微分演算子

数学において、微分演算子とは、微分演算子の関数として定義される演算子のことです。表記上の便宜上、微分を、関数を受け取り別の関数を返す抽象的な演算（コンピュータサイエンスにおける高階関数のようなもの）として考えると分かりやすいでしょう。

この記事では、最も一般的なタイプである線形微分演算子を主に扱います。ただし、シュワルツ微分などの非線形微分演算子も存在します。

非負整数mが与えられたとき、順序${\displaystyle m}$線形微分演算子は写像である${\displaystyle P}$関数空間から$\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}$の上$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$別の機能スペースへ$\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}}$これは次のように書くことができます。

$${\displaystyle P=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)D^{\alpha }\ ,}$$ どこ${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\cdots ,\alpha _{n})}$は非負整数の多重インデックスです。$${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}$$、そしてそれぞれについて${\displaystyle \alpha }$、${\displaystyle a_{\alpha }(x)}$は、 n次元空間内の何らかの開領域上の関数である。演算子$\displaystyle D^{\alpha }}$と解釈される

$$${\displaystyle D^{\alpha }={\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}}$$$

したがって関数については${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}_{1}}$:

$${\displaystyle Pf=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x){\frac {\partial ^{|\alpha |}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}}$$

表記法$\displaystyle D^{\alpha }}$2階微分の対称性により、これは正当化される（つまり、微分次数に依存しない）。

部分項を置き換えることによって得られる多項式p${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}}$変数による$\displaystyle \xi _{i}}$PにおけるはPの全体記号と呼ばれます。つまり、上記の Pの全体記号は次のようになります。$${\displaystyle p(x,\xi )=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }}$$ どこ${\displaystyle \xi ^{\alpha }=\xi _{1}^{\alpha _{1}}\cdots \xi _{n}^{\alpha _{n}}.}$シンボルの最も均質な成分、すなわち、

${\displaystyle \sigma (x,\xi )=\sum _{|\alpha |=m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }}$

Pの主シンボルと呼ばれる。^{[ 1 ]}全体シンボルは本質的に定義されていないが、主シンボルは本質的に定義されている（つまり、余接束上の関数である）。^{[ 2 ]}

より一般的に、EとFを多様体X上のベクトル束とする。このとき、線形演算子は

${\displaystyle P:C^{\infty }(E)\to C^{\infty }(F)}$

は次数 の微分演算子です${\displaystyle k}$X上のローカル座標で、

${\displaystyle Pu(x)=\sum _{|\alpha |=k}P^{\alpha }(x){\frac {\partial ^{\alpha }u}{\partial x^{\alpha }}}+{\text{下位項}}}$

ここで、各多重指数αについて、${\displaystyle P^{\alpha }(x):E\to F}$は、添え字 α に関して対称なバンドル写像です。

Pのk^次係数は対称テンソルとして変換される

${\displaystyle \sigma _{P}:S^{k}(T^{*}X)\otimes E\to F}$

その定義域は、Xの^余接束のk番目の対称べき乗とEのテンソル積であり、その終域はFである。この対称テンソルは、 Pの主記号(または単に記号)として知られている。

座標系x ^{i は、ファイバー座標 ξ} _iを決定する座標微分 d x ⁱによって余接束の局所的な自明化を可能にする。EとFのフレームe _μ、f _νの基底に関して、微分演算子Pは成分に分解される。

${\displaystyle (Pu)_{\nu }=\sum _{\mu }P_{\nu \mu }u_{\mu }}$

Eの各セクションuについて。ここでP _νμは、次のように定義されるスカラー微分演算子です。

${\displaystyle P_{\nu \mu }=\sum _{\alpha }P_{\nu \mu }^{\alpha }{\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}.}$

この簡略化により、主記号は次のように書けるようになる。

${\displaystyle (\sigma _{P}(\xi )u)_{\nu }=\sum _{|\alpha |=k}\sum _{\mu }P_{\nu \mu }^{\alpha }(x)\xi _{\alpha }u_{\mu }。$

Xの固定点x上の余接空間では、記号$\displaystyle \sigma _{P}}$次数kの同次多項式を定義する${\displaystyle T_{x}^{*}X}$値は${\displaystyle \operatorname {Hom} (E_{x},F_{x})}$。

