代数的数

数学において、代数的数とは、整数（または同等に有理数）係数を持つ1変数の非ゼロ多項式の根となる数のことである。例えば、黄金比など。 $(1+{\sqrt {5}})/2$ は代数的数である。なぜなら、それは多項式の根だからである。 $x^{2}-x-1$ つまり、方程式の解 $x^{2}-x-1=0$ 複素数 $1+i$ これは多項式の根であるため、代数的です。 $x^{4}+4$ 代数的数には、すべての整数、有理数、および整数の n乗根が含まれます。

代数的複素数は加算、減算、乗算、除算に関して閉じており、したがって体を形成します。 ${\overline {\mathbb {Q} }}$ 代数的実数の集合 ${\overline {\mathbb {Q} }}\cap \mathbb {R}$ これも分野の一つです。

代数的数ではない数を超越数といい、 $π$ や $eなど$ が含まれる。代数的数は可算無限に存在するため、ほとんどすべての実数（または複素数）（ルベーグ測度の意味で）は超越数である。

例

すべての有理数は代数的である。整数 $a$ と (ゼロでない)自然数 $b$ の商として表される任意の有理数は、上記の定義を満たす。なぜなら、 $x = a /$ $b はゼロでない多項式$ $、すなわちbx - a$ の根だからである。^{[ 1 ]}
2次無理数とは、係数が整数a、b、cである²次多項式ax² + bx + cの無理解であり、代数的数です。2次多項式が単項式 ( a = 1 ) の場合、根はさらに2次整数として分類されます。
- ガウス整数、つまり $a$ と $b$ がともに整数である複素数 $a + biは、二次整数でもあります。これは、$ $a$ $+$ $bi$ と $a$ $-$ $bi が二次方程式$ $x$ $2$ $- 2$ $ax$ $+$ $a$ $2$ $+$ $b$ $2$ の 2 つの根であるためです。
構成可能な数は、定規とコンパスを使用して、与えられた単位長さから構成できます。これには、すべての二次無理根、すべての有理数、および基本的な算術演算と平方根の抽出を使用してこれらから構成できるすべての数が含まれます。（+1、−1、+ $i$ 、および− $i$ の基本方向を指定することにより、次のような複素数 $3+i{\sqrt {2}}$ （建設可能とみなされる。）
$代数的数から、基本的な算術演算とn$ 乗根の抽出を任意の有限組み合わせで用いて形成される式は、別の代数的数となる。
$基本的な算術演算とn$ 乗根の抽出では表現できない多項式の根（例えば、 $x⁵ - x + 1$ の根）。これは $、$ 5次以上の多項式の多くに当てはまりますが、すべてではありません。
$π$ の有理数の倍数の三角関数の値(定義されていない場合を除く): 例えば、 $cos$ $⁠$ $π$ $/$ $7$ $⁠$ 、 $cos$ $⁠$ $3$ $π$ $/$ $7$ $⁠$ 、 $cos$ $⁠$ $5$ $π$ $/$ $7$ $⁠$ $は8$ $x$ $3$ $- 4$ $x$ $2$ $- 4$ $x$ $+ 1 = 0$ を満たします。この多項式は有理数上で既約であるため、3 つのコサインは共役代数数です。同様に、 $tan$ $⁠$ $3$ $π$ $/$ $16$ $⁠$ 、 $tan$ $⁠$ $7$ $π$ $/$ $16$ $⁠$ 、 $tan$ $⁠$ $11$ $π$ $/$ $16$ $⁠$ 、 $tan$ $⁠$ $15$ $π$ $/$ $16$ $⁠$ $は既約多項式x$ $4$ $- 4$ $x$ $3$ $- 6$ $x$ $2$ $+ 4$ $x$ $+ 1 = 0$ を満たし、共役代数整数です。これは、角度を度数で測定すると有理数になるのと同等です。^[²^]
無理数の中には代数的な数もあるが、全てではない。
- 数字 $\displaystyle {\sqrt {2}}}$ そして ${\frac {\sqrt[{3}]{3}}{2}}$ これらはそれぞれ多項式 $x 2 - 2$ と $8 x 3 - 3$ の根であるため、代数的です。
- 黄金比 $φは$ $、$ 多項式 $x² - x - 1$ の根であるため、代数的である。
- $π$ とeは代数的数ではない（リンデマン・ワイエルシュトラスの定理を参照）。^{[ 3 ]}

