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数学において、複素平面とは複素数によって形成される平面であり、デカルト座標系では、実軸と呼ばれる水平方向のx軸は実数によって形成され、虚軸と呼ばれる垂直方向のy軸は虚数によって形成されます。
複素平面では、複素数を幾何学的に解釈することができます。加算においては、複素数はベクトルのように加算されます。2つの複素数の乗算は、極座標でより簡単に表現できます。積の大きさ（絶対値）は2つの絶対値（絶対値）の積であり、積の角度（偏角）は2つの角度（偏角）の和です。特に、絶対値が1の複素数による乗算は、回転（円群）として作用します。
複素平面は、アルガン平面またはガウス平面と呼ばれることもある。
複素解析では、複素数は通常、記号zで表され、これは実部 ( x ) と虚部 ( y )に分けられます。
例えば、z = 4 + 5 iのように表されます。ここで、xとyは実数、iは虚数単位です。この慣習的な表記では、複素数zはデカルト座標系上の点( x , y )に対応します。点( x , y )は極座標でも次のように表すことができます。
In the Cartesian plane it may be assumed that the range of the arctangent function takes the values (−π/2, π/2) (in radians), and some care must be taken to define the more complete arctangent function for points (x, y) when x ≤ 0.[note 1] In the complex plane these polar coordinates take the form
where[note 2]
Here |z| is the absolute value or modulus of the complex number z; θ, the argument of z, is usually taken on the interval 0 ≤ θ< 2π; and the last equality (to |z|eiθ) is taken from Euler's formula. Without the constraint on the range of θ, the argument of z is multi-valued, because the complex exponential function is periodic, with period 2πi. Thus, if θ is one value of arg(z), the other values are given by arg(z) = θ + 2nπ, where n is any non-zero integer.[2]
While seldom used explicitly, the geometric view of the complex numbers is implicitly based on its structure of a Euclidean vector space of dimension 2, where the inner product of complex numbers w and z is given by ; then for a complex number z its absolute value |z| coincides with its Euclidean norm, and its argument arg(z) with the angle turning from 1 to z.
複素解析において、経路積分理論は重要な部分を占めています。この文脈では、閉曲線に沿って移動する方向が重要になります 。曲線をたどる方向を反転すると、積分の値は−1倍になります。慣例として、正の方向は反時計回りです。例えば、単位円を正の方向にたどるというのは、点z = 1から出発し、点z = iを通って左上に移動し、次に−1を通って左下に移動し、次に− iを通って右下に移動し、最後に出発点であるz = 1に戻って右上に移動する場合です。
複素解析のほぼすべては複素関数 、すなわち複素平面のある部分集合を別の（重なり合う、あるいは同一の）部分集合に写像する関数に関係しています。ここでは、f ( z )の定義域はz平面上にあると言い、f(z) の値域は w 平面上の点の集合とするのが一般的です。記号では次のように書きます。
そして、関数fは、 z平面 (座標( x , y ) ) からw平面 (座標( u , v ) )への変換として考えられることが多い。
複素平面は次のように表される。。
アルガン図は、複素数を点z = x + iyとして幾何学的にプロットしたもので、水平方向のx軸を実軸、垂直方向のy軸を虚軸としています。[ 3 ]ジャン＝ロベール・アルガン(1768–1822)にちなんで名付けられましたが、このような図はノルウェーとデンマークの測量士で数学者のカスパー・ウェッセル(1745–1818) によって最初に記述されました。[注3 ]アルガン図は、複素平面上の関数の零点と極の位置をプロットするためによく使用されます。
複素平面上の直線や曲線の長さは実数で表されます。すなわち、直線または曲線の物理的な長さを単位円の半径の物理的な長さで割った値です。同様に、複素平面上の任意の点から発せられる2つの光線間の角度も実数で表されます。すなわち、物理的な角度のラジアン値（つまり、角度のラジアン数）です。特に、複素数の引数（位相）は実数であり、物理的な角度ではありません。
複素平面を球面上に占めているものとして考えると理解しやすいでしょう。半径1の球面を考え、その中心を複素平面の原点に置きます。球面の赤道が平面の単位円と一致するように向きを調整し、北極が平面の「上」になるようにします。
次のようにして、北極を除く球面上の点と複素平面上の点との間に一対一の対応関係を確立できます。平面上の点が与えられたら、その点と球面上の北極を結ぶ直線を引きます。この直線は、球面上の他の点とちょうど一点で交わります。点z = 0は球面の南極に投影されます。単位円の内部は球面の内側にあるため、その領域全体 ( | z | < 1 ) は南半球にマッピングされます。単位円自体 ( | z | = 1 ) は赤道にマッピングされ、単位円の外側 ( | z | > 1 ) は北極を除く北半球にマッピングされます。明らかにこの手順は可逆です 。北極以外の球面上の任意の点が与えられたら、その点と北極を結び、平面とちょうど一点で交わる直線を引くことができます。
Under this stereographic projection the north pole itself is not associated with any point in the complex plane. We perfect the one-to-one correspondence by adding one more point to the complex plane – the so-called point at infinity – and identifying it with the north pole on the sphere. This topological space, the complex plane plus the point at infinity, is known as the extended complex plane. We speak of a single "point at infinity" when discussing complex analysis. There are two points at infinity (positive, and negative) on the real number line, but there is only one point at infinity (the north pole) in the extended complex plane.[5]
Imagine for a moment what will happen to the lines of latitude and longitude when they are projected from the sphere onto the flat plane. The lines of latitude are all parallel to the equator, so they will become perfect circles centered on the origin z = 0. And the lines of longitude will become straight lines passing through the origin (and also through the "point at infinity", since they pass through both the north and south poles on the sphere).
