ネーター環

数学において、ネーター環とは、左イデアルと右イデアルの両方で昇鎖条件を満たす環のことである。昇鎖条件が左イデアルのみ、または右イデアルのみで満たされる場合、その環はそれぞれ左ネーター環、または右ネーター環と呼ばれる。形式的には、すべての増加列は${\displaystyle I_{1}\subseteq I_{2}\subseteq I_{3}\subseteq \cdots }$左（または右）イデアルの最大の要素が存在する。${\displaystyle n}$そのため ${\displaystyle I_{n}=I_{n+1}=\cdots .}$

言い換えれば、環が左ネーター環（右ネーター環）であるとは、すべての左イデアル（右イデアル）が有限生成であることを意味する。環がネーター環であるとは、それが左ネーター環かつ右ネーター環であることを意味する。

ネーター環は、可換環論と非可換環論の両方において基本的な性質を持つ。なぜなら、数学で遭遇する多くの環はネーター環であり（特に整数環、多項式環、数体における代数的整数環など）、環に関する多くの一般的な定理はネーター性に大きく依存しているからである（例えば、ラスカー・ネーターの定理やクルルの交差定理など）。

ネーター環はエミー・ネーターにちなんで名付けられましたが、その概念の重要性は、ヒルベルトの基底定理（多項式環はネーター環であると主張する定理）とヒルベルトのシジジー定理の証明によって、それ以前にダヴィッド・ヒルベルトによって認識されていました。

非可換環においては、非常によく似た3つの概念を区別する必要がある。

• 環が左ネーター環であるとは、左イデアルに関する昇鎖条件を満たす場合をいう。
• 環が右ネーター環であるとは、右イデアルに関する昇鎖条件を満たす場合をいう。
• リングがネーター環であるとは、それが左ネーター環かつ右ネーター環であることを意味する。

可換環の場合、これら3つの概念はすべて一致するが、一般的にはそれぞれ異なる。左ネーター環であっても右ネーター環ではないもの、あるいはその逆の環も存在する。

環Rが左ネーター環であることには、他にも同等の定義が存在する。

• Rのすべての左イデアルIは有限生成である。つまり、要素が存在する。${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$Iにおいて、${\displaystyle I=Ra_{1}+\cdots +Ra_{n}}$[ ^{1 ]​}
• Rの空でない左イデアルの集合は、包含関係によって部分的に順序付けられており、極大元を持つ。^{[ 1 ]}

右ネーター環についても同様の結果が得られる。

以下の条件も、環Rが左ネーター環であるための同等の条件であり、ヒルベルトのオリジナルの定式化です。 ^{[ 2 ]}

• 数列が与えられた場合${\displaystyle f_{1},f_{2},\dots }$Rの要素の整数が存在する${\displaystyle n}$それぞれ${\displaystyle f_{i}}$有限線形結合${\textstyle f_{i}=\sum _{j=1}^{n}r_{j}f_{j}}$係数付き$\displaystyle r_j}}$Rにおいて。

可換環がネーター環であるためには、環のすべての素イデアルが有限生成であれば十分である。 ^{[ 3 ]}しかし、すべての極大イデアルが有限生成であるだけでは不十分である。極大イデアルが主イデアルである非ネーター環が存在するからである（クルルの交差定理に対する反例については、Local ring#Commutative caseを参照）。

• Rがネーター環である場合、多項式環${\displaystyle R[X]}$ヒルベルトの基底定理により、ネーター的である。帰納法により、${\displaystyle R[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$はネーター環である。また、冪級数環であるR [[ X ]]もネーター環である。
• Rがネーター環であり、Iが両側イデアルである場合、商環R / Iもまたネーター環である。言い換えれば、ネーター環の任意の環準同型の像はネーター環である。
• 可換ネーター環上の有限生成可換代数はすべてネーター環である。（これは前述の2つの性質から導かれる。）
• 環Rが左ネーター環であるのは、すべての有限生成左R加群がネーター加群である場合かつその場合に限る。
• 可換環が忠実なネーター加群を持つならば、その環はネーター環である。^{[ 4 ]}
• （イーキン・永田）環Aが可換ネーター環Bの部分環であり、BがA上の有限生成加群であるならば、 Aはネーター環である。^{[ 5 ]}
• 同様に、環Aが可換ネーター環Bの部分環であり、 BがA上で忠実に平坦である場合(またはより一般的にはA を純粋部分環として示す場合)、Aはネーター環である (理由については「忠実に平坦」の記事を参照)。
• 可換ネーター環のあらゆる局所化はネーター的である。
• 秋月・ホプキンス・レビツキーの定理の帰結の一つは、すべての左アルティン環は左ネーター環であるということである。もう一つの帰結は、左アルティン環が右ネーター環であるのは、それが右アルティン環である場合に限るということである。「右」と「左」を入れ替えた同様の命題も真である。
• 左ネーター環は左コヒーレントであり、左ネーター領域は左Ore領域である。
• （バス）環が（左／右）ネーター環であるのは、 （左／右）入射加群の直和がすべて入射加群である場合に限る。左ネーター加群上のすべての左入射加群は、分解不可能な入射加群の直和として分解できる。 ^{[ 6 ]}下記の入射加群に関する含意も参照のこと。
• 可換ネーター環においては、最小素イデアルは有限個しか存在しない。また、素イデアルに対しては、下降鎖条件が成り立つ。
• 可換なネーター領域Rでは、すべての要素を既約要素に因数分解できます（つまり、Rは因数分解領域です）。したがって、さらに因数分解が要素の単位元による乗算を除いて一意である場合、Rは一意の因数分解領域です。

