有限生成群

代数学において、有限生成群とは、有限生成集合Sを持ち、Gのあらゆる元が（群演算の下で） Sの有限個の元 とそれらの元の逆元の組合せとして表される群 Gのことである。^[1]

定義により、S はG自体とみなすことができるため、すべての有限群は有限生成です。すべての無限有限生成群は可算である必要がありますが、可算群は有限生成である必要はありません。有理数の加法群Qは、有限生成ではない可算群の例です。

• 有限生成群Gのすべての商は有限生成である。商群は、標準射影によるGの生成元の像によって生成される。
• 単一の要素によって生成される群は巡回群と呼ばれます。すべての無限巡回群は整数Zの加法群と同型です。
  • 局所巡回群とは、すべての有限生成部分群が巡回する群です。
• 有限集合上の自由群はその集合の要素によって有限生成される（§例）。
• ましてや、有限に提示された群( §例) はすべて有限に生成されます。

あらゆるアーベル群は整数環Z上の加群として見ることができ、生成元x ₁ , ..., x _nを持つ有限生成アーベル群では、あらゆる群元x はこれらの生成元の線型結合として表すことができる。

x = α ₁ ⋅ x ₁ + α ₂ ⋅ x ₂ + ... + α _n ⋅ x _n

整数α ₁ , ..., α _{n を}使用します。

有限生成アーベル群の部分群自体も有限生成である。

有限生成アーベル群の基本定理は、有限生成アーベル群は有限ランクの自由アーベル群と有限アーベル群の直和であり、それぞれが同型性を除いて一意であることを述べています。

有限生成群の部分群は、有限生成である必要はありません。2つの生成元上の自由群の交換子部分群は、有限生成ではない有限生成群の部分群の例です。 ${\displaystyle F_{2}}$

一方、有限生成アーベル群のすべての部分群は有限生成です。

有限生成群内の有限指数の部分群は常に有限生成であり、シュライアー指数公式は必要な生成子の数に上限を与える。^[2]

1954年、アルバート・G・ハウソンは、自由群の2つの有限生成部分群の交差も有限生成であることを示した。さらに、とが2つの有限生成部分群の生成元の数である場合、それらの交差は最大で生成元によって生成される。^[3]この上限はその後、ハンナ・ノイマンによって大幅に改善されになった。ハンナ・ノイマン予想を参照。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2mn-m-n+1}$${\displaystyle 2(m-1)(n-1)+1}$

群の部分群の格子は、群のすべての部分群が有限生成である場合にのみ、昇順連鎖条件を満たします。すべての部分群が有限生成である群は、 ネーター群と呼ばれます。

すべての有限生成部分群が有限であるような群は局所有限群と呼ばれる。すべての局所有限群は周期的である、すなわちすべての要素は有限の順序を持​​つ。逆に、すべての周期アーベル群は局所有限である。^[4]

有限生成群は、さまざまな数学的および科学的文脈で出現します。最も一般的な方法は、Švarc-Milnor の補題によるものですが、より一般的には、グループが空間の有限性特性を継承する作用によります。幾何学的群論は、有限生成群の代数的特性と、これらのグループが作用する 空間の位相的および幾何学的特性との関係を研究します。

• コンパクト多様体の基本群は有限生成である。その幾何学は多様体の可能な幾何学を大まかに反映している。例えば、非正曲面コンパクト多様体はCAT(0)基本群を持ち、一方一様正曲面多様体は有限基本群を持つ (マイヤーズの定理を参照)。
• モストウの剛性定理:少なくとも 3 次元のコンパクト双曲多様体の場合、それらの基本群間の同型性はリーマン等長写像に拡張されます。
• 表面の写像類群も、低次元位相における重要な有限生成群です。

• リー群、p 進群の格子...
• 超剛性、マーギュリスの算術性定理

• 特性Tを持つ有限生成群のおかげで、拡張グラフの無限族を構築できる。
• 組合せ群論におけるアルゴリズムの問​​題
• グループベース暗号は、量子耐性のある暗号プロトコルを構築するために、グループプレゼンテーションに関連する困難なアルゴリズムの問​​題を利用しようとする。

• 有限生成群のケーリーグラフ上のランダムウォークは、グラフ上のランダムウォークのわかりやすい例を提供します。
• ケーリーグラフ上の浸透

• 結晶学グループ
• 写像類群は位相量子場理論に現れる

• 結び目群は分子の結び目を研究するために使用される

有限生成群の単語問題は、群の生成元にある 2 つの単語が同じ要素を表すかどうかを決定する問題です。与えられた有限生成群の単語問題は、群がすべての代数的に閉じた群に埋め込むことができる場合にのみ解決可能です。

グループのランクは、多くの場合、グループの生成セットの 最小の基数として定義されます。定義により、有限生成グループのランクは有限です。

• 有限生成モジュール
• グループのプレゼンテーション

• ローズ、ジョン・S. (2012) [1978年にイギリスのケンブリッジ大学出版局から最初に出版された作品の完全版、改変なしの再出版]群論講座。ドーバー出版。ISBN 978-0-486-68194-8。