This is not the only possible yet plausible stereographic situation of the projection of a sphere onto a plane consisting of two or more values. For instance, the north pole of the sphere might be placed on top of the origin z = −1 in a plane that is tangent to the circle. The details don't really matter. Any stereographic projection of a sphere onto a plane will produce one "point at infinity", and it will map the lines of latitude and longitude on the sphere into circles and straight lines, respectively, in the plane.
When discussing functions of a complex variable it is often convenient to think of a cut in the complex plane. This idea arises naturally in several different contexts.
Consider the simple two-valued relationship
Before we can treat this relationship as a single-valued function, the range of the resulting value must be restricted somehow. When dealing with the square roots of non-negative real numbers this is easily done. For instance, we can just define
to be the non-negative real number y such that y2 = x. This idea doesn't work so well in the two-dimensional complex plane. To see why, let's think about the way the value of f(z) varies as the point z moves around the unit circle. We can write and take
明らかに、z が円を一周すると、w は円の半分しか描きません。したがって、複素平面上の 1 つの連続的な動きによって、正の平方根e 0 = 1が負の平方根e iπ = −1に変換されます。
この問題は、点z = 0には平方根が 1 つしかないのに対し、他のすべての複素数z ≠ 0にはちょうど 2 つの平方根があることから生じます。実数直線では、単一の点x = 0に「障壁」を設けることでこの問題を回避できます。複素平面では、閉じた輪郭が分岐点z = 0を完全に囲まないようにするために、より大きな障壁が必要です。これは通常、分岐カットを導入することによって行われます。この場合、「カット」は点z = 0から正の実軸に沿って無限遠点まで伸び、カット平面内の変数zの引数が0 ≤ arg( z ) < 2 πの範囲に制限されます。
これでw = z 1/2の完全な記述を与えることができます。そのためには、 z平面の 2 つのコピーが必要で、それぞれが実軸に沿って切断されます。一方のコピーでは 1 の平方根をe 0 = 1と定義し、もう一方のコピーでは 1 の平方根をe iπ = −1と定義します。これら 2 つの完全な切断平面のコピーをシートと呼びます。連続性の議論を行うと、(現在は一価の) 関数w = z 1/2は、最初のシートをw平面の上半分(0 ≤ arg( w ) < π)に写像し、2 番目のシートをw平面の下半分( π ≤ arg( w ) < 2 π ) に写像することがわかります。[ 6 ]
この例の分岐線は実軸に沿っている必要はなく、直線である必要もありません。原点z = 0と無限遠点を結ぶ連続曲線であればどれでも構いません。場合によっては、分岐線が無限遠点を通る必要さえありません。例えば、次の関係を考えてみましょう。
ここで、多項式z 2 − 1 はz = ±1のときにゼロになるため、g には明らかに 2 つの分岐点があります。実軸に沿って−1から1まで平面を「切断」して、 g ( z )が一価関数となるシートを得ることができます。あるいは、切断はz = 1から正の実軸に沿って無限遠点まで進み、その後負の実軸に沿って「上」に進んでもう一方の分岐点z = −1に到達することもできます。