物件

複素平面上の代数的数を次数に応じて色分けした図（明るいオレンジ／赤＝1、緑＝2、青＝3、黄＝4）。点が大きいほど、係数が整数の小さい多項式を表す。

有理係数を持つ多項式に最小公倍数を掛けると、結果として得られる整数係数の多項式は同じ根を持つ。このことから、代数的数は、整数係数または有理係数のいずれの多項式の根としても等価に定義できることがわかる。
代数的数が与えられたとき、その数を根とする最小次数の有理係数を持つ単項多項式が一意に存在します。この多項式を最小多項式と呼びます。最小多項式の次数が $nである場合、その代数的数は$ 次数 $n$ であると言います。例えば、すべての有理数は次数が 1 であり、次数が 2 の代数的数は二次無理数です。
代数的数は実数において稠密である。これは、代数的数が有理数を含み、有理数自体が実数において稠密であるという事実から導かれる。
代数的数の集合は可算集合であり、^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}複素数の部分集合としてのルベーグ測度は0 です (実質的に、代数的数は複素数の中で空間を占めません)。つまり、「ほとんどすべての」実数と複素数は超越数です。
すべての代数的数は計算可能であり、したがって定義可能で算術的である。
実数 $a$ と $b$ に対して、複素数 $a + bi が代数的であるのは、$ $a$ と $b の$ 両方が代数的である場合に限る。^{[ 6 ]}

有理数の単純拡張の次数を代数性の基準とする

いずれの場合も $\alpha$ ⁠、有理数の単純な拡張による⁠ $\alpha$ ⁠、で示される $\mathbb {Q} (\alpha )$ （その要素は $f(\alpha )$ のために $f$ 有理係数を持つ有理関数で、定義は $\alpha$ ) は、次の場合に限り有限次数である。 $\alpha$ は代数的数です。

有限次数という条件は、固定された数の集合が存在することを意味する。 $\{a_{i}\}$ 有限の濃度を持つ $k$ 要素を含む $\mathbb {Q} (\alpha )$ そのため $\textstyle \mathbb {Q} (\alpha )=\sum _{i=1}^{k}a_{i}\mathbb {Q}$ ;つまり、各要素 $\mathbb {Q} (\alpha )$ 和として表すことができる $\textstyle \sum _{i=1}^{k}a_{i}q_{i}$ いくつかの有理係数に対して $\{q_{i}\}$ 。

以来 $a_{i}$ 自身は $\mathbb {Q} (\alpha )$ それぞれは、有理数とのべき乗の積の和として表すことができる。 $\alpha$ したがって、この条件は、ある有限の $n$ 、 $\mathbb {Q} (\alpha )={\biggl \lbrace }\sum _{i=-n}^{n}\alpha ^{i}q_{i}\mathbin {\bigg |} q_{i}\in \mathbb {Q} {\biggr \rbrace }.$

後者の条件は、 $\displaystyle \alpha ^{n+1}}$ それ自体がメンバーである $\mathbb {Q} (\alpha )$ 表現可能 $\textstyle \sum _{i=-n}^{n}\alpha ^{i}q_{i}$ 一部の合理主義者にとって $\{q_{i}\}$ 、それで $\textstyle \alpha ^{2n+1}=\sum _{i=0}^{2n}\alpha ^{i}q_{in}$ または同等に、 $\alpha$ ⁠はルートです $\textstyle x^{2n+1}-\sum _{i=0}^{2n}x^{i}q_{in}$ ;つまり、次数が以下である最小多項式を持つ代数的数 $2n+1$ 。

同様に、任意の有限代数的数集合に対して、 $\displaystyle \alpha _{1}}$ 、 $\displaystyle \alpha _{2}}$ ... $\displaystyle \alpha _{n}}$ 、フィールド拡張 $\mathbb {Q} (\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{n})$ 有限次数を持つ。

分野

2つの代数的数の和、差、積、および商（分母がゼロでない場合）は、いずれも代数的数である。

任意の2つの代数的数に対して $\alpha$ ⁠、 ⁠ $\beta$ これは、単純な拡張が $\mathbb {Q} (\gamma )$ 、のために $\gamma$ どちらか $\alpha +\beta$ 、 $\alpha -\beta$ 、 $\alpha \beta$ または（ $\beta \neq 0$ ） $\alpha /\beta$ は、有限次数体拡張の線形部分空間である。 $\mathbb {Q} (\alpha ,\beta )$ したがって、それ自体が有限の次数を持つため、（上記のように） $\gamma$ 代数的である。

これを示す別の方法は、結果として得られるものを使用することで構成的に示すことです。

代数的数はこのようにして体を形成する^{[ 7 ]} ${\overline {\mathbb {Q} }}$ （時には次のように表記される） $\mathbb {A}$ しかし、それは通常アデルリングを指す。

代数的閉包

係数が代数的数である多項式方程式のすべての根は、再び代数的数となる。これは、代数的数の体が代数的に閉じている、と言い換えることができる。実際、それは有理数を含む最小の代数的に閉じた体であり、そのため有理数の代数的閉包と呼ばれる。

