じ順序で、同等の多角形の結び目で近似できると予想しました。しかし、彼らの予想は誤りです。実際は、あらゆる結び目の種類に対して、この構成によって自己交差多角形が生じる実現と、この構成によって異なる種類の結び目が生じる実現があります。^[13]${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$

あらゆる野生結び目には無限個の四分円弧が存在すると推測されている。 ^[9]

アーサー・ケイリーは、 3次元複素射影空間における代数曲線の四分円弧の数を、次数と種数の関数として導出した。^[7]次数と種数の曲線の場合、四分円弧の数は^[14]である。 この公式は、与えられた曲線が非特異であることを前提としている。特異点がある場合は調整が必要になることがある。^{[15] [16]}${\displaystyle d}$${\displaystyle g}$ $${\displaystyle {\frac {(d-2)(d-3)^{2}(d-4)}{12}}-{\frac {g(d^{2}-7d+13-g)}{2}}.}$$

3次元ユークリッド空間では、一般的な位置にある4本の斜線の各セットには、 2つの四分円線（この文脈では横断線とも呼ばれる）があるか、まったくないかのどちらかである。4本の線のうちの3本は双曲面を決定する。双曲面は、2組の線のうち1組に3本の与えられた線が含まれ、もう1組の線は与えられた線の三分円で構成される二重線条面である。与えられた線のうちの4本目がこの面を貫通する場合、双曲面は2次方程式によって定義されるため、交点が2つある。線条面の2つの三分円線は、これらの2点を通って、与えられた4本の線からなる2つの四分円線を形成する。一方、4本目の線が双曲面と交わっていない場合、四分円線は存在しない。^{[17]実座標ではなく}複素数座標の空間では、4本の斜線には常に2つの四分円線がある。^[8]

直線の四分円は、12 本の直線が 30 か所で交差する構成であるシュレーフリの二重六線の構築に重要な役割を果たします。3次元空間に5 本の直線( の場合)が与えられ、その 5 本すべてが共通の直線で交差し、それ以外は一般的な位置にある場合、5 本の直線の四分円のそれぞれに2 番目の四分円 があり、このようにして形成された 5 本の直線はすべて共通の直線 で交差します。これらの 12 本の直線と 30 か所の交差点が二重六線を形成します。^{[18] [19]}${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle i=1,2,3,4,5}$${\displaystyle b_{6}}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle b_{i}}$${\displaystyle b_{i}}$${\displaystyle a_{6}}$${\displaystyle a_{i}b_{j}}$

与えられた数の交差と、それ以外は歪んだ複素直線の配置は、交差の数から決定された次数と種数を持つ代数曲線として解釈することができ、前述のケイリーの公式はその四分円を数えるのに使用されます。この公式と同じ結果は、四分円直線を交差点で分類し、各タイプの四分円直線の数を数え、与えられたセット内のすべての四分円直線を合計することによっても得られます。^[8]${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$