直交図式への分解

幾何学において、すべての単体は、単体の次元の関数によって制限される数の直交スキームを用いて直交スキームに分割できるというヒューゴ・ハドウィガーの未解決予想がある。 ^{[ 1 ]}もしこれが真実であれば、より一般的には、すべての凸多面体は直交スキームに分割できることになる。

この文脈では、${\displaystyle d}$次元ユークリッド空間は、${\displaystyle d+1}$共通の超平面上にない点の集合。例えば、2次元単体は三角形（平面上の3点の凸包）であり、3次元単体は正四面体（3次元空間上の4点の凸面）である。このようにして単体を形成する点を頂点と呼ぶ。

直交スキーム（パス単体とも呼ばれる）は、単体の特殊な種類です。直交スキームでは、頂点はパスで接続され、パス上の任意の2つの辺は互いに直角になります。2次元の直交スキームは直角三角形です。3次元の直交スキームは、立方体から、同じ正方形の面上にない3つの辺からなるパスを見つけ、このパス上の4つの頂点の凸包を形成することによって構築できます。

形状の解剖${\displaystyle S}$（ユークリッド空間内の任意の閉集合である可能性がある）は、${\displaystyle S}$内部が互いに分離している他の形状の和集合として。つまり、直感的には、和集合内の形状は重なり合わないが、境界上の点を共有する可能性がある。たとえば、立方体は6 つの 3 次元直交図に分割できる。同様の結果はより一般的に適用され、すべての超立方体または超直方体は${\displaystyle d}$次元は以下のように分解できます${\displaystyle d!}$正定法。

ハドウィガーの予想は、関数が存在するというものである。${\displaystyle f}$すべての${\displaystyle d}$次元単体は最大で${\displaystyle f(d)}$直交スキーム。ハドウィガーはこの問題を1956年に提起しました。^{[ 2 ]}一般的には未解決のままですが、小さな値の特殊なケースでは${\displaystyle d}$知られている。^{[ 1 ]}

2次元では、すべての三角形は、最も広い角から最も長い辺に垂線を引くことによって、最大で2つの直角三角形に分割できます。 ^{[ 2 ]}

3次元空間では、頂点から垂直に垂線を引くことによって、同様の方法で四面体を分割できる場合がある。${\displaystyle v}$ある程度まで${\displaystyle p}$反対側の面に接続${\displaystyle p}$面の側面に垂直に、そして3辺の垂直な経路を使用して${\displaystyle v}$そして${\displaystyle p}$側面に、そして面の頂点に。^{[ 2 ]}しかし、これは常にうまくいくとは限りません。特に、どの頂点も反対側の面の内側に足があるような高さを持たない四面体も存在します。より複雑な構成を用いて、Lenhard (1960) は、すべての四面体は最大で 12 個の直交図に分割できることを証明しました。^{[ 3 ]} Böhm (1980) は、これが最適であることを証明しました。つまり、12 個未満の直交図に分割できない四面体が存在するということです。^{[ 4 ]}同じ論文で、Böhm は Lenhard の結果を 3 次元球面幾何学と 3 次元双曲幾何学にも一般化しました。

4 次元では、最大で 500 個の直交スキームが必要です。^{[ 5 ]} 5 次元では、再び有限個の直交スキームが必要となり、おおよそ最大 1250 万個に制限されます。これもまた、ユークリッド幾何学だけでなく、球面幾何学や双曲幾何学にも当てはまります。^{[ 6 ]}

ハドウィガーの予想は、5次元を超えるすべての次元において未だ証明されていない。^{[ 1 ]}

すべての凸多面体は単体に分割できる。したがって、ハドウィガーの予想が正しければ、すべての凸多面体は直交スキームにも分割できるはずである。^{[ 6 ]}

関連する結果として、すべての直交スキームはそれ自体を分解できる。${\displaystyle d}$または${\displaystyle d+1}$より小さな直交スキーム。^{[ 7 ] [ 8 ]}したがって、直交スキームに分割できる単体の場合、その分割は任意の数の直交スキームを持つことができます。