この状況は、上述の立体投影法を用いることで最も容易に視覚化できる。球面上では、これらの切断線の一つが南半球を縦方向に走り、赤道上の点（z = −1）と赤道上の別の点（z = 1）を結び、その途中で南極（原点、z = 0）を通過する。もう一つの切断線は北半球を縦方向に走り、同じ2つの赤道上の点を北極（すなわち無限遠点）を通過することで結び付ける。
有理型関数とは、定義域の有限個または可算無限個の点を除いて、正則かつ解析的な複素関数である。 [注4 ]このような関数が定義できない点を、有理型関数の極と呼ぶ。これらの極がすべて一直線上にある場合もある。その場合、数学者はその関数を「切断面上で正則である」と言うことがある。例：
ガンマ関数は、次のように定義される。
ここでγはオイラー・マスケローニ定数であり、z = 0または負の整数のとき、無限積の分母のうちちょうど 1 つがゼロになるため、0、-1、-2、-3、...に単純極を持ちます。 [注 5 ]すべての極がz = 0から無限遠点までの負の実軸上にあるため、この関数は「切断面上で正則であり、切断面は 0 (含む) から無限遠点まで負の実軸に沿って伸びている」と表現できます。
あるいは、Γ( z )は「 −π < arg( z ) < πを満たす切断面において正則であり、点z = 0を除く」と表現することもできる。
この切断は、すでに説明した「分岐切断」とは少し異なり、実際には負の実軸を切断面から除外します。分岐切断では、実軸は片側（0 ≤ θ）で切断面と接続されたままですが、もう一方の側（θ < 2 π）では切断面から切り離されます。
もちろん、 Γ( z )が正則となる領域を構成するために、z = 0から−∞までの線分全体を除外する必要は実際にはありません。実際に行う必要があるのは、可算無限個の点{0, −1, −2, −3, ...}で平面に穴を開けることだけです。しかし、穴を開けた平面内の閉じた経路は、 Γ( z )の極の1つ以上を囲む可能性があり、留数定理により、経路積分は必ずしもゼロになるとは限りません。複素平面を切断することで、この制限された領域でΓ( z )が正則になるだけでなく、切断された平面内にある任意の閉曲線上のガンマ関数の経路積分が恒等的にゼロになることも保証されます。
多くの複素関数は、無限級数または連分数によって定義されます。これらの無限に長い式を解析する際の基本的な考慮事項は、それらが有限値に収束する複素平面上の領域を特定することです。以下の例が示すように、平面を切断することでこのプロセスが容易になる場合があります。
無限級数で定義される関数を考えてみましょう。
複素数zに対してz 2 = (− z ) 2であることから、 f ( z )はzの偶関数であることは明らかであり、したがって解析は複素平面の半分に限定できる。また、級数は次の場合に定義されない。
zが純虚数の場合のf ( z )を調べるというより困難な作業に着手する前に、平面を虚軸全体に沿って切断し、 zの実部がゼロでない範囲でこの級数の収束を確立することが理にかなっている。 [注6 ]
この例では、無限和が定義されない点は孤立しているため、切断面は単なる便宜上のものであり、切断面は適切な穴が開けられた平面に置き換えることができます。しかし、状況によっては、切断は便宜上ではなく、必要不可欠な場合もあります。無限周期連分数を考えてみましょう。
z がz < − 1 ⁄ 4となるような負の実数でない場合、 f ( z )は有限値に収束することが示せる。言い換えれば、この連分数の収束領域は切断面であり、切断面は − 1 ⁄ 4から無限遠点まで負の実軸に沿って走っている。[ 8 ]
関係が
fの定義域を 2 つの分離したシートに分割することで、単一値関数にすることができます。また、それらの 2 つのシートを再び「接着」して、 f ( z ) = z 1/2 がw平面全体(点w = 0を除く) を像とする正則関数として定義できる単一のリーマン面を形成することも可能です。その仕組みは次のとおりです。
切断された複素平面の 2 つのコピーを想像してください。切断は、z = 0から無限遠点まで正の実軸に沿って伸びています。一方のシートでは、0 ≤ arg( z ) < 2 πと定義します。定義により、 1 1/2 = e 0 = 1となります。もう 1 つのシートでは、 2 π ≤ arg( z ) < 4 πと定義します。これも定義により、 1 1/2 = e iπ = −1となります。次に、2 番目のシートを上下反転させ、虚軸が最初のシートの虚軸とは反対方向を向き、両方の実軸が同じ方向を向くようにします。そして、2 つのシートを「接着」します (最初のシートの「θ = 0 」とラベル付けされたエッジが、2 番目のシートの「 θ < 4 π 」とラベル付けされたエッジに接続され、2 番目のシートの「 θ = 2 π 」とラベル付けされたエッジが、最初のシートの「 θ < 2 π 」とラベル付けされたエッジに接続されるように)。その結果、 f ( z ) = z 1/2が一価かつ正則となるリーマン面領域が得られる（ z = 0の場合を除く）。[ 6 ]