• 有理数体、実数体、複素数体を含むあらゆる体はネーター体である。（体には、自身と（0）という2つのイデアルしか存在しない。）
• 整数環のような任意の主イデアル環は、すべてのイデアルが単一の元によって生成されるため、ネーター環である。これには主イデアル整域とユークリッド整域も含まれる。
• デデキント環（例えば、整数環）とは、すべてのイデアルが最大で2つの元によって生成されるネーター環のことである。
• ヒルベルト基底定理の結果として、アフィン多様体の座標環はネーター環となる。
• 有限次元リー代数の包絡代数U${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$は左ネーター環と右ネーター環の両方である。これは、 Uの関連する次数付き環が の商環であるという事実から導かれる。${\displaystyle \operatorname {Sym} ({\mathfrak {g}})}$これは体上の多項式環である（PBW定理）。したがって、ネーター環である。^{[ 7 ]}同じ理由で、ワイル代数やより一般的な微分作用素環もネーター環である。^{[ 8 ]}
• 整数または体上の有限個の変数を持つ多項式の環はネーター環である。

ネーター環ではない環は、（ある意味で）非常に大きい傾向があります。以下に、ネーター環ではない環の例をいくつか示します。

• 無限個の変数X ₁、X ₂、X ₃などを含む多項式の環。イデアルの列 ( X ₁ )、 ( X ₁、X ₂ )、 ( X ₁、X ₂、X ₃ )、などがあり、昇順であり、終止しません。
• すべての代数的整数からなる環はネーター環ではない。例えば、この環には主イデアルの無限昇列が含まれる：(2), (2 ^1/2 ), (2 ^1/4 ), (2 ^1/8 ), ...
• 実数から実数への連続関数の環はネーター環ではない。I n_を、すべてのx ≥ nに対してf ( x ) = 0 となるすべての連続関数fのイデアルとする。イデアルI ₀、I ₁、I ₂などの列は、終結しない昇鎖である。
• 球面の安定ホモトピー群の環はネーター環ではない。^{[ 9 ]}

しかし、非ネーター環はネーター環の部分環になり得る。任意の整域は体の部分環であるため、ネーター環でない任意の整域がその例となる。より自明でない例を挙げると、

• 体k上のxとy / x ⁿによって生成される有理関数の環は、体k ( x , y ) の 2 つの変数のみの部分環である。

実際、右ネーター環ではあるが左ネーター環ではない環も存在するため、このように環の「大きさ」を測る際には注意が必要である。例えば、LがZと同型なQ ²の部分群である場合、R を、 f ( L ) ⊂ Lを満たすQ ²からそれ自身への準同型fの環とする。基底を選択することで、同じ環R を次のように記述できる。

${\displaystyle R=\left\{\left.{\begin{bmatrix}a&\beta \\0&\gamma \end{bmatrix}}\,\right\vert \,a\in \mathbf {Z} ,\beta \in \mathbf {Q} ,\gamma \in \mathbf {Q} \right\}.}$

この環は右ネーター環であるが、左ネーター環ではない。a = 0 かつγ = 0の要素からなる部分集合I ⊂ Rは左イデアルであるが、左R加群としては有限生成ではない。

Rが左ネーター環Sの可換部分環であり、S が左R加群として有限生成である場合、Rはネーター環である。^{[ 10 ]} ( Sが可換である特殊な場合、これはイーキンの定理として知られている。) しかし、 R が可換でない場合はこれは真ではない。前の段落の環Rは左ネーター環S = Hom( Q ² , Q ² ) の部分環であり、S は左R加群として有限生成であるが、Rは左ネーター環ではない。

一意分解領域は必ずしもネーター環であるとは限りません。ただし、より弱い条件である主イデアルの昇鎖条件は満たします。無限個の変数を持つ多項式の環は、非ネーター的な一意分解領域の一例です。

評価環は、主イデアル整域でない限り、ネーター環ではない。これは、代数幾何学において自然に現れる環でありながら、ネーター環ではない環の一例である。

環論（特に可換環論）における多くの重要な定理は、環がネーター環であるという仮定に基づいている。

環が与えられたとき、その環上の単射加群の振る舞いと、その環がネーター環であるかどうかには密接な関係がある。すなわち、環Rが与えられたとき、以下は同値である。

• Rは左ネーター環である。
• （バス） 左R加群の直和はすべて単射である。^{[ 6 ]}
• 各単射左R加群は、分解不可能な単射加群の直和である。^{[ 13 ]}
• （フェイス＝ウォーカー）基数が存在する${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$R上の各単射左加群が直和となるように${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$-生成されたモジュール（モジュールは${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$生成集合の濃度が最大で の場合に生成されます${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$) ^{[ 14 ]}
• 左R加群Hが存在し、すべての左R加群はHのコピーの直和に埋め込まれる。^{[ 15 ]}

分解不可能な単射加群の自己準同型環は局所的である[ 16 ]^{ため、アズマヤ}の定理によれば、左ネーター環上では、単射加群の各分解不可能な分解は互いに同値である（クルル・シュミットの定理の変形）。

• ネーター的スキーム
• アルティニアンリング
• ジャファールリング

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• Atiyah, MF、MacDonald, IG (1969).可換代数学入門. Addison-Wesley-Longman. ISBN 978-0-201-40751-8
• ブルバキ、ニコラス(1989)。可換代数: 第 1 章から第 7 章まで。スプリンガー・フェルラーク。ISBN 978-0-387-19371-7。
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• 松村秀幸 (1989) 『可換環論』ケンブリッジ高等数学研究シリーズ（第2 版）、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-36764-6

• 「ネーター環」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]