超越数

数学において、超越数とは、代数的ではない実数または複素数、つまり、整数係数（または同等に有理数係数）を持つ非ゼロ多項式の根ではない数のことです。最もよく知られている超越数は $π$ と $e$ です。^[¹^]^[²^]数が超越的であるという性質は超越性と呼ばれます。

超越数の種類はごくわずかしか知られていないが、ある数が超越数であることを示すのは難しい場合があるものの、超越数は珍しいものではない。実際、代数的数は可算数であるのに対し、実数と複素数はほとんどすべて超越数である。 $\mathbb {R}$ ⁠そして複素数 $\mathbb {C}$ それらはどちらも不可算であり、したがって可算集合よりも大きい。

すべての超越実数（実超越数または超越無理数とも呼ばれる）は無理数である。なぜなら、すべての有理数は代数的だからである。^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}逆は真ではない。すべての無理数が超越数であるとは限らない。したがって、実数の集合は、有理数、代数的無理数、および超越実数の重複しない集合から構成される。^{[ 3 ]}例えば、2の平方根は無理数であるが、多項式方程式 $x² - 2 = 0の根であるため、$ 超越数ではない。

歴史

「超越数」という名称は、ラテン語のtrānscendere 「乗り越える、超越する」^[⁷^]に由来し、数学的概念として初めて使用されたのは、ライプニッツが1682 年の論文で $sin$ $x$ $がx$ の代数関数ではないことを証明した時である。^[⁸^] 18 世紀のオイラーはおそらく、現代的な意味で超越数を初めて定義した人物であろう。 ^[⁹^]

ヨハン・ハインリヒ・ランベルトは、 1768年の論文で $πが$ 無理数であることを証明し、 $e$ と $πは$ 両方とも超越数であると推測し、 $π$ が超越数であることの暫定的な概略証明を提案した。^[¹⁰^]

ジョゼフ・リウヴィルは1844年に超越数の存在を初めて証明し^{[ 11 ]} 、1851年にはリウヴィル定数などの最初の十進数の例を示した。

${\begin{aligned}L_{b}&=\sum _{n=1}^{\infty }10^{-n!}\\[2pt]&=10^{-1}+10^{-2}+10^{-6}+10^{-24}+10^{-120}+10^{-720}+10^{-5040}+10^{-40320}+\ldots \\[4pt]&=0.{\textbf {1}}{\textbf {1}}000{\textbf {1}}00000000000000000{\textbf {1}}0000000000000000000000000000000000000000000000000000000\ \ldots \end{aligned}}$

小数点以下の $n$ 桁目は、 $n$ = $k$ $!$ ( $k の$ 階乗) の場合に1 $となり、それ以外の場合は$ $0$ $と$ なる。^[¹²^]言い換えれば、この数の $n$ 桁目が 1 となるのは、 $n$ が $1! = 1、2! = 2、3! = 6、4! = 24などのいずれかの場合のみである。リウヴィルは、この数が、無理代数的数よりも$ 有理数で近似できる超越数のクラスに属し、このクラスの数はリウヴィル数と呼ばれることを示した。リウヴィルは、すべてのリウヴィル数が超越数であることを示した。^[¹³^]

超越数の存在を証明するために特別に作られたものではないにもかかわらず、超越数が証明された最初の数は、 1873年にシャルル・エルミートによって $e$ とされた。

1874年、ゲオルク・カントールは代数的数は可算であり、実数は非可算であることを証明した。彼はまた、超越数を構成する新しい方法も示した。^{[ 14 ]}代数的数の可算性の証明によって既に示唆されていたが、カントールは実数と同じ数の超越数が存在することを証明する構成も発表した。^{[ a ]} カントールの研究は、超越数の遍在性を確立した。

