ベクトル値関数のすべての1次偏微分行列
解析 において 、 多変数 ベクトル値関数 ヤコビ行列 / [ 1] [2] [3] ）は の1次 偏導関数の 行列である。この が正方行列 の場合 つまり関数が出力の ベクトル成分の数と同じ数の変数を入力 取る場合、その 行列式は ヤコビ行列 式と呼ばれる。文献では、行列と（該当する場合）行列式の両方を単に ヤコビアン と呼ぶことが多い 。 [4]これらは 、カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ にちなんで名付けられている 。
モチベーション ヤコビアンを求めるには、新しい座標空間の単位面積を考え、その単位面積を積分が視覚的に理解できるxy座標空間にマッピングしたときにどのように変換されるかを調べる必要があります。 [5] [6] [7] このプロセスでは、新しい座標に関して偏微分を取り、次に行列式を適用してヤコビアンを取得します。
意味 f : R n → R m が、その 1 次偏導関数のそれぞれが R n 上に存在するような関数であるとします 。この関数は、点 x ∈ R n を 入力として受け取り、ベクトル f ( x ) ∈ R m を 出力として生成します。すると、 f のヤコビ行列 J f ∈ R m × n が定義され 、その ( i , j ) 番目 の要素が 、または明示的
に となります。
ここで、 は、 - 番目の成分の 勾配 の転置 (行ベクトル) です 。
∂
f
i
∂
x
j
{\textstyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}}
J
f
=
[
∂
f
∂
x
1
⋯
∂
f
∂
x
n
]
=
[
∇
T
f
1
⋮
∇
T
f
m
]
=
[
∂
f
1
∂
x
1
⋯
∂
f
1
∂
x
n
⋮
⋱
⋮
∂
f
m
∂
x
1
⋯
∂
f
m
∂
x
n
]
{\displaystyle \mathbf {J_{f}} ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\nabla ^{\mathrm {T} }f_{1}\\\vdots \\\nabla ^{\mathrm {T} }f_{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}}
∇
T
f
i
{\displaystyle \nabla ^{\mathrm {T} }f_{i}}
i
{\displaystyle i}
ヤコビ行列は、その要素が x の関数であり、様々な方法で表記されます。他の一般的な表記法には、 D f 、、 などがあります 。 [8] [9] 一部の著者は、ヤコビ行列を 上記の形式の
転置として定義しています。
∇
f
{\displaystyle \nabla \mathbf {f} }
∂
(
f
1
,
…
,
f
m
)
∂
(
x
1
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle {\frac {\partial (f_{1},\ldots ,f_{m})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}}
ヤコビ行列は、 f が微分可能なすべての点での f の 微分 を 表します 。詳しくは、 h が 列行列 で表される 変位ベクトル である場合 、 行列積 J ( x ) ⋅ hは別の変位ベクトルであり、 f ( x ) が x で 微分可能 な 場合、 x の 近傍 における f の変化の最良の線形近似です 。 [a] これは、 yを f ( x ) + J ( x ) ⋅ ( y – x ) にマップする関数が、 x に近いすべての点 y に対する f ( y ) の 最良の 線形近似 であることを意味します。 線形マップ h → J ( x ) ⋅ hは、 x における f の 導関数 または 微分 として知られています 。
m = n のとき 、ヤコビ行列は正方行列なので、その 行列式は x の明確に定義された関数であり、 f の ヤコビ行列式 と呼ばれます。これは、 f の局所的な動作に関する重要な情報を持っています 。特に、関数 f が点 x の近傍で 微分可能な 逆関数を持つのは、ヤコビ行列式が x でゼロでない場合のみです ( 大域的 可逆性の関連問題については、 ヤコビ予想を参照してください)。ヤコビ行列式は、 多重積分 で変数を変更するときにも現れます ( 多重変数の置換規則 を参照)。
m = 1 の場合 、つまり f : R n → R が スカラー値関数 の場合、ヤコビ行列は行 ベクトル に簡約されます。 f のすべての 1 次偏微分からなるこの行ベクトルは、 f の 勾配 の転置 、つまり
です 。さらに特殊化すると、 m = n = 1 の場合、つまり f : R → R が 単一変数の スカラー値関数の場合、ヤコビ行列には単一の要素があり、この要素が関数 fの微分 です 。
∇
T
f
{\displaystyle \nabla ^{\mathrm {T} }f}
J
f
=
∇
T
f
{\displaystyle \mathbf {J} _{f}=\nabla ^{T}f}
これらの概念は、数学者 カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビ (1804–1851)
にちなんで名付けられました。
ヤコビ行列 複数変数のベクトル値関数のヤコビアンは、複数変数の スカラー 値関数の 勾配 を一般化し、さらに単一変数のスカラー値関数の導関数を一般化します。言い換えると、複数変数 の スカラー値関数のヤコビ行列はその勾配（の転置）であり、単一変数のスカラー値関数の勾配はその導関数です。
