臨界点（数学）

数学において、臨界点とは、関数の導関数がゼロ（または、以下に定義されるように未定義）となる関数の引数のことです。臨界点における関数の値は、臨界値。 ^{[ 1 ]}

より具体的には、実変数の関数を扱う場合、臨界点とは、関数の定義域内で関数の導関数がゼロになる点（停留点とも呼ばれる）または関数が微分可能でない点である。^{[ 2 ]}同様に、複素変数を扱う場合、臨界点とは、関数の定義域内でその導関数がゼロになる点（または関数が正則でない点）である。^{[ 3 ] [ 4 ]}同様に、複数の実変数の関数の場合、臨界点とは、その定義域内で勾配ノルムがゼロになる値（または未定義）である。^{[ 5 ]}

この種の定義は、微分可能な写像にも拡張される。$\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$そして​​${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$この場合、臨界点とは、ヤコビ行列のランクが最大ではない点のことです。これはさらに、微分可能な多様体間の微分可能な写像にも拡張され、ヤコビ行列のランクが減少する点となります。この場合、臨界点は分岐点とも呼ばれます。特に、 Cが陰関数f ( x , y ) = 0で定義される平面曲線である場合、y軸に平行なx軸への射影の臨界点は、 Cの接線がy軸に平行な点、つまり${\textstyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0}$言い換えれば、臨界点とは、陰関数定理が適用されない点のことである。

単一の実変数関数f ( x )の臨界点とは、fの定義域内でf が微分不可能であるか、その導関数が0 となる値x ₀のことである(すなわち、${\displaystyle f'(x_{0})=0}$) ^{[ 2 ]}臨界値とは、 fの下の臨界点の像のことです。これらの概念はfのグラフを通して視覚化できます。臨界点では、グラフには水平な接線が存在します（接線が設定できる場合）。

微分可能な関数では、臨界点と停留点が同じであることに注目してください。

グラフ（曲線）上では容易に視覚化できますが、関数の臨界点の概念は、曲線のある方向における臨界点の概念と混同してはなりません（詳細な定義については後述） 。g ( x , y )が2変数の微分可能な関数である場合、 g ( x , y ) = 0は曲線の陰関数方程式です。y軸に平行な射影（写像( x , y )→ x ）における、このような曲線の臨界点は、曲線上で次の点です。$\displaystyle {\tfrac {\partial g}{\partial y}}(x,y)=0.}$これは、曲線の接線がy軸に平行であり、この点ではg がxからyへの陰関数を定義しないことを意味します(陰関数定理を参照)。( x ₀ , y ₀ )がそのような臨界点である場合、x ₀は対応する臨界値です。このような臨界点は分岐点とも呼ばれ、一般に、x が変化すると、曲線はx ₀の片側に 2 つの枝を持ち、反対側にはゼロになります。

これらの定義から、微分可能な関数f ( x )は、臨界値y ₀を持つ臨界点x ₀を持つのは、( x ₀ , y ₀ )がx軸に平行な射影のグラフの臨界点であり、同じ臨界値y _{0 を}持つ場合に限ることがわかります。接線がy軸に平行になるため、fがx ₀で微分可能でない場合、 x ₀は再びfの臨界点になりますが、今度は( x ₀ , y ₀ )がy軸に平行な射影のグラフの臨界点になります。

例えば、方程式の単位円の臨界点${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}$x軸に平行な方向への投影では(0, 1)と(0, -1) 、 y軸に平行な方向では(1, 0)と(-1, 0)となります。上半円を関数のグラフと考えると、${\displaystyle f(x)={\sqrt {1-x^{2}}}}$すると、導関数が 0 に等しいため、x = 0は臨界値 1 の臨界点となり、導関数が定義されないため、 x = ±1は臨界値 0 の臨界点となります。

陰関数方程式で定義される平面曲線の研究において、特に曲線のスケッチや位相の決定において、臨界点は重要な役割を果たします。この節で使用される臨界点の概念は、前の節のものとは異なるように見えるかもしれません。実際には、これは以下に示す一般的な臨界点の概念を単純なケースに特殊化したものです。

したがって、陰関数方程式で定義される曲線Cを考える。${\displaystyle f(x,y)=0}$ここで、f は2 つの変数の微分可能な関数であり、一般に2 変数多項式です。曲線の点は、デカルト座標が方程式を満たすユークリッド平面上の点です。標準的な投影法は2 つあります。$\displaystyle \pi _{y}}$そして$\displaystyle \pi _{x}}$定義される${\displaystyle \pi _{y}((x,y))=x}$そして${\displaystyle \pi _{x}((x,y))=y,}$これらは曲線を座標軸上にマッピングするものです。それぞれy軸に平行な投影とx軸に平行な投影と呼ばれます。

Cの点は、$\displaystyle \pi _{y}}$Cに接線が存在し、 y軸に平行である場合。その場合、$\displaystyle \pi _{y}}$臨界点と接線の はx軸上の同じ点であり、これを臨界値と呼びます。したがって、 Cの点はに対して臨界です。$\displaystyle \pi _{y}}$その座標が連立方程式の解である場合：

