グリーン・タオの定理

数論において、ベン・グリーンとテレンス・タオが2004年に証明したグリーン・タオの定理は、素数列には任意の長さの等差数列が含まれると述べている。言い換えれば、すべての自然数に対して、${\displaystyle k}$素数の等差数列が存在し、${\displaystyle k}$用語。証明はセメレディの定理の拡張である。この問題は、1770 年頃のラグランジュとワーリングの研究に遡ることができる。^{[ 1 ]}

させて${\displaystyle \pi (N)}$は、以下の素数の数を表す。${\displaystyle N}$。 もし${\displaystyle A}$は素数の部分集合であり、

${\displaystyle \limsup _{N\rightarrow \infty }{\frac {|A\cap [1,N]|}{\pi (N)}}>0,}$

そしてすべての正の整数に対して${\displaystyle k}$セット${\displaystyle A}$長さの等差数列が無限に多く含まれる${\displaystyle k}$特に、素数の集合全体には、任意の長さの等差数列が含まれる。

グリーンとタオは、後のハーディ・リトルウッド予想の一般化に関する研究において、漸近公式を述べ、条件付きで証明した。

${\displaystyle ({\mathfrak {S}}_{k}+o(1)){\frac {N^{2}}{(\log N)^{k}}}}$

素数のk組の数${\displaystyle p_{1}<p_{2}<\dotsb <p_{k}\leq N}$等差数列において。^{[ 2 ]}ここで、${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{k}}$定数

${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{k}:={\frac {1}{2(k-1)}}\left(\prod _{p\leq k}{\frac {1}{p}}\left({\frac {p}{p-1}}\right)^{\!k-1}\right)\!\left(\prod _{p>k}\left(1-{\frac {k-1}{p}}\right)\!\left({\frac {p}{p-1}}\right)^{\!k-1}\right)\!.}$

^{この結果は、Green–Tao [ 3 ]}および Green–Tao–Ziegler ^{[ 4 ]}によって無条件となった。

グリーンとタオの証明は、主に3つの要素から成り立っています。

1. ゼメレディの定理は、正の上限密度を持つ整数の部分集合には、任意の長さの等差数列が存在すると主張する。素数は整数の中で密度がゼロであるため、この定理は素数には先験的に適用されない。
2. 適切な意味で擬似乱数である整数の部分集合にセメレディの定理を拡張する伝達原理。このような結果は現在、相対セメレディの定理と呼ばれている。
3. 素数を密な部分集合として含む整数の擬似乱数部分集合。この集合を構築するために、グリーンとタオは、ゴールドストン、ピンツ、ユルドゥルムの素数ギャップに関する研究のアイデアを使用した。^{[ 5 ]}集合の擬似乱数が確立されると、転送原理を適用して証明を完了することができる。

^{原論文[ 1 ]}の議論には数多くの簡略化が見つかっている。Conlon 、Fox 、 Zhao（2014）は、その証明の現代的な解説を提供している。

グリーン・タオの定理の証明は、素数の等差数列を見つける方法を示すものではなく、単にそれらが存在することを証明するに過ぎない。素数における大きな等差数列を見つけるための計算的な研究は、別途行われている。

Green–Taoの論文には、「執筆時点で知られている最長の素数の等差数列は長さ23であり、2004年にMarkus Frind、Paul Underwood、Paul Joblingによって発見された。56,211,383,760,397 + 44,546,738,095,860 · k ; k = 0, 1, . . ., 22」と記載されている。

2007年1月18日、ヤロスワフ・ヴロブレフスキは、24個の素数が等差数列を形成する最初の事例を発見した。^{[ 6 ]}

468,395,662,504,823 + 205,619 · 223,092,870 · n、n = 0 から 23 まで。

ここで定数223,092,870は、23までの素数の積であり、より簡潔に原始表記では23#と表されます。

2008年5月17日、ヴロブレフスキとラーナン・チェルモニは、25個の素数が見つかった最初の事例を発見した。

6,171,054,912,832,631 + 366,384 · 23# · n、n = 0 から 24 まで。

2010年4月12日、ブノワ・ペリションは、分散型PrimeGridプロジェクトにおいて、ヴロブレフスキとジェフ・レイノルズによるソフトウェアを用いて、既知の26個の素数の最初の事例（ OEISのシーケンスA204189）を発見した。