関数が微分可能な各点において、そのヤコビ行列は、関数がその点の近くで局所的に課す「伸縮」、「回転」、または「変換」の量を表すものと考えることもできます。たとえば、 ( x ′, y ′) = f ( x , y ) を使用して画像を滑らかに変換する場合、ヤコビ行列 J f ( x , y )は、 ( x , y ) の近傍の画像がどのように 変換されるかを表します。
関数が一点で微分可能である場合、その微分はヤコビ行列によって座標で与えられます。ただし、関数のヤコビ行列を定義するには、関数が微分可能である必要はありません。関数の 1 次 偏導関数 のみが存在する必要があるためです。
f が R n の 点 p で 微分 可能であれば 、 その 微分は J f ( p ) で表される 。この場合、 J f ( p ) で表される 線形変換は 、点 p の近くでの f の 最良の 線形近似 であり、次の意味では
f
(
x
)
−
f
(
p
)
=
J
f
(
p
)
(
x
−
p
)
+
o
(
‖
x
−
p
‖
)
(
as
x
→
p
)
,
{\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )=\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(\mathbf {p} )(\mathbf {x} -\mathbf {p} )+o(\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \|)\quad ({\text{as }}\mathbf {x} \to \mathbf {p} ),}
ここで o (‖ x − p ‖)は、 x が p に 近づくにつれて x と p の間の 距離が ゼロに近づくよりもはるか に速くゼロに近づく 量 である。この近似は、1変数のスカラー関数を 1次の
テイラー多項式 で近似することに特化しており、つまり
f
(
x
)
−
f
(
p
)
=
f
′
(
p
)
(
x
−
p
)
+
o
(
x
−
p
)
(
as
x
→
p
)
.
{\displaystyle f(x)-f(p)=f'(p)(x-p)+o(x-p)\quad ({\text{as }}x\to p).}
この意味で、ヤコビアンは、複数の変数のベクトル値関数の一種の「 1 次導関数 」と見なすことができます。特に、これは、複数の変数のスカラー値関数の 勾配 もその「 1 次導関数 」と見なすことができることを意味します。
合成可能微分可能関数 f : R n → R m と g : R m → R k は連鎖律 を満たします 。つまり、 R n 内の x に対してです 。
J
g
∘
f
(
x
)
=
J
g
(
f
(
x
)
)
J
f
(
x
)
{\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {g} \circ \mathbf {f} }(\mathbf {x} )=\mathbf {J} _{\mathbf {g} }(\mathbf {f} (\mathbf {x} ))\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(\mathbf {x} )}
複数の変数のスカラー関数の勾配のヤコビアンには、 ヘッセ行列 という特別な名前があり、これはある意味では 問題の関数の
「 2 次導関数」です。
ヤコビ行列式 非線形写像は、 小さな正方形 (左、赤) を歪んだ平行四辺形 (右、赤) に写します。ある点におけるヤコビアンによって、その点の近くにある歪んだ平行四辺形 (右、半透明の白) の最良の線形近似が得られ、ヤコビ行列式によって、近似平行四辺形の面積と元の正方形の面積の比が得られます。
f
:
R
2
→
R
2
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}
m = n の場合 、 f は R n からそれ自身への関数であり 、ヤコビ行列は 正方行列 です。その 行列式を形成できます。これは ヤコビ行列式 と呼ばれます 。ヤコビ行列式は単に「ヤコビアン」と呼ばれることもあります。
与えられた点におけるヤコビ行列式は、その点付近でのf の挙動に関する重要な情報を与えます 。たとえば、 連続的に微分可能な関数 f は、 p におけるヤコビ行列式がゼロでない場合、 点 p ∈ R n 付近で逆関数 となります 。これが 逆関数定理です。さらに、 p におけるヤコビ行列式 が 正の 場合、 f は p 付近で 方向を 保ちます。 負の 場合 、 f は 方向を反転します。 p におけるヤコビ行列式の 絶対値は 、関数 f が p 付近で 体積 を拡大または縮小する係数を与えます 。これが、一般 置換規則 でこの係数が発生する理由です。
ヤコビ行列式は、関数の 多重積分 をそのドメイン内の領域で 評価する際に 変数を変更するときに使用されます。座標の変更に対応するために、ヤコビ行列式の大きさは積分内の乗法係数として発生します。これは、 n 次元の dV 要素が一般に新しい座標系では 平行六面体 であり、平行六面体の n 体積がそのエッジ ベクトルの行列式であるためです。
ヤコビアンは、平衡点付近の挙動を近似することによって、
微分方程式系の 平衡 の 安定性を決定するためにも使用できます。
逆 逆関数定理 によれば 、 可逆関数 f : R n → R n のヤコビ行列の 逆行列は 逆 関数のヤコビ行列である 。つまり、点 p における逆関数のヤコビ行列はであり 、ヤコビ行列式はである。
J
f
−
1
(
p
)
=
J
f
−
1
(
f
−
1
(
p
)
)
,
