ガウス相関不等式

ガウス相関不等式（GCI）は、以前はガウス相関予想（GCC）として知られていた数学定理であり、数理統計学および凸幾何学の分野における数学定理である。

ガウス相関不等式は次のように表される。

させて${\displaystyle \mu }$n次元ガウス確率測度である$\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$つまり${\displaystyle \mu }$原点を中心とする多変量正規分布。すると、すべての凸集合に対して${\displaystyle E,F\subset \mathbb {R} ^{n}}$原点に関して対称である、

${\displaystyle \mu (E\cap F)\geq \mu (E)\cdot \mu (F).}$

n = 2の簡単な例として、ダーツがボードに投げられ、着地地点が原点を中心とする 2 変数正規分布に従って平面上に分布している状況を考えてみましょう。（これは、どのダーツプレイヤーに対しても妥当な仮定であり、異なるプレイヤーは異なる正規分布で表されます。）ここで、原点を中心とする平面上の円と長方形を考えると、両方の図形の交点に着地するダーツの割合は、それぞれの図形に着地するダーツの割合の積以上になります。これは条件付き確率で定式化することもできます。最後のダーツが長方形に当たったと知らされた場合、この情報は、ダーツが円に当たった確率の推定値を増加させます。

この不等式の特殊なケースは 1955 年に予想されました。^{[ 1 ]} 1958 年にOlive Jean Dunnによってさらに発展しました。^{[ 2 ] [ 3 ]}一般的なケースは 1972 年に予想として述べられました。^{[ 4 ]} n = 2の次元の場合は1977 年に証明され^{[ 5 ]}、その後数年間でより高次元のいくつかの特殊なケースも証明されました。^{[ 6 ]}

この不等式の一般ケースは、2014年にドイツの退職統計学者トーマス・ロイエンが比較的初歩的なツールを用いて証明するまで未解決のままだった。 ^{[ 7 ]}実際には、ロイエンはこの予想を一般化し、多変量ガンマ分布に対して証明した。この証明は、ロイエンの知名度の低さと、この分野では評判の良くない雑誌である『 Far East Journal of Theoretical Statistics』に掲載されたという事実から、2014年に発表された当時は注目を集めなかった。 ^{[ 2 ]}また、過去に（他の研究者による）誤った証明や、この予想を証明しようとした多くの試みが失敗に終わったことが、この分野の数学者の間で懐疑的な見方を生んだ理由の一つでもある。^{[ 2 ]}

この予想とその解決策は、2017年に他の数学者が主流の出版物でロイエンの証明について説明し^{[ 8 ]}、一般メディアがこの話を報道したことで世間の注目を集めた^{[ 2 ] [ 9 ] [ 10 ] 。}

• ジョージ・ローザー著『ガウス相関予想』、「ほぼ確実」