ベクターバンドル

数学において、ベクトル束は、別の空間によってパラメータ化されたベクトル空間の族の概念を厳密に定義する位相的構成である。${\displaystyle X}$（例えば${\displaystyle X}$（位相空間、多様体、または代数多様体である可能性がある）：すべての点に対して${\displaystyle x}$空間の${\displaystyle X}$ベクトル空間を関連付ける（または「添付する」）${\displaystyle V(x)}$これらのベクトル空間が組み合わさって、同じ種類の別の空間を形成するようにする。${\displaystyle X}$（例えば位相空間、多様体、または代数多様体）上のベクトル束と呼ばれる。${\displaystyle X}$。

最も単純な例は、ベクトル空間の族が一定である場合、つまり固定されたベクトル空間が存在する場合である。${\displaystyle V}$そのため${\displaystyle V(x)=V}$すべての人々のために${\displaystyle x}$で${\displaystyle X}$この場合は、${\displaystyle V}$各${\displaystyle x}$で${\displaystyle X}$そしてこれらのコピーが組み合わさってベクターバンドルを形成する${\displaystyle X\times V}$以上${\displaystyle X}$このようなベクトル束は自明であると言われます。より複雑な（そして典型的な）例としては、滑らかな（または微分可能な）多様体の接束があります。このような多様体のすべての点に、その点における多様体への接空間を付加します。接束は一般に自明な束ではありません。例えば、球の接束は、毛玉定理により非自明です。一般に、多様体は、その接束が自明である場合に限り、平行化可能であると言われます。

ベクトル束は、ほとんどの場合、局所的に自明であることが求められます。つまり、ベクトル束はファイバー束の例です。また、ベクトル空間は通常、実数または複素数上であることが求められます。この場合、ベクトル束は実ベクトル束または複素ベクトル束（それぞれ）と呼ばれます。複素ベクトル束は、追加の構造を持つ実ベクトル束と見なすことができます。以下では、位相空間のカテゴリーにおける実ベクトル束に焦点を当てます。

実数ベクトル束は以下から構成される。

1. 位相空間${\displaystyle X}$（ベーススペース）と${\displaystyle E}$（総スペース）
2. 連続全射​${\displaystyle \pi :E\to X}$（バンドル射影）
3. すべての${\displaystyle x}$ で${\displaystyle X}$ファイバー上の有限次元実ベクトル空間の構造${\displaystyle \pi ^{-1}(\{x\})}$

以下の互換性条件が満たされる：すべての点について${\displaystyle p}$で${\displaystyle X}$開放的な近隣地域があります${\displaystyle U\subseteq X}$の${\displaystyle p}$自然数${\displaystyle k}$、そして同相写像

$${\displaystyle \varphi :U\times \mathbb {R} ^{k}\to \pi ^{-1}(U)}$$

すべての${\displaystyle x}$で${\displaystyle U}$、

• ${\displaystyle (\pi \circ \varphi )(x,v)=x}$すべてのベクトルについて${\displaystyle v}$で${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$、 そして
• 地図${\displaystyle v\mapsto \varphi (x,v)}$ベクトル空間間の線形同型 写像${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$そして${\displaystyle \pi ^{-1}(\{x\})}$。

開放的な近隣地域${\displaystyle U}$同相写像とともに${\displaystyle \varphi }$これはベクトル束の局所自明化と呼ばれます。局所自明化は、マップが局所的に${\displaystyle \pi }$「投影のように見える」${\displaystyle U\times \mathbb {R} ^{k}}$の上${\displaystyle U}$。

すべての繊維${\displaystyle \pi ^{-1}(\{x\})}$は有限次元の実ベクトル空間であり、したがって次元は${\displaystyle k_{x}}$局所自明化は、関数が${\displaystyle x\to k_{x}}$は局所的に一定であり、したがって の各連結成分上で一定である。${\displaystyle X}$。 もし${\displaystyle k_{x}}$定数に等しい${\displaystyle k}$すべてにおいて${\displaystyle X}$、 それから${\displaystyle k}$これはベクトル束のランクと呼ばれ、${\displaystyle E}$ランクのベクトル束であると言われている${\displaystyle k}$多くの場合、ベクトル束の定義にはランクが適切に定義されていることが含まれるため、${\displaystyle k_{x}}$は定数です。ランク 1 のベクトル束は線束と呼ばれ、ランク 2 のベクトル束はあまり一般的ではありませんが平面束と呼ばれます。