{\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} ^{-1}}(\mathbf {p} )={\mathbf {J} _{\mathbf {f} }^{-1}(\mathbf {f} ^{-1}(\mathbf {p} ))},}
det
(
J
f
−
1
(
p
)
)
=
1
det
(
J
f
(
f
−
1
(
p
)
)
)
{\displaystyle \det(\mathbf {J} _{\mathbf {f} ^{-1}}(\mathbf {p} ))={\frac {1}{\det(\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(\mathbf {f} ^{-1}(\mathbf {p} )))}}}
。
R n の点 p においてヤコビ行列が連続かつ非特異である場合 、 p の 近傍 に制限すると f は逆関数になります。言い換えると、ある点でヤコビ行列式がゼロでない場合、関数はこの点の近くで 局所的に逆関数になります 。
(証明されていない) ヤコビアン予想は、 n 変数の n 多項式 で定義される関数である多項式関数の場合のグローバル可逆性と関係しています 。ヤコビアン予想は、ヤコビアン行列式がゼロ以外の定数である場合 (または、同等に、複素ゼロを持たない場合)、関数は可逆であり、その逆関数は多項式関数であると主張します。
重要なポイント f : R n → R m が微分可能関数 である 場合 、 f の 臨界点はヤコビ行列の 階数 が最大でない点である 。これは、臨界点の階数が、ある隣接点の階数よりも低いことを意味する。言い換えれば、 f の像に含まれる 開球 の最大次元を kとすると、 f の 階数 k のすべての小行列式 がゼロである
場合、その点は臨界である。
m = n = k の場合 、ヤコビ行列式がゼロであればその点は臨界となります。
例
例1 関数 f : R 2 → R 2 （ x , y ） ↦ （ f 1 ( x , y ), f 2 ( x , y ) ） を 考えます 。
f
(
[
x
y
]
)
=
[
f
1
(
x
,
y
)
f
2
(
x
,
y
)
]
=
[
x
2
y
5
x
+
sin
y
]
.
{\displaystyle \mathbf {f} \left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}f_{1}(x,y)\\f_{2}(x,y)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x^{2}y\\5x+\sin y\end{bmatrix}}.}
そして
、
f
のヤコビ行列 は
、ヤコビ行列式は、
f
1
(
x
,
y
)
=
x
2
y
{\displaystyle f_{1}(x,y)=x^{2}y}
f
2
(
x
,
y
)
=
5
x
+
sin
y
{\displaystyle f_{2}(x,y)=5x+\sin y}
J
f
(
x
,
y
)
=
[
∂
f
1
∂
x
∂
f
1
∂
y
∂
f
2
∂
x
∂
f
2
∂
y
]
=
[
2
x
y
x
2
5
cos
y
]
{\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x,y)={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial y}}\\[1em]{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial y}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2xy&x^{2}\\5&\cos y\end{bmatrix}}}
det
(
J
f
(
x
,
y
)
)
=
2
x
y
cos
y
−
5
x
2
.
{\displaystyle \det(\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x,y))=2xy\cos y-5x^{2}.}
極座標 ( r , φ )から 直交座標 ( x , y )へ の変換は、次の要素を持つ関数 F : R + × [0, 2 π ) → R 2 で表されます 。
x
=
r
cos
φ
;
y
=
r
sin
φ
.
{\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \varphi ;\\y&=r\sin \varphi .\end{aligned}}}
J
F
(
r
,
φ
)
=
[
∂
x
∂
r
∂
x
∂
φ
∂
y
∂
r
∂
y
∂
φ
]
=
[
cos
φ
−
r
sin
φ
sin
φ
r
cos
φ
]
{\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {F} }(r,\varphi )={\begin{bmatrix}{\frac {\partial x}{\partial r}}&{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[0.5ex]{\frac {\partial y}{\partial r}}&{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{bmatrix}}}
ヤコビ行列式は r に等しい。これを使用して、2 つの座標系間の積分を変換できます。
∬
F
(
A
)
f
(
x
,
y
)
d
x
d
y
=
∬
A
f
(
r
cos
φ
,
r
sin
φ
)
r
d
r
d
φ
.