1882年、フェルディナント・フォン・リンデマンは $π$ が超越数であることを初めて完全に証明した。彼はまず、 $aが$ ゼロでない代数的数であれば $e a$ が超越数であることを証明した。次に、 $e$ $iπ$ $= -1$ は代数的数であるため（オイラーの等式を参照）、 $iπは$ 超越数でなければならない。しかし、 $i$ は代数的数であるため、 $πは超越数でなければならない。このアプローチは$ カール・ワイエルシュトラスによって一般化され、現在ではリンデマン・ワイエルシュトラスの定理として知られている $。π$ の超越性は、コンパスと定規のみを用いた幾何学的作図では、例えば円積問題のような特定の結果を得ることができないことを意味する。

1900年、デイヴィッド・ヒルベルトは超越数に関する問題、ヒルベルトの第7問題を提起した。すなわち、 $a$ が0でも1でもない代数的数であり、 $b$ が無理数的数である場合、 $a b$ は必ず超越数となるか、という問題である。肯定的な答えは1934年にゲルフォンド・シュナイダーの定理によって与えられた。この研究は1960年代にアラン・ベイカーによって、任意の数の対数（代数的数）の線形形式の下限に関する研究で拡張された。 ^{[ 16 ]}

物件

超越数とは、整数多項式の根ではない（複素数である場合もある）数のことです。すべての実超越数は無理数でなければなりません。なぜなら、すべての有理数は次数1の整数多項式の根だからです。 ^{[ 17 ]}超越数の集合は非可算無限です。有理係数を持つ多項式は可算であり、そのような多項式はそれぞれ有限個の零点を持つため、代数的数も可算でなければなりません。しかし、カントールの対角線論法は、実数（したがって複素数も）が非可算であることを証明しています。実数は代数的数と超越数の和集合であるため、両方の部分集合が可算であることは不可能です。このため、超越数は非可算になります。

有理数は超越数ではなく、すべての実数超越数は無理数である。無理数には、すべての実数超越数と、二次無理数やその他の形式の代数的無理数を含む、代数的数の部分集合が含まれる。

定数でない一変数代数関数を超越引数に適用すると、超越値が得られます。たとえば、 $π$ が超越数であることを知っていれば、次のような数も超越数であることがすぐにわかります。 $5\pi$ 、 ${\tfrac {\pi -3}{\sqrt {2}}}$ 、 $\displaystyle (\sqrt \pi - \sqrt 3)^8$ 、そして ${\sqrt[{4}]{\pi ^{5}+7}}$ それらは超越論的でもある。

しかし、複数の変数の代数関数を超越数に適用した場合、これらの数が代数的に独立でない場合は、代数的な数が得られることがあります。たとえば、 $π$ と $(1 - π)$ はどちらも超越数ですが、 $π + (1 - π) = 1$ は超越数ではありません。たとえば、 $e + π$ が超越数かどうかは不明ですが、 $e + π$ と $eπ$ の少なくとも一方は超越数でなければなりません。より一般的には、任意の 2 つの超越数 $a$ と $bに対して、$ $a + b$ と $ab$ の少なくとも一方は超越数でなければなりません。これを確認するには、多項式 $(x - a)(x - b) = x 2 - (a + b) x + ab$ を考えます。 $(a + b)$ と $ab$ が両方とも代数的であれば、これは代数係数を持つ多項式になります。代数的数は代数的に閉じた体を形成するため、これは多項式の根である $a$ と $b$ が代数的数でなければならないことを意味する。しかし、これは矛盾であり、したがって、少なくとも一方の係数が超越数でなければならない。

計算不可能な数は、超越数の厳密な部分集合である。

リウヴィル数はすべて超越数ですが、その逆は必ずしも成り立ちません。リウヴィル数は、単純連分数展開において、必ず無限大の部分商を持ちます。数え上げの議論を用いると、部分商が有限である超越数が存在し、したがってリウヴィル数ではないことが示せます。

$e$ の明示的な連分数展開を用いると、 $e は$ リウヴィル数ではないことが示せる(ただし、その連分数展開の部分商は有界ではない)。クルト・マーラーは1953 年に、 $π$ もリウヴィル数ではないことを示した。有界項を持ち、「単純な」構造を持ち、最終的に周期的ではないすべての無限連分数は超越数であると推測されている^{[ 18 ]} (言い換えれば、少なくとも 3 次多項式の代数的無理根は、最終的に周期的な連分数が 2 次無理数に対応するため、連分数展開に明らかなパターンを持たない。エルミートの問題を参照)。

