アリコートシーケンス

数学において、因数列とは、各項が前の項の真約数の合計である正の整数の列です。 1 の真約数の合計は 0 なので、列が 1 に達すると、列は終了します。

正の整数kで始まるアリコートシーケンスは、次のように、約数和関数 _σ1またはアリコート和関数sによって正式に定義できます。 ^[1] s _{n -1} = 0条件を追加する と、0の後の項はすべて0になり、すべてのアリコートシーケンスは無限大になり、すべてのアリコートシーケンスが収束すると推測できます。これらのシーケンスの極限は通常0または6です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}&=k\\[4pt]s_{n}&=s(s_{n-1})=\sigma _{1}(s_{n-1})-s_{n-1}\quad {\text{if}}\quad s_{n-1}>0\\[4pt]s_{n}&=0\quad {\text{if}}\quad s_{n-1}=0\\[4pt]s(0)&={\text{undefined}}\end{aligned}}}$$

たとえば、10 のアリコート シーケンスは、次の理由により 10、8、7、1、0になります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}(10)-10&=5+2+1=8,\\[4pt]\sigma _{1}(8)-8&=4+2+1=7,\\[4pt]\sigma _{1}(7)-7&=1,\\[4pt]\sigma _{1}(1)-1&=0.\end{aligned}}}$$

多くのアリコート シーケンスは 0 で終了します。このようなシーケンスはすべて、必ず素数の後に 1 (素数の唯一の適切な約数は 1 であるため)、その後に 0 (1 には適切な約数がないため) が続く数で終了します。75 までのこのような数のリストについては、( OEISのシーケンスA080907 ) を参照してください。アリコート シーケンスが終了しない方法はさまざまです。

• 完全数には周期 1 の繰り返し因数列があります。たとえば、6 の因数列は6、6、6、6、...です。
• 友好的な数には、周期2 の繰り返し因数列があります。たとえば、220 の因数列は、220、284、220、284、...です。
• 社交的な数には、周期 3 以上の繰り返し因数列があります。(社交的な数という用語は、友好的な数も含むために使用されることがあります。) たとえば、1264460 の因数列は、1264460、1547860、1727636、1305184、1264460、...です。
• いくつかの数は、最終的には周期的になる因数列を持っていますが、その数自体は完全でも友好的でも社交的でもない。例えば、95の因数列は、95、25、6、6、6、6、...です。95のように完全ではないが、最終的には周期1の因数列を繰り返す数は、意欲的な数と呼ばれます。^[2]

nから始まるアリコートシーケンスの長さは

1、2、2、3、2、1、2、3、4、4、2、7、2、5、5、6、2、4、2、7、3、6、2、5、1、7、3、1、2、15、2、3、6、8、3、4、2、7、3、4、2、14、2、5、7、8、2、6、4、3 、... (OEIS のシーケンスA044050 )

nから始まるアリコートシーケンスの最後の項（1を除く）は

1、2、3、3、5、6、7、7、3、7、11、3、13、7、3、3、17、11、19、7、11、7、23、17、6、3、13、28、29、3、31、31、3、7、13、17、37、7、17、43、41、3、43、43、3、3、47、41、7、43 、... (OEIS のシーケンスA115350 )

因数列が1で終わる数は

1、2、3、4、5、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、26、27、29、30、31、32、33、34、35、36、37、38、39、40、41、42、43、44、45、46、47、48、49、50 、...（ OEIS のシーケンスA080907 ）

完全数自体（6、28、496、…）以外の、 完全数で終わることが知られている数は、

25、95、119、143、417、445、565、608、650、652、675、685、783、790、909、913、...（OEISの配列A063769）

アリコートシーケンスが少なくとも長さ2のサイクルで終了する数は

220、284、562、1064、1184、1188、1210、1308、1336、1380、1420、1490、1604、1690、1692、1772、1816、1898、2008、2122、2152、2172、2362、...（OEISのシーケンスA121507）

因数列が有限であるか、あるいは周期的であることが知られていない数は

276、306、396、552、564、660、696、780、828、888、966、996、1074、1086、1098、1104、1134、1218、1302、1314、1320、1338、1350、1356、1392、1398、1410、1464、1476、1488、...（OEISの配列A131884）

因数列において決して後続しない数は、不可侵数と呼ばれます。

2、5、52、88、96、120、124、146、162、188、206、210、216、238、246、248、262、268、276、288、290、292、304、306、322、324、326、336、342、372、406、408、426、430、448、472、474、498 、 ... （OEISのシーケンスA005114 ）​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​

カタランによる重要な予想は、カタラン-ディクソン予想とも呼ばれ、すべての因数列は、上記のいずれか、すなわち素数、完全数、または友好数または社交数の集合で終わるというものです。^[3]あるいは、因数列が無限でありながら決して繰り返されない数が存在するということになります。因数列が完全に決定されていない多くの数のいずれかが、そのような数である可能性があります。候補となる最初の 5 つの数は、DH レーマーにちなんでレーマーの 5 つと呼ばれることが多く、276、552、564、660、および 966 です。^[4]ただし、276 は因数列で高い頂点に達してから下降する可能性があることは注目に値します。つまり、数 138 は 179931895322 のピークに達してから 1 に戻ります。

ガイとセルフリッジはカタラン・ディクソン予想は誤りであると信じています（そのため、彼らはいくつかのアリコート列が上方に非有界である（つまり発散する）と予想しています）。^[5]

因数列は、与えられた整数 に対して、有向グラフとして表すことができます。ここで、はの真約数の合計を表します。^[6]内のサイクルは、区間 内の社交的な数を表します。2つの特別なケースとして、完全数を表すループと、友好的なペアを表す長さ 2 のサイクルがあります。 ${\displaystyle G_{n,s}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle s(k)}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle G_{n,s}}$${\displaystyle [1,n]}$

• 算術ダイナミクス

• 開始期間が200万未満のアリコートシーケンスの現在のステータス
• アリコートサイクルの表 (JOM Pedersen)
• アリコート ページ (ヴォルフガング クレアウフミュラー)
• アリコート配列 (Christophe Clavier)
• アリコートシーケンスの計算に関するフォーラム (MersenneForum)
• 100000 までのシーケンスのアリコート シーケンスの概要ページ (より高い範囲のシーケンスについても同様のページがあります) (Karsten Bonath)
• アリコート配列に関する活発な研究サイト (Jean-Luc Garambois) (フランス語)