{\displaystyle \iint _{\mathbf {F} (A)}f(x,y)\,dx\,dy=\iint _{A}f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )\,r\,dr\,d\varphi .}
球面座標 （ ρ 、 φ 、 θ ） [10]から 直交座標 （ x 、 y 、 z ）へ の変換は 、関数 F ： R + × [0、 π ）× [0、2π ）→ R 3で与えられ、その 成分 は次のようになる。
x
=
ρ
sin
φ
cos
θ
;
y
=
ρ
sin
φ
sin
θ
;
z
=
ρ
cos
φ
.
{\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \sin \varphi \cos \theta ;\\y&=\rho \sin \varphi \sin \theta ;\\z&=\rho \cos \varphi .\end{aligned}}}
この座標変更のヤコビ行列は、
行列 式は ρ 2 sin φ です 。dV = dx dy dz は 長方形の微分体積要素の体積なので（長方形の柱の体積はその辺の積であるため）、dV = ρ 2 sin φ dρ dφ dθ は球面微分体積要素の体積として解釈できます 。 長方形 の 微分 体積 要素 の 体積 と は 異なり 、 この微分体積要素の体積は定数ではなく、座標（ ρ と φ ）に応じて変化します。これを使用して、2 つの座標系間の積分を変換できます。
J
F
(
ρ
,
φ
,
θ
)
=
[
∂
x
∂
ρ
∂
x
∂
φ
∂
x
∂
θ
∂
y
∂
ρ
∂
y
∂
φ
∂
y
∂
θ
∂
z
∂
ρ
∂
z
∂
φ
∂
z
∂
θ
]
=
[
sin
φ
cos
θ
ρ
cos
φ
cos
θ
−
ρ
sin
φ
sin
θ
sin
φ
sin
θ
ρ
cos
φ
sin
θ
ρ
sin
φ
cos
θ
cos
φ
−
ρ
sin
φ
0
]
.
{\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {F} }(\rho ,\varphi ,\theta )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}\\[1em]{\dfrac {\partial z}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \theta }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \varphi \cos \theta &\rho \cos \varphi \cos \theta &-\rho \sin \varphi \sin \theta \\\sin \varphi \sin \theta &\rho \cos \varphi \sin \theta &\rho \sin \varphi \cos \theta \\\cos \varphi &-\rho \sin \varphi &0\end{bmatrix}}.}
∭
F
(
U
)
f
(
x
,
y
,
z
)
d
x
d
y
d
z
=
∭
U
f
(
ρ
sin
φ
cos
θ
,
ρ
sin
φ
sin
θ
,
ρ
cos
φ
)
ρ
2
sin
φ
d
ρ
d
φ
d
θ
.
{\displaystyle \iiint _{\mathbf {F} (U)}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{U}f(\rho \sin \varphi \cos \theta ,\rho \sin \varphi \sin \theta ,\rho \cos \varphi )\,\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\varphi \,d\theta .}
例4 関数 F : R3 → R4 の 成分を持つ
ヤコビ 行列
は
y
1
=
x
1
y
2
=
5
x
3
y
3
=
4
x
2
2
−
2
x
3
y
4
=
x
3
sin
x
1
{\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}&=x_{1}\\y_{2}&=5x_{3}\\y_{3}&=4x_{2}^{2}-2x_{3}\\y_{4}&=x_{3}\sin x_{1}\end{aligned}}}
J
F
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
=
[
∂
y
1
∂
x
1
∂
y
1
∂
x
2
∂
y
1
∂
x
3
∂
y
2
∂
x
1
∂
y
2
∂
x
2
∂
y
2
∂
x
3
∂
y
3
∂
x
1
∂
y
3
∂
x
2
∂
y
3
∂
x
3
∂
y
4
∂
x
1
∂
y
4
∂
x
2
∂
y
4
∂
x
3
]
=
[
1
0
0
0
0
5
0
8
x
2
−
2
x
3
cos
x
1
0
sin
x
1
]
.