微分演算子Pとその記号は、フーリエ変換と関連して次のように自然に現れます。ƒ をシュワルツ関数とします。すると、逆フーリエ変換により、

${\displaystyle Pf(x)={\frac {1}{(2\pi )^{\frac {d}{2}}}}\int \limits _{\mathbf {R} ^{d}}e^{ix\cdot \xi }p(x,i\xi ){\hat {f}}(\xi )\,d\xi .}$

これは、P がフーリエ乗数であることを示しています。この積分が良好な振る舞いをするように、ξ に関してせいぜい多項式増大条件を満たす関数p ( x ,ξ)のより一般的なクラスは、擬微分演算子から構成されます。

• 微分演算子${\displaystyle P}$は、そのシンボルが可逆である場合に楕円型である。つまり、各非ゼロに対して${\displaystyle \theta \in T^{*}X}$バンドルマップ${\displaystyle \sigma _{P}(\theta ,\dots ,\theta )}$は可逆である。コンパクト多様体上では、楕円理論から、Pはフレドホルム作用素であることがわかる。すなわち、有限次元の核と余核を持つ。
• 双曲型および放物型偏微分方程式の研究において、主記号の零点は偏微分方程式の特性に対応する。
• 物理科学への応用において、ラプラス演算子などの演算子は偏微分方程式の設定と解法において重要な役割を果たす。
• 微分位相幾何学において、外微分演算子とリー微分演算子は固有の意味を持つ。
• 抽象代数学において、微分という概念は、微積分を用いずに微分作用素を一般化することを可能にする。このような一般化は、代数幾何学や可換代数学で頻繁に用いられる。Jet (数学)も参照のこと。
• 複素変数z = x + i yの正則関数の展開において、複素関数は2つの実変数xとyの関数として考えられることがあります。この場合、偏微分演算子であるWirtinger 微分が用いられます。$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\ ,\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)\ .}$$このアプローチは、複数の複雑な変数の関数や運動変数の関数を研究するためにも使用されます。
• 微分演算子del は、ナブラとも呼ばれ、重要なベクトル微分演算子です。物理学では、マクスウェル方程式の微分形式など、頻繁に登場します。3 次元直交座標では、del は次のように定義されます。

$${\displaystyle \nabla =\mathbf {\hat {x}} {\partial \over \partial x}+\mathbf {\hat {y}} {\partial \over \partial y}+\mathbf {\hat {z}} {\partial \over \partial z}.}$$

Delは勾配を定義し、さまざまなオブジェクトの回転、発散、ラプラシアンを計算するために使用されます。

• カイラル微分演算子。今のところは、以下を参照。

微分演算子を独立したものとして記述するという概念的なステップは、1800年にルイ・フランソワ・アントワーヌ・アルボガストに帰せられる。 ^{[ 3 ]}

最も一般的な微分演算子は、導関数を求める操作です。変数xに関する一次導関数を求める一般的な表記法には、次のものがあります。

${\displaystyle {d \over dx}}$、${\displaystyle D}$、${\displaystyle D_{x},}$そして${\displaystyle \partial _{x}}$。

n階以上の高階微分を行う場合、演算子は次のように記述できます。

${\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}}$、${\displaystyle D^{n}}$、${\displaystyle D_{x}^{n}}$、 または${\displaystyle \partial _{x}^{n}}$。

関数fの引数xの導関数は、以下のいずれかの形で表されることがあります。

${\displaystyle [f(x)]'}$

${\displaystyle f'(x).}$

D記法の使用と考案は、オリバー・ヘヴィサイドによるもので、彼は次の形式の微分演算子を考察した。

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}c_{k}D^{k}}$

微分方程式の研究において。

最もよく見られる微分演算子の1つは、ラプラシアン演算子であり、次のように定義されます。

${\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{k}^{2}}}.}$

もう1つの微分演算子はΘ演算子、またはシータ演算子であり、 ^{[ 4 ]}で定義されています。

${\displaystyle \Theta =z{d \over dz}.}$

これは、その固有関数がzに関する単項式であるため、同次性演算子とも呼ばれることがあります。 $${\displaystyle \Theta (z^{k})=kz^{k},\quad k=0,1,2,\dots }$$

n個の変数における同次性演算子は次のように与えられる。 $${\displaystyle \Theta =\sum _{k=1}^{n}x_{k}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}.}$$

1変数の場合と同様に、 Θの固有空間は同次関数の空間である。（オイラーの同次関数定理）

一般的な数学の慣例に従い、微分演算子の引数は通常、演算子自体の右側に置かれます。場合によっては、別の表記法が使用されることもあります。演算子の左側の関数と右側の関数に演算子を適用した結果、および両側の関数に微分演算子を適用して得られる差分は、次のように矢印で表されます。