${\displaystyle f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0}$

これは、この定義が、以下に示す臨界点の一般的な定義の特殊な場合であることを意味します。

臨界点の定義$\displaystyle \pi _{x}}$同様です。Cが関数のグラフである場合${\displaystyle y=g(x)}$すると、( x , y )は$\displaystyle \pi _{x}}$xがgの臨界点であり、かつ臨界値が等しい場合に限る。

一部の著者は、Cの臨界点を、$\displaystyle \pi _{x}}$または$\displaystyle \pi _{y}}$ただし、それらはCだけでなく、座標軸の選択にも依存します。特異点を臨界点とみなすかどうかは、著者によっても異なります。実際、特異点とは、以下の条件を満たす点です。

${\displaystyle f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)={\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)=0}$、

したがって、これらは臨界点を特徴付けるいずれかの連立方程式の解である。このより一般的な定義では、臨界点は$\displaystyle \pi _{y}}$それらはまさに、陰関数定理が適用されない点である。

複数の実変数の関数の場合、点P (入力変数の値の集合であり、これは の点として見なされる) は、$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$勾配がゼロまたは未定義の点である場合、臨界値となります^{。 [ 5 ]}臨界値とは、臨界点における関数の値のことです。

関数が微分可能な臨界点は、局所最大値、局所最小値、または鞍点のいずれかである可能性があります。関数が少なくとも2回連続微分可能であれば、2階微分行列の固有値を考慮することで、これらの異なるケースを区別できます。

ヘッセ行列が非特異となる臨界点は非退化であると言われ、ヘッセ行列の固有値の符号によって関数の局所的な挙動が決まります。1変数関数の場合、ヘッセ行列は単純に2階微分であり、1×1行列として表され、非特異となるのはゼロでない場合のみです。この場合、非退化臨界点は、2階微分の符号に応じて局所最大値または局所最小値となります。2階微分は、局所最小値の場合は正、局所最大値の場合は負です。2階微分がゼロの場合、臨界点は一般に変曲点ですが、波動点となる場合もあり、波動点は局所最小値または局所最大値となる可能性があります。

n個の変数を持つ関数において、臨界点におけるヘッセ行列の負の固有値の数を臨界点の指数と呼びます。非退化臨界点は、指数がnの場合、または同等にヘッセ行列が負定値である場合に限り、局所最大値となります。指数が 0 の場合、または同等にヘッセ行列が正定値である場合に限り、局所最小値となります。指数がその他の値の場合、非退化臨界点は鞍点、すなわち、ある方向では最大値、別の方向では最小値となる点です。

微分可能な写像 が与えられた場合${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n},}$fの臨界点は、次の点です。${\displaystyle \mathbb {R} ^{m},}$fのヤコビ行列のランクが最大ではない場合。 [ 6 ^{] fによる}臨界点の像は臨界値と呼ばれます。臨界値の集合の補集合内の点は正則値と呼ばれます。サードの定理は、滑らかな写像の臨界値の集合の測度がゼロであることを述べています。

一部の著者^{[ 7 ]}は、少し異なる定義を与えている。fの臨界点は、$\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ここで、 fのヤコビ行列のランクはn未満です。この慣例では、 m < nの場合、すべての点が臨界点となります。

これらの定義は、微分可能多様体間の微分写像にも以下のように拡張される。${\displaystyle f:V\to W}$は、それぞれ次元mとnの 2 つの多様体VとWの間の微分写像である。Vの点pとf ( p )の近傍では、チャートは微分同相写像である。$\displaystyle \varphi :V\to \mathbb {R} ^{m}}$そして${\displaystyle \psi :W\to \mathbb {R} ^{n}.}$点pがfにとって重要な場合${\displaystyle \varphi (p)}$は、${\displaystyle \psi \circ f\circ \varphi ^{-1}.}$この定義はチャートの選択に依存しない。なぜなら遷移マップは微分同相写像であり、そのヤコビ行列は可逆であり、それらを乗算してもヤコビ行列のランクは変更されないからである。${\displaystyle \psi \circ f\circ \varphi ^{-1}.}$Mがヒルベルト多様体(必ずしも有限次元ではない)であり、 f が実数値関数である場合、 pがfの臨界点であるとは、pにおいてfが沈め込みでないことをいう。^{[ 8 ]}

臨界点は多様体や実代数多様体の位相を研究する上で基本となるものである。^{[ 1 ]}特に、モース理論やカタストロフィー理論の基本的なツールである。

臨界点とトポロジーの関連性は、より低い抽象度レベルですでに現れている。例えば、${\displaystyle V}$部分多様体である${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$Pは外側の点とする${\displaystyle V.}$点から点Pまでの距離の二乗${\displaystyle V}$は、各連結成分が${\displaystyle V}$距離が最小となる臨界点が少なくとも1つ含まれている。したがって、${\displaystyle V}$臨界点の数によって上限が定められる。

実代数多様体の場合、ベズーの定理に関連するこの観察により、多様体を定義する多項式の次数の関数によって連結成分の数を制限することができる。

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