数値範囲

線形代数と凸解析の数学の分野において、複素行列Aの数値範囲または値体とは、集合である。 ${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle W(A)=\left\{{\frac {\mathbf {x} ^{*}A\mathbf {x} }{\mathbf {x} ^{*}\mathbf {x} }}\mid \mathbf {x} \in \mathbb {C} ^{n},\ \mathbf {x} \not =0\right\}}$

ここで、 はベクトルの共役転置を表します。数値範囲には、特に、行列の対角要素 (座標軸に沿った単位ベクトルに等しいx を選択することによって取得) と行列の固有値 (固有ベクトルに等しいx を選択することによって取得) が含まれます。 ${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

工学では、数値範囲はAの固有値の大まかな推定値として使用されます。最近では、数値範囲の一般化が量子コンピューティングの研究に使用されています。

関連する概念として数値半径があり、これは数値範囲内の数値の絶対値の最大値、すなわち

${\displaystyle r(A)=\sup\{|\lambda |:\lambda \in W(A)\}=\sup _{\|x\|=1}|\langle Ax,x\rangle |。 }$

1. 数値範囲はレイリー商の範囲です。
2. (ハウスドルフ・テプリッツの定理) 数値範囲は凸かつコンパクトである。
3. ${\displaystyle W(\alpha A+\beta I)=\alpha W(A)+\{\beta \}}$すべての正方行列と複素数およびに対して となります。ここでは単位行列となります。${\displaystyle A}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle I}$
4. ${\displaystyle W(A)}$が半正定値である場合に限り、閉じた右半平面の部分集合となる。${\displaystyle A+A^{*}}$
5. 数値範囲は、(2)、(3)、(4)を満たす正方行列の集合上の唯一の関数である。${\displaystyle W(\cdot )}$
6. (劣加法) 、ここで右側の和は和集合を表します。${\displaystyle W(A+B)\subseteq W(A)+W(B)}$
7. ${\displaystyle W(A)}$のすべての固有値が含まれます。${\displaystyle A}$
8. 行列の数値範囲は塗りつぶされた楕円です。${\displaystyle 2\times 2}$
9. ${\displaystyle W(A)}$が実線分である場合、かつその最小の固有値と最大の固有値が と であるエルミート行列である場合に限ります。${\displaystyle [\alpha ,\beta ]}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \beta}$
10. が正規行列である場合、 はその固有値の凸包です。${\displaystyle A}$${\displaystyle W(A)}$
11. が の境界上の鋭い点である場合、 はの正規固有値です。${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle W(A)}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle A}$
12. ${\displaystyle r(\cdot )}$行列の空間上のノルムです。${\displaystyle n\times n}$
13. ${\displaystyle r(A)\leq \|A\|\leq 2r(A)}$ここで は演算子ノルムを表す。^{[1] [2] [3] [4]}${\displaystyle \|\cdot \|}$
14. ${\displaystyle r(A^{n})\leq r(A)^{n}}$

• C 数値範囲
• 上位の数値範囲
• 共同数値範囲
• 製品数値範囲
• 多項式数値包

• スペクトル理論
• レイリー商
• 数値範囲と数値半径に関するワークショップ

• Choi, MD; Kribs, DW; Życzkowski (2006)、「圧縮形式による量子エラー訂正コード」、Rep. Math. Phys.、58 (1): 77–91、arXiv : quant-ph/0511101、Bibcode :2006RpMP...58...77C、doi :10.1016/S0034-4877(06)80041-8、S2CID  119427312。
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• ボンソール、FF; ダンカン、J. (1971)、数値範囲 II、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-20227-5。
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