この領域でfが一価である理由を理解するために、最初のシート上のz = 1から始まる単位円周上の回路を想像してみてください。0 ≤ θ < 2 πのとき、私たちはまだ最初のシート上にいます。θ = 2 πのとき、私たちは2番目のシートに渡っており、2 つのシートを貼り合わせた方法により、 θ = 4 πがθ = 0と等価である出発点に戻る前に、分岐点z = 0の周りを 2 周回する必要があります。言い換えれば、変数z が分岐点の周りを 2 周回する間に、 w平面上のzの像は1 つの円だけを描きます。
形式的微分は、
このことから、 z = 0の場合を除いて、リーマン面上のあらゆる場所でfの導関数が存在し、有限であると結論付けることができます(つまり、z = 0の場合を除いて、 f は正則です)。
関数のリーマン面はどのように
上記でも説明したように、どのように構築できるでしょうか? 再び、z平面の 2 つのコピーから始めますが、今回はそれぞれが、 z = −1からz = 1まで伸びる実数線分に沿って切断されます。これらはg ( z )の 2 つの分岐点です。これらの 1 つを上下反転させて、2 つの仮想軸が反対方向を向くようにし、切断された 2 つのシートの対応する端を貼り合わせます。z = 1を中心とする単位半径の円の周りをたどることで、 g がこの曲面上で一価関数であることを検証できます。最初のシートの点 z = 2 から始めて、z = 0の切断点に到達する前に円を半周します。切断線によって2枚目のシートに移動するため、zが分岐点z = 1の周りを1周すると、wは半周し、wの符号は反転し（e iπ = −1のため）、経路はサーフェスの2枚目のシート上の点z = 2に到達します。さらに半周進むと、切断線の反対側、z = 0に到達し、分岐点の周りを2周した後、最終的に出発点（1枚目のシート上のz = 2）に戻ります。
この例では、θ = arg( z )にラベルを付ける自然な方法は、最初のシートで− π < θ ≤ πを設定し、2 番目のシートでπ < θ ≤ 3 π を設定することです。 2 つのシート上の仮想軸は反対方向を向いているため、閉じた輪郭が一方のシートから他方のシートに移動しても、正の回転の反時計回りの方向が保持されます (2 番目のシートは上下逆になっていることに注意してください)。 この曲面が 3 次元空間に埋め込まれており、両方のシートがxy平面に平行であると想像してください。すると、2 つの切断が結合している場所に、曲面に垂直な穴があるように見えます。切断がz = −1から実軸に沿って無限遠点まで行われ、z = 1から実軸に沿って切断が自身と交わるまで上方向に行われる場合はどうでしょうか。ここでもリーマン面を構築できますが、今回は「穴」が水平になります。位相的に言えば、このリーマン面の 2 つのバージョンはどちらも等価です。 これらは、種数1 の向き付け可能な2 次元曲面です。
制御理論において、複素平面の用途の一つとしてs平面と呼ばれるものがあります。これは、システムの挙動を記述する方程式（特性方程式）の根をグラフで視覚化するために使用されます。この方程式は通常、ラプラス変換のパラメータsに関する多項式として表されるため、s平面と呼ばれます。s平面上の点はs = σ + jωの形をとります。ここで、虚数成分を表すために、通常の「 i 」の代わりに「 j 」が使用されます（変数「i 」は、工学分野では電流を表すためによく使用されます）。
複素平面のもう一つの関連する用途は、ナイキスト安定判別法です。これは幾何学的な原理であり、複素平面上で周波数（またはループ伝達関数）の関数として、開ループの振幅と位相応答のナイキスト線図を調べることで、閉ループフィードバックシステムの安定性を判定できます。
複素平面は、2つの異なる二次空間と関連付けられています。複素平面上の点z = x + iyに対して、二乗関数z²とノルム二乗x² + y²はどちらも二次形式です。前者は、後者が複素平面上の計量を設定する際に用いられるため、しばしば無視されます。本稿で扱う複素平面は、商環です。ここで、イデアルは虚数単位に関連付けられた二次多項式です。他に、2次元実代数、すなわち「複素平面」となる商環を生成するイデアルが2つあります。これらは実数体上の二次代数です。
![{\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left[\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78a2a4c26802856b410866a0e00e4c5046664928)
![{\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a9561fb97d235fa5d9d975ea50b9ac958058410)