超越的であることが証明された数

超越数であることが証明された数：

$π$ (リンデマン・ワイエルシュトラスの定理による)。
$e^{a}$ $a が$ 代数的かつゼロでない場合(リンデマン-ワイエルシュトラスの定理による)、特にオイラー数 $e$ 。
$e^{\pi {\sqrt {n}}}$ ここで $n$ は正の整数である。特にゲルフォンド定数 $e^{\pi }$ （ゲルフォンド・シュナイダーの定理による）。
$π$ と $e^{\pi {\sqrt {n}}},n\in \mathbb {Z} ^{+}$ のような $\displaystyle \pi +e^{\pi }}$ そして $\displaystyle \pi e^{\pi }}$ （それらの代数的独立性から導かれる）。^{[ 19 ]}
$a^{b}$ ここで、 $a$ は代数的数であるが0または1ではなく、 $b$ は無理数的数、特にゲルフォンド・シュナイダー定数である。 $\displaystyle 2^{\sqrt {2}}}$ （ゲルフォンド＝シュナイダーの定理による）。
$対数関数のどの分岐に対しても、 a が$ 代数的で 0 または 1 に等しくない場合の自然対数 $ln(a)$ は (リンデマン-ワイエルシュトラスの定理により) となります。
$\log _{b}(a)$ $a$ と $b$ が正の整数であり、両方とも同じ整数のべき乗ではなく、 $aが$ 1に等しくない場合（ゲルフォンド・シュナイダーの定理による）。
すべての数字 $\pi +\beta _{1}\ln(a_{1})+\cdots +\beta _{n}\ln(a_{n})$ 超越論的である、 $\displaystyle \beta _{j}}$ すべての $1\leq j\leq n$ そして $a_{j}$ すべての $1\leq j\leq n$ （ベイカーの定理による）。

