接続詞群

数学において、接群とは、群の要素をセルとするすべての単射セルオートマトンが射影的でもあるような群である。接群は、ゴットシャルク (1973) によって導入された。すべての群が接群であるかどうかは不明である。

セルオートマトンとは、有限のアルファベットの記号をそれぞれ含むセルの規則的なシステムと、隣接するセルの値に基づいてすべてのセルを同時に更新するための遷移関数と呼ばれる統一ルールから構成されます。最も一般的には、セルは線または高次元の整数グリッドの形式で配置されますが、他のセル配置も可能です。セルに求められるのは、すべてのセルが他のすべてのセルと「同じように見える」構造を形成することです。つまり、セルの配置と、任意のセルを他の任意のセルに導くルールセットの両方に対称性があります。数学的には、これは、結合的で可逆なバイナリ演算を伴う要素の集合であるグループ の概念によって形式化できます。グループの要素は、グループ演算によって生成される対称性を使用して、オートマトン セルとして使用できます。たとえば、1 次元のセル線は、整数 の加法グループ としてこのように記述でき、高次元の整数グリッドは自由アーベル群として記述できます。

グループ上のセルオートマトンのすべての可能な状態のコレクションは、各グループ要素をアルファベットの記号の 1 つにマップする関数として記述できます。有限集合として、アルファベットは離散トポロジを持ち、状態のコレクションには積トポロジを指定できます(離散トポロジの積であるため、プロディスクリートトポロジと呼ばれます)。セルオートマトンが遷移関数であるためには、状態から状態への関数はこのトポロジの連続関数である必要があり、またグループアクションと同変である必要があります。つまり、遷移関数を適用する前にセルをシフトすると、関数を適用してからセルをシフトした場合と同じ結果になります。このような関数の場合、カーティス・ヘドランド・リンドン定理により、各グループ要素での遷移関数の値は、隣接する要素の有限集合の前の状態にのみ依存することが保証されます。

状態遷移関数は、すべての状態に先行状態がある場合（エデンの園はあり得ない）、全射関数である。2つの状態が同じ後続状態を持たない場合、単射関数である。 並列群は、その要素がセルオートマトン のセルとして使用される場合、セルオートマトンのすべての単射遷移関数も全射である特性を持つ群である。 同様に、上記の定義をまとめると、群が並列的であるとは、すべての有限集合 に対して、すべての連続同変単射関数も全射である場合である。^[1] 単射性から全射性への含意は、エデンの園定理の一形式であり、単射および全射遷移関数から定義されたセルオートマトン は可逆である。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle S}$${\displaystyle f:S^{G}\to S^{G}}$

接尾群の例には、すべての局所残余有限群^[2]、すべての自由群^[2]、すべての接尾群の部分群^[3]、すべてのアーベル群^[2]、すべてのソフィック群^{[4] 、およびすべての局所接尾群[3]}が含まれる。

ゴットシャルクは1973年に接尾群を導入したとき、非接尾群の例は知られていないと指摘した。2014年現在、すべての群が接尾群であるかどうかはまだ不明である。^[5]

• Ax-グロタンディークの定理、多項式に対する類似の結果

• Ceccherini-Silberstein, Tullio; Coornaert, Michel (2010)、「Surjunctive Groups」、Cellular Automata and Groups、Springer Monographs in Mathematics、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、pp. 57–75、doi：10.1007/978-3-642-14034-1_3、ISBN 978-3-642-14033-4、MR  2683112、Zbl  1218.37004
• ゴットシャルク、ウォルター(1973)、「いくつかの一般的な動的概念」、トポロジカル ダイナミクスの最近の進歩 (トポロジカル ダイナミクス会議議事録、イェール大学、ニュー ヘブン、コネチカット、1972 年、グスタフ アーノルド ヘドランドに敬意を表して)、数学の講義ノート、第 318 巻、ベルリン、ニューヨーク:シュプリンガー出版社、pp. 120–125、doi :10.1007/BFb0061728、ISBN 978-3-540-06187-8、MR  0407821、Zbl  0255.54035
• シュニッチ、ゾラン (2014)、「セルラーオートマトンとグループ、トゥリオ・チェッケリーニ＝シルバーシュタイン、ミシェル・コルナート著 (書評)」、アメリカ数学会誌、51 (2): 361–366、doi : 10.1090/S0273-0979-2013-01425-3。