{\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {F} }(x_{1},x_{2},x_{3})={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{3}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&5\\0&8x_{2}&-2\\x_{3}\cos x_{1}&0&\sin x_{1}\end{bmatrix}}.}
この例は、ヤコビ行列が正方行列である必要がないことを示しています。
例5 関数 F : R 3 → R 3 の成分を
持つヤコビ行列式
は
y
1
=
5
x
2
y
2
=
4
x
1
2
−
2
sin
(
x
2
x
3
)
y
3
=
x
2
x
3
{\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}&=5x_{2}\\y_{2}&=4x_{1}^{2}-2\sin(x_{2}x_{3})\\y_{3}&=x_{2}x_{3}\end{aligned}}}
|
0
5
0
8
x
1
−
2
x
3
cos
(
x
2
x
3
)
−
2
x
2
cos
(
x
2
x
3
)
0
x
3
x
2
|
=
−
8
x
1
|
5
0
x
3
x
2
|
=
−
40
x
1
x
2
.
{\displaystyle {\begin{vmatrix}0&5&0\\8x_{1}&-2x_{3}\cos(x_{2}x_{3})&-2x_{2}\cos(x_{2}x_{3})\\0&x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-8x_{1}{\begin{vmatrix}5&0\\x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-40x_{1}x_{2}.}
このことから、 x 1 と x 2 が 同じ符号を持つ点の近くでは F の 向きが反転することがわかります。関数は、 x 1 = 0 または x 2 = 0 の点の近くを除いて、どこでも 局所的に 反転可能です。直感的には、点 (1, 2, 3)の周りの小さなオブジェクトから始めて、そのオブジェクトに F を 適用すると 、方向が反転した、元のオブジェクトの約 40 × 1 × 2 = 80 倍の体積を持つオブジェクトが得られます。
その他の用途
動的システム 形式の 力学系 を考えてみましょう 。ここで、 は の （成分ごとの） 発展パラメータ （時間）に関する導関数であり、 は 微分 可能です。 の場合 、 は 定常点 （ 定常状態 とも呼ばれます）です 。 ハートマン・グロブマン定理 により、定常点付近のシステムの挙動は の 固有値 、 つまり定常点におけるのヤコビ行列に関係しています 。 [11] 具体的には、すべての固有値の実部が負の場合、システムは定常点付近で安定しています。いずれかの固有値の実部が正の場合、その点は不安定です。固有値の最大実部がゼロの場合、ヤコビ行列では安定性を評価できません。 [12]
x
˙
=
F
(
x
)
{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=F(\mathbf {x} )}
x
˙
{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}}
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
t
{\displaystyle t}
F
:
R
n
→
R
n
{\displaystyle F\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}
F
(
x
0
)
=
0
{\displaystyle F(\mathbf {x} _{0})=0}
x
0
{\displaystyle \mathbf {x} _{0}}
J
F
(
x
0
)
{\displaystyle \mathbf {J} _{F}\left(\mathbf {x} _{0}\right)}
F
{\displaystyle F}
ニュートン法 結合した非線形方程式の正方連立方程式は、ニュートン法 によって反復的に解くことができます 。この方法では、連立方程式のヤコビ行列を使用します。
回帰と最小二乗法 ヤコビアンは統計的 回帰 や 曲線フィッティング における線形化 計画行列として機能します。 非線形最小二乗法 を参照してください 。ヤコビアンはランダム行列、モーメント、局所感度、統計診断にも使用されます。 [13] [14]
参照
注記
^ x における微分可能性は、 x におけるすべての1次偏微分の存在を意味しますが 、それによって意味されるわけではありません。したがって、より強い条件です。
参考文献
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さらに読む
外部リンク 「ヤコビアン」、 数学百科事典 、 EMSプレス 、2001 [1994] Mathworld ヤコビアンについてのより技術的な説明
![{\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x,y)={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial y}}\\[1em]{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial y}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2xy&x^{2}\\5&\cos y\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fe3958d277972f8ea78a75384d7d4c1ceceb185)
![{\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {F} }(r,\varphi )={\begin{bmatrix}{\frac {\partial x}{\partial r}}&{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[0.5ex]{\frac {\partial y}{\partial r}}&{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{bmatrix} }={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a3f552a25d35d3123ffd35fe7e3fae447ff8a73)
![{\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {F} }(\rho ,\varphi ,\theta )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}\\[1em]{\dfrac {\partial z}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \theta }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \varphi \cos \theta &\rho \cos \varphi \cos \theta &-\rho \sin \varphi \sin \theta \\\sin \varphi \sin \theta &\rho \cos \varphi \sin \theta &\rho \sin \varphi \cos \theta \\\cos \varphi &-\rho \sin \varphi &0\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dbf63bf743435a744480c67f76f60e071c345a6)
![{\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {F} }(x_{1},x_{2},x_{3})={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{3}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&5\\0&8x_{2}&-2\\x_{3}\cos x_{1}&0&\sin x_{1}\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8cdd61024fb8153b850520350a6a90648e454a9)