任意のゼロでない代数的数 $x$ に対する三角関数 $sin(x) 、cos(x)$ およびそれらの双曲線版は、ラジアンで表されます(リンデマン-ワイエルシュトラスの定理による)。
任意の代数的数 $xに対する$ 逆三角関数 $arcsin(x)、arccos(x)$ およびそれらの双曲線版の非ゼロの結果(リンデマン-ワイエルシュトラスの定理による)。
$\displaystyle \pi ^{-1}{\arctan(x)}}$ 有理数 $x$ に対して、 $x\notin \{0,\pm {1}\}$ [ ²⁰^]
ドッティ数 $d$ （コサイン関数の不動点） – 方程式の唯一の実数解 $\cos(x)=x$ ここで、 $x$ はラジアン単位である（リンデマン・ワイエルシュトラスの定理による）。^{[ 21 ]}
$W(a)$ $a が$ 代数的でゼロでない場合、ランベルト W 関数の任意の分岐(リンデマン-ワイエルシュトラスの定理により)、特にオメガ定数 $Ω$ について。
$W(r,a)$ $a$ と順序 $r$ の両方が代数的である場合、 $a\neq 0$ 一般化ランベルトW関数の任意の分岐について。^{[ 22 ]}
${\sqrt {x}}_{s}$ 任意の自然数の平方根は、整数か超越数のいずれかである（ゲルフォンド・シュナイダーの定理による）。
有理数のガンマ関数の値で、次の形式をとるもの $\Gamma (n/2),\Gamma (n/3),\Gamma (n/4)$ または $\Gamma (n/6)$ [ ²³^]
$π$ と $\Gamma (1/3)$ または $π$ と $\Gamma (1/4)$ 例えばレムニスケート定数 $\varpi$ （それぞれの代数的独立性から導かれる）。^{[ 19 ]}
ベータ関数の値 $\mathrm {B} (a,b)$ もし $a,b$ そして $a+b$ は非整数有理数である。^{[ 24 ]}
第一種ベッセル関数 $J_{\nu }(x)$ 、その1階微分、および商 ${\tfrac {J'_{\nu }(x)}{J_{\nu }(x)}}$ $ν$ が有理数で $xが$ 代数的かつ非ゼロの場合、超越的である^{[ 25 ]}、そしてすべての非ゼロ根 $J_{\nu }(x)$ そして $J'_{\nu }(x)$ $ν$ が有理数の場合、超越数となる。^{[ 26 ]}
番号 ${\tfrac {\pi }{2}}{\tfrac {Y_{0}(2)}{J_{0}(2)}}-\gamma$ 、どこ $Y_{\alpha }(x)$ そして $J_{\alpha }(x)$ はベッセル関数であり、 $γは$ オイラー・マスケローニ定数である。^{[ 27 ]}^{[ 28 ]}
正の偶数引数におけるフィボナッチゼータ関数の値。 ^{[ 29 ]}
任意のリウヴィル数、特にリウヴィル定数 $\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{10^{k!}}}$ 。
無理数とは、2より大きい数を指す。例えば、チャンパーノウン定数など。 $C_{10}$ そして、カヘン定数（ロスの定理による）。
人為的に代数周期にならないように作られた数。^{[ 30 ]}
計算不可能な数値、特にチャイティン定数。
任意の基数において単純に正規ではない無理数を構築した。 ^{[ 31 ]}
ある固定基数に関して、桁がシュトゥルム語を形成するような任意の数。^{[ 32 ]}
Prouhet –Thue–Morse定数^{[ 33 ]}および関連するウサギ定数^{[ 34 ]}
コモルニク・ロレッティ定数。^{[ 35 ]}
紙折り定数（「ガウス・リウヴィル数」とも呼ばれる）。^{[ 36 ]}
Y. GaoとJ. Gaoによって定義された収束速度の速い無限級数の値、例えば、 $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3^{n}}{2^{3^{n}}}}$ [ ³⁷^]
任意の数の $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{n}(\beta ^{r^{n}})}{F_{n}(\beta ^{r^{n}})}}$ （どこ $E_{n}(z)$ 、 $F_{n}(z)$ 変数に関する多項式である $n$ そして $z$ 、 $\beta$ 代数的であり、 $\beta \neq 0$ 、 $r$ は 1 より大きい任意の整数です。^{[ 38 ]}
形式の数字 $\sum _{k=0}^{\infty }10^{-b^{k}}$ そして $\sum _{k=0}^{\infty }10^{-\left\lfloor b^{k}\right\rfloor }$ $b > 1 の$ 場合、 $b\mapsto \lfloor b\rfloor$ は床関数です。^{[ 11 ]}^{[ 39 ]}^{[ 40 ]}^{[ 41 ]}^{[ 42 ]}^{[ 43 ]}
数字 $\alpha =3.3003300000...$ そして $\alpha ^{-1}=0.3030000030...$ 異なる 2 つの 10 桁のみを持ち、その非ゼロの桁の位置はMoser–de Bruijn 数列とその 2 倍によって与えられる。^{[ 44 ]}
ロジャース・ラマヌジャン連分数の値 $R(q)$ どこ ${q}\in \mathbb {C}$ 代数的であり、 $0<|q|<1$ [ ⁴⁵^]シータ関数のレムニスカ^ティック値 $\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}$ （同じ条件で ${q}$ ）もまた超越論的である。^{[ 46 ]}
$j (q)$ ここで ${q}\in \mathbb {C}$ 代数的であるが虚数二次関数ではない（つまり、この関数の例外集合は、その拡張の次数が $\mathbb {Q}$ 2)です。
定数 $\epsilon _{k}$ そして $\nu _{k}$ ギスウィット数列の最初の出現インデックスの式において、k は 1 より大きい任意の整数である。^{[ 47 ]}