43,142,746,595,714,191 + 23,681,770 · 23# · n、n = 0 から 25 まで。

2019年9月、ロブ・ガハンとPrimeGridは、既知の27個の素数の最初の事例（OEISの配列A327760）を発見した。

224,584,605,939,537,911 + 81,292,139 · 23# · n、n = 0 から 26 まで。

ゼメレディの定理の拡張の多くは、素数にも当てはまる。

タオとジーグラー^{[ 7 ]}およびクック、マジャール、ティチチェトラクン^{[ 8 ] [ 9 ]}は、それぞれ独立してグリーン-タオ定理の多次元一般化を導出した。タオ-ジーグラーの証明はフォックスとチャオによっても簡略化された^{[ 10 ] 。}

2006年、TaoとZieglerはGreen–Taoの定理を多項式級数に拡張した。^{[ 11 ] [ 12 ]}より正確には、任意の整数値の多項式が与えられた場合、${\displaystyle P_{1},\ldots ,P_{k}}$不確定な${\displaystyle m}$定数項が0の場合、整数は無限に存在する。${\displaystyle x,m}$そのため${\displaystyle x+P_{1}(m),\ldots ,x+P_{k}(m)}$は同時に素数である。多項式が${\displaystyle m,2m,\ldots ,km}$これは、長さの素数の等差数列が存在するという以前の結果を示唆している。${\displaystyle k}$。

タオはガウス素数に対するグリーン・タオの定理の類似性を証明した。^{[ 13 ]}

• エルデシュの等差数列に関する予想
• 等差数列に関するディリクレの定理
• 算術的組み合わせ論

• Conlon, David ; Fox, Jacob ; Zhao, Yufei (2014). "グリーン・タオの定理：解説". EMS Surveys in Mathematical Sciences . 1 (2): 249– 282. arXiv : 1403.2957 . doi : 10.4171/EMSS/6 . MR 3285854 . S2CID 119301206 .  
• Gowers, Timothy (2010). "分解、近似構造、転送、およびハーン・バナッハの定理". Bulletin of the London Mathematical Society . 42 (4): 573–606 . arXiv : 0811.3103 . doi : 10.1112/blms/bdq018 . MR 2669681 . S2CID 17216784 .  
• グリーン、ベン（2007）。「素数の長い算術数列」。デューク、ウィリアム、チンケル、ユーリ編『解析的整数論』クレイ数学論文集第 7巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、149-167頁。ISBN  978-0-8218-4307-9. MR 2362199 . 
• 司会者、バーナード (2006)。「Progressions arithmétiques dans les nombres premiers (d'après B. Green et T. Tao)」[素数の算術数列 (B. Green と T. Tao 以降) ] (PDF)。アステリスク(フランス語) (307): 229–246 . arXiv : math/0609795。Bibcode : 2006math....9795H。MR 2296420。 
• Kra, Bryna (2006). "素数における等差数列に関するグリーン・タオの定理：エルゴード的観点から" .アメリカ数学会報. 43 (1): 3– 23. doi : 10.1090/S0273-0979-05-01086-4 . MR 2188173 . 
• Tao, Terence (2006). "算術数列と素数" . Collectanea Mathematica . Extra: 37–88 . MR 2264205. 2015年8月5日のオリジナルからアーカイブ済み。 2015年6月5日取得。 
• Tao, Terence (2006). "素数における均一性と算術パターンの障害". Pure and Applied Mathematics Quarterly . 2 (2): 395–433 . arXiv : math/0505402 . doi : 10.4310/PAMQ.2006.v2.n2.a2 . MR 2251475 . S2CID 6939076 .  
• Tao, Terence (2008-01-07). "AMS 講演: 素数における構造とランダム性" .