${\displaystyle f{\overleftarrow {\partial _{x}}}g=g\cdot \partial _{x}f}$

${\displaystyle f{\overrightarrow {\partial _{x}}}g=f\cdot \partial _{x}g}$

${\displaystyle f{\overleftrightarrow {\partial _{x}}}g=f\cdot \partial _{x}g-g\cdot \partial _{x}f.}$

このような双方向矢印表記は、量子力学における確率流を記述する際によく用いられる。

線形微分演算子が与えられた場合${\displaystyle T}$$${\displaystyle Tu=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(x)D^{k}u}$$この演算子の随伴 演算子は、演算子として定義されます。${\displaystyle T^{*}}$そのため $${\displaystyle \langle Tu,v\rangle =\langle u,T^{*}v\rangle }$$ 表記法${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$これはスカラー積または内積に使用されます。したがって、この定義はスカラー積（または内積）の定義に依存します。

微分は線形である、つまり

${\displaystyle D(f+g)=(Df)+(Dg),}$

${\displaystyle D(af)=a(Df),}$

ここで、fとgは関数であり、aは定数である。

関数係数を持つDの任意の多項式も微分演算子である。微分演算子は次の規則によって合成できる。

${\displaystyle (D_{1}\circ D_{2})(f)=D_{1}(D_{2}(f)).}$

ここで注意が必要です。まず、演算子D _{2の関数係数は、} D ₁の適用に必要な回数だけ微分可能でなければなりません。このような演算子の環を得るには、使用される係数のすべての階数の導関数を仮定する必要があります。次に、この環は可換ではありません。一般に、演算子gD はDgと同じではありません。例えば、量子力学の基本関係として、次の関係があります。

${\displaystyle Dx-xD=1.}$

対照的に、定数係数を持つDの多項式である演算子の部分環は可換である。別の言い方をすれば、それは並進不変演算子から構成される。

微分演算子もシフト定理に従う。

微分幾何学および代数幾何学では、 2 つのベクトル束間の微分作用素の座標に依存しない記述があると便利な場合が多い。EとF を微分可能多様体M上の 2 つのベクトル束とする。切断のR線形写像P : Γ( E ) → Γ( F )は、ジェット束J ^k ( E )を介して因数分解される場合、k階線形微分作用素と呼ばれる。言い換えれば、ベクトル束の線形写像が存在する。 

${\displaystyle i_{P}:J^{k}(E)\to F}$

そのため

${\displaystyle P=i_{P}\circ j^{k}}$

ここで、j ^k : Γ( E ) → Γ( J ^k ( E ))は、 Eの任意のセクションにそのk -ジェットを関連付ける延長です。

これは、 Eの特定のセクションsに対して、点x ∈ MにおけるP ( s )の値は、xにおけるsのk次無限小挙動によって完全に決定されることを意味します。特に、これはP ( s )( x ) がxにおけるsの芽によって決定されることを意味し、これは微分作用素が局所的であると言うことで表現されます。基礎的な結果として、逆もまた真であることを示すPeetre の定理があります。つまり、任意の (線形) 局所作用素は微分作用素です。  

• フリード、ダニエル・S. (1987)、『ディラック演算子の幾何学』、p.  8、CiteSeerX 10.1.1.186.8445 
• Hörmander、L. (1983)、線形偏微分演算子 I の分析、Grundl。数学。 Wissenschaft.、vol.  256、スプリンガー、土井：10.1007/978-3-642-96750-4、ISBN 3-540-12104-8MR 0717035​ 。
• シャピラ、ピエール (1985)。複雑な領域の微小差動システム。 Grundlehren der mathematischen Wissenschaften。 Vol.  269. スプリンガー。土井：10.1007/978-3-642-61665-5。ISBN 978-3-642-64904-2。
• Wells, RO (1973), Differential analysis on complex manifolds , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90419-0。

• Fedosov, Boris; Schulze, Bert-Wolfgang; Tarkhanov, Nikolai (2002). "楕円コーナー演算子の解析的インデックス公式" . Annales de l'Institut Fourier . 52 (3): 899–982 . doi : 10.5802/aif.1906 . ISSN 1777-5310 . 
• https://mathoverflow.net/questions/451110/reference-request-inverse-of-differential-operators

• ウィキメディア・コモンズにある微分演算子に関するメディア
• 「微分作用素」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]