予想された超越数

超越数または代数数であることがまだ証明されていない数：

2 つ以上の超越数の非自明な組み合わせのほとんどは、それ自体が超越数または無理数であるとは知られていません。eπ、 $e$ + $π$ $、 π π$ 、 $e$ ^$e$、 $π e$ 、 $π \sqrt$ 2 $、 e π$ 2。e $+ π と$ $π$ $/$ e の $両方$ $が$ $、$ 次数が $8 以下で平均サイズが 10$ ⁹の整数係数を持つ多項式方程式を満たさないことが示されています。^[⁴⁸^]^[⁴⁹^]数 $e$ $e$ と $e$ $e$ $2$ の少なくとも 1 つは超越数です。^[⁵⁰^]代数的数の体は代数的に閉じており、 $e$ と $π は$ 多項式 $x$ $2$ $- ($ $e$ $+$ $π$ $)$ $x$ $+$ $eπ$ の根であるため、数 $eπ$ と $e$ $+$ $π$ の少なくとも 1 つは超越数です。シャヌエルの予想は、上記のすべての数が超越数であり、代数的に独立であることを示唆している。^[⁵¹^]
オイラー・マスケローニ定数 $γ$ : 2010 年に、オイラー・レーマー定数の無限リスト( $γ /4$ を含む) には代数的数が最大で 1 つしか含まれないことが示されました。^{[ 52 ]}^{[ 53 ]} $2012 年に、 γ$ とゴンペルツ定数 $δ$ の少なくとも一方が超越数であることが示されました。^{[ 54 ]}
奇数の正の整数におけるリーマンゼータ関数 $ζ (n)$ の値 $n\geq 3$ 特に、アペリー定数 $ζ (3)$ は無理数であることが知られています。他の数 $ζ (5)、 ζ (7)、 ζ (9)、...$ については、これも知られていません。任意の非負整数 $k$ に対して、数 $ζ (4 k +3)$ と $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{4k+3}(e^{2\pi n}-1)}}$ 超越論的である。^{[ 55 ]}
偶数の正の整数におけるディリクレベータ関数 $β (n)$ の値 $n\geq 2$ ;特にカタラン定数 $β (2)$ 。(これらのどれも無理数であるとは知られていない。) ^{[ 56 ]}
正の整数に対するガンマ関数 $Γ (1/ n)$ の値 $n=5$ そして $n\geq 7$ それらは非合理的であるとは知られておらず、ましてや超越的であるとは知られていない。^{[ 57 ]}^{[ 55 ]} $n\geq 2$ 少なくとも $Γ(1/ n)$ と $Γ(2/ n)$ のどちらか一方は超越数である。^{[ 24 ]}
明らかに代数的ではない何らかの極限によって与えられる任意の数。^{[ 55 ]}

特定の数値の証明

$e$ が超越関数であることの証明

自然対数の底である $e$ が超越数であるという最初の証明は1873 年になされました。ここでは、シャルル・エルミートの元の証明を簡略化したダヴィッド・ヒルベルト(1862–1943)の戦略に従います。そのアイデアは次のとおりです。

矛盾を見つける目的で、 $eが代数的であると仮定する。すると$ $、$ 次の式を満たす有限個の整数係数 $c₀, c₁, ..., cₙ が存在する。$ $c_{0}+c_{1}e+c_{2}e^{2}+\cdots +c_{n}e^{n}=0,\qquad c_{0},c_{n}\neq 0~.$ $これらの係数が無理数e$ のべき乗を掛けると整数値になるので、その性質を利用するのは難しいですが、それらのべき乗を「ほとんど」整数値をとる積分に取り込むことができます。正の整数 $k$ に対して、次の多項式を定義します。 $f_{k}(x)=x^{k}\left[(x-1)\cdots (x-n)\right]^{k+1},$ そして上記の式の両辺に $\int _{0}^{\infty }f_{k}(x)\,e^{-x}\,\mathrm {d} x\ ,$ 方程式にたどり着くために： $c_{0}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)+c_{1}e\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)=0~.$