代数的数の体が代数的に閉じていることは、次のように証明できます。 $\beta$ 多項式の根である $\alpha _{0}+\alpha _{1}x+\alpha _{2}x^{2}...+\alpha _{n}x^{n}$ 係数が代数的数である $\displaystyle \alpha _{0}}$ 、 $\displaystyle \alpha _{1}}$ 、 $\displaystyle \alpha _{2}}$ ... $\displaystyle \alpha _{n}}$ . フィールド拡張 $\displaystyle \mathbb {Q} ^{\prime }\equiv \mathbb {Q} (\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{n})}$ すると、有限の次数を持つ $\mathbb {Q}$ シンプルな拡張機能 $\displaystyle \mathbb {Q} ^{\prime }(\beta )}$ すると、有限の次数を持つ $\displaystyle \mathbb {Q} ^{\prime }}$ （すべてのパワーは $\beta$ は、最大で次のべき乗で表すことができます $\displaystyle \beta ^{n-1}}$ ）。したがって、 $\mathbb {Q} ^{\prime }(\beta )=\mathbb {Q} (\beta ,\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{n})$ また、に関して有限の次数を持つ $\mathbb {Q}$ 。以来 $\mathbb {Q} (\beta )$ は、の線形部分空間である。 $\mathbb {Q} ^{\prime }(\beta )$ また、それはに関して有限の次数を持つ必要がある。 $\mathbb {Q}$ だから $\beta$ 代数的な数でなければなりません。

代数的整数

代数的整数とは、係数が整数で最高次係数が 1 の多項式（単項式）の根となる代数的数のことです。代数的整数の例は次のとおりです。 $5+13{\sqrt {2}},$ $2-6i,$ そして ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+i{\sqrt {3}}).}$ したがって、代数的整数は整数の真のスーパーセットを構成する。なぜなら、後者はすべてのに対して単多項式 $x$ $-$ $k$ の根だからである。 $k\in \mathbb {Z}$ この意味で、代数的整数は代数的数にとって、整数が有理数にとっての存在と同じである。

代数的整数の和、差、積もまた代数的整数であり、これは代数的整数が環を形成することを意味します。代数的整数という名称は、代数的整数である有理数は整数のみであること、そして任意の数体における代数的整数は多くの点で整数と類似していることに由来します。K $が$ 数体である場合、その整数環は $K$ における代数的整数の部分環であり、しばしば $O K$ と表記されます。これらはデデキント領域の典型的な例です。

特別クラス

注記

↑以下の例の一部は、 Hardy & Wright (1972 、pp. 159–160、178–179)から引用したものです。
↑ガリバルディ 2008。
↑また、リウヴィルの定理は「超越数の例を好きなだけ生成する」ために使用できる。ハーディとライト（1972年、161ページ以降）を参照。
↑ Hardy & Wright 1972、p. 160、2008:205。
↑ Niven 1956、定理 7.5。
↑ Niven 1956、系7.3。
↑ニブン 1956、p. 92。

参考文献

マイケル・アーティン(1991)、代数、プレンティス・ホール、ISBN 0-13-004763-5MR 1129886
ガリバルディ、スキップ（2008年6月）「知事が知っておくべき三角法の知識以上のもの」、Mathematics Magazine、81（3）：191–200、doi：10.1080/0025570x.2008.11953548、JSTOR 27643106
ハーディ、ゴッドフリー・ハロルド；ライト、エドワード・M.（1972）、『数論入門』（第5 版）、オックスフォード：クラレンドン出版、ISBN 0-19-853171-0
アイルランド、ケネス；ローゼン、マイケル（1990）[初版1982年]、『現代数論への古典的入門』（第2 版）、ベルリン：シュプリンガー、doi：10.1007/978-1-4757-2103-4、ISBN 0-387-97329-XMR 1070716
ラング、セルジュ（2002）[初版1965年]、代数学（第3 版）、ニューヨーク：シュプリンガー、ISBN 978-0-387-95385-4MR 1878556
ニブン、イヴァン・M. (1956)、『無理数』、アメリカ数学協会
オレ、オイスタイン（1948）、『数論とその歴史』、ニューヨーク：マグロウヒル

[1] 以下の例の一部は、 Hardy & Wright (1972 、pp. 159–160、178–179)から引用したものです。

[FOOTNOTEGaribaldi2008-2] ガリバルディ 2008。

[3] また、リウヴィルの定理は「超越数の例を好きなだけ生成する」ために使用できる。ハーディとライト（1972年、161ページ以降）を参照。

[FOOTNOTEHardyWright19721602008:205-4] Hardy & Wright 1972、p. 160、2008:205。

[FOOTNOTENiven1956Theorem_7.5.-5] Niven 1956、定理 7.5。

[FOOTNOTENiven1956Corollary_7.3.-6] Niven 1956、系7.3。

[FOOTNOTENiven195692-7] ニブン 1956、p. 92。

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[ 7 ]

代数的数

例

物件

有理数の単純拡張の次数を代数性の基準とする

分野

代数的閉包

関連分野

根号で定義される数

閉形式の数

代数的整数

特別クラス

注記

参考文献

関連するトピック

直角三角形

斜辺

数学

整数