それぞれの積分領域を分割することにより、この方程式は次の形式で記述できます。 $P+Q=0$ どこ ${\begin{aligned}P&=c_{0}\left(\int _{0}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)+c_{1}e\left(\int _{1}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)+c_{2}e^{2}\left(\int _{2}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{n}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)\\Q&=c_{1}e\left(\int _{0}^{1}f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)+c_{2}e^{2}\left(\int _{0}^{2}f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)+\cdots +c_{n}e^{n}\left(\int _{0}^{n}f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x\right)\end{aligned}}$ ここで $Pは$ 整数になるが、さらに重要なのは $k$ とともに急速に増加するということである。

補題１

$任意の大きさのk$ が存在し、 $\ {\tfrac {P}{k!}}\$ はゼロ以外の整数です。

証明。標準積分（ガンマ関数の場合）を思い出してください。 $\int _{0}^{\infty }t^{j}e^{-t}\,\mathrm {d} t=j!$ 任意の自然数に対して有効 $j$ より一般的には、

もし

g(t)=\sum _{j=0}^{m}b_{j}t^{j}

それから

\int _{0}^{\infty }g(t)e^{-t}\,\mathrm {d} t=\sum _{j=0}^{m}b_{j}j!

。

これにより、計算が可能になります $P$ まさにその通り、なぜなら $P$ 次のように書き換えることができます $c_{a}e^{a}\int _{a}^{\infty }f_{k}(x)e^{-x}\,\mathrm {d} x=c_{a}\int _{a}^{\infty }f_{k}(x)e^{-(x-a)}\,\mathrm {d} x=\left\{{\begin{aligned}t&=x-a\\x&=t+a\\\mathrm {d} x&=\mathrm {d} t\end{aligned}}\right\}=c_{a}\int _{0}^{\infty }f_{k}(t+a)e^{-t}\,\mathrm {d} t$ 変数変換によって。したがって $P=\sum _{a=0}^{n}c_{a}\int _{0}^{\infty }f_{k}(t+a)e^{-t}\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{\infty }{\biggl (}\sum _{a=0}^{n}c_{a}f_{k}(t+a){\biggr )}e^{-t}\,\mathrm {d} t$ 後者の和は、 $t$ 整数係数を持つ、つまりべき乗の線形結合である $t^{j}$ 整数係数を持つ。したがって、その数は $P$ これは、階乗の線形結合（同じ整数係数を持つ）です。 $j!$ ; 特に $P$ 整数です。

より小さい階乗はより大きな階乗を割り切るので、最小の $j!$ その線形結合で発生する事象は、全体の $P$ それは理解しています $j!$ 最低電力から $t^{j}$ 係数がゼロでない項 $\textstyle \sum _{a=0}^{n}c_{a}f_{k}(t+a)$ しかし、この最小の指数は $j$ また、多重性も $t=0$ この多項式の根として。 $f_{k}(x)$ 多重度を持つように選択されています $k$ 根の $x=0$ そして多重性 $k+1$ 根の $x=a$ のために $a=1,\dots ,n$ 最小の指数は $t^{k}$ のために $f_{k}(t)$ そして $t^{k+1}$ のために $f_{k}(t+a)$ と $a>0$ 。したがって $k!$ 分ける $P$ 。

補題の最後の主張を確立するために、 $P$ がゼロでない場合、次のことを証明すれば十分である。 $k+1$ 割り切れない $P$ そのためには、 $k+1$ より大きい任意の素数 $n$ そして $|c_{0}|$ 上記から、 $(k+1)!$ それぞれを分割します $\textstyle c_{a}\int _{0}^{\infty }f_{k}(t+a)e^{-t}\,\mathrm {d} t$ のために $1\leqslant a\leqslant n$ 、特にそれらはすべてで割り切れる $k+1$ 結局は最初の項に行き着く。 $\textstyle c_{0}\int _{0}^{\infty }f_{k}(t)e^{-t}\,\mathrm {d} t$ （下降階乗と上昇階乗を参照） $f_{k}(t)=t^{k}{\bigl [}(t-1)\cdots (t-n){\bigr ]}^{k+1}={\bigl [}(-1)^{n}(n!){\bigr ]}^{k+1}t^{k}+{\text{higher degree terms}}$ そして、それらの高次の項はすべて階乗を生み出す。 $(k+1)!$ またはそれ以上。したがって $P\equiv c_{0}\int _{0}^{\infty }f_{k}(t)e^{-t}\,\mathrm {d} t\equiv c_{0}{\bigl [}(-1)^{n}(n!){\bigr ]}^{k+1}k!{\pmod {(k+1)}}$ 右辺は、素数より小さい非ゼロの整数因子の積である。 $k+1$ したがって、その積はで割り切れません $k+1$ 、そして、 $P$ ; 特に $P$ ゼロであってはならない。

補題２

$k$ が十分に大きい場合、 $\left|{\tfrac {Q}{k!}}\right|<1$ 。

証明。注意：

${\begin{aligned}f_{k}e^{-x}&=x^{k}\left[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)\right]^{k+1}e^{-x}\\&=\left(x(x-1)\cdots (x-n)\right)^{k}\cdot \left((x-1)\cdots (x-n)e^{-x}\right)\\&=u(x)^{k}\cdot v(x)\end{aligned}}$

ここで $、u (x)、 v (x)はすべての$ $x$ に対して $x$ の連続関数であるため、区間 $[0,$ $n$ $]$ 上で有界である。つまり、定数 $G$ $、$ $H$ $> 0$ が存在し、

$\ \left|f_{k}e^{-x}\right|\leq |u(x)|^{k}\cdot |v(x)|<G^{k}H\quad {\text{ for }}0\leq x\leq n~.$

$したがって、 Q$ を構成する各積分は有界であり、最悪の場合は次のようになる。

$\left|\int _{0}^{n}f_{k}e^{-x}\ \mathrm {d} \ x\right|\leq \int _{0}^{n}\left|f_{k}e^{-x}\right|\ \mathrm {d} \ x\leq \int _{0}^{n}G^{k}H\ \mathrm {d} \ x=nG^{k}H~.$

合計 $Q$ についても上限を設けることが可能になった。

$|Q|<G^{k}\cdot nH\left(|c_{1}|e+|c_{2}|e^{2}+\cdots +|c_{n}|e^{n}\right)=G^{k}\cdot M\ ,$

ここで、 $Mは$ $k$ に依存しない定数である。したがって、

$\ \left|{\frac {Q}{k!}}\right|<M\cdot {\frac {G^{k}}{k!}}\to 0\quad {\text{ as }}k\to \infty \ ,$

この補題の証明を完了する。

結論

$両方の補題を満たすk$ の値を選択すると、ゼロでない整数が得られる。 $\left({\tfrac {P}{k!}}\right)$ 極めて少量に添加 $\left({\tfrac {Q}{k!}}\right)$ ゼロに等しいこと：これは不可能である。したがって、 $eが$ 整数係数の多項式方程式を満たすことができるという当初の仮定も不可能である。つまり、 $e$ は超越関数である。

$π$ の超越

リンデマンの当初の手法とは異なるものの、同様の戦略を用いて、 $π$ が超越数であることを示すことができる。eの証明と同様に、ガンマ関数やいくつかの推定値に加えて $、$ 対称多項式に関する事実が証明において重要な役割を果たす。

$π$ と $e$ の超越性の証明に関する詳細については、参考文献および外部リンクを参照してください。

注記

↑ カントールの構成法は、超越数の集合と実数の集合との間に一対一の対応関係を構築する。この記事では、カントールは無理数の集合にのみその構成法を適用している。 ^{[ 15 ]}

参考文献

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超越数

歴史

物件

超越的であることが証明された数

予想された超越数

特定の数値の証明

$e$ が超越関数であることの証明

補題１

補題２

結論

$π$ の超越

関連項目

注記

参考文献

情報源

外部リンク

関連するトピック

数学

代数的

で

複素数

歴史

物件

超越的であることが証明された数

予想された超越数

特定の数値の証明

eが超越関数であることの証明

補題１

補題２

結論

πの超越

関連項目

注記

参考文献

情報源

外部リンク

関連するトピック

数学

代数的

で

複素数

$e$ が超越関数であることの証明

$π$ の超越