デカルト積${\displaystyle X\times \mathbb {R} ^{k}}$投影装置を装備${\displaystyle X\times \mathbb {R} ^{k}\to X}$はランクの自明な束と呼ばれる。${\displaystyle k}$以上${\displaystyle X}$。

遷移関数

ベクトル束が与えられた場合${\displaystyle E\to X}$階級${\displaystyle k}$そして2つの地域${\displaystyle U}$そして${\displaystyle V}$束が自明化する

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{U}\colon U\times \mathbb {R} ^{k}&\mathrel {\xrightarrow {\cong } } \pi ^{-1}(U),\\\varphi _{V}\colon V\times \mathbb {R} ^{k}&\mathrel {\xrightarrow {\cong } } \pi ^{-1}(V)\end{aligned}}}$

合成関数

${\displaystyle \varphi _{U}^{-1}\circ \varphi _{V}\colon (U\cap V)\times \mathbb {R} ^{k}\to (U\cap V)\times \mathbb {R} ^{k}}$

は重なり部分で明確に定義され、

${\displaystyle \varphi _{U}^{-1}\circ \varphi _{V}(x,v)=\left(x,g_{UV}(x)v\right)}$

一部の人にとって${\displaystyle {\text{GL}}(k)}$値関数

${\displaystyle g_{UV}\colon U\cap V\to \operatorname {GL} (k).}$

これらはベクトル束の遷移関数（または座標変換）と呼ばれます。

遷移関数の集合は、次の意味でチェフ・コサイクルを形成する。

${\displaystyle g_{UU}(x)=I,\quad g_{UV}(x)g_{VW}(x)g_{WU}(x)=I}$

すべての人々のために${\displaystyle U,V,W}$その束は満足を些細なものにする${\displaystyle U\cap V\cap W\neq \emptyset }$したがってデータは${\displaystyle (E,X,\pi ,\mathbb {R} ^{k})}$ファイバーバンドルを定義します。${\displaystyle g_{UV}}$指定する${\displaystyle {\text{GL}}(k)}$繊維に対する作用が標準作用である構造群${\displaystyle {\text{GL}}(k)}$。

逆に、繊維束が与えられた場合${\displaystyle (E,X,\pi ,\mathbb {R} ^{k})}$と共に${\displaystyle {\text{GL}}(k)}$コサイクルがファイバーに標準的な方法で作用する${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$そこにはベクトル束が関連付けられています。これはベクトル束に関するファイバー束構成定理の一例であり、ベクトル束の別の定義として捉えることができます。

サブバンドル

ベクトル束を構築する簡単な方法の1つは、他のベクトル束の部分束を取ることです。${\displaystyle \pi :E\to X}$位相空間上の部分束は、単に位相部分空間である。${\displaystyle F\subset E}$制限事項${\displaystyle \left.\pi \right|_{F}}$の${\displaystyle \pi }$に${\displaystyle F}$与える${\displaystyle \left.\pi \right|_{F}:F\to X}$ベクトル束の構造も同様です。この場合、ファイバー${\displaystyle F_{x}\subset E_{x}}$すべてのベクトル部分空間${\displaystyle x\in X}$。

自明な束の部分束は必ずしも自明である必要はなく、実際、コンパクト空間上のすべての実ベクトル束は、十分に高いランクの自明な束の部分束と見なすことができます。例えば、円上の非自明な線束であるメビウスの帯は、円上のランク2の自明な束の部分束と見なすことができます。

ベクトル束からの射${\displaystyle \pi _{1}:E_{1}\rightarrow X_{1}}$ベクターバンドルへ${\displaystyle \pi _{2}:E_{2}\rightarrow X_{2}}$連続写像のペアによって与えられる${\displaystyle f:E_{1}\rightarrow E_{2}}$そして${\displaystyle g:X_{1}\rightarrow X_{2}}$そのため $${\displaystyle g\circ \pi _{1}=\pi _{2}\circ f}$$

すべての${\displaystyle x}$で${\displaystyle X_{1}}$地図${\displaystyle \pi _{1}^{-1}(\{x\})\rightarrow \pi _{2}^{-1}(\{g(x)\})}$誘発される${\displaystyle f}$これはベクトル空間間の線形写像である。

ご了承ください${\displaystyle g}$によって決定されます${\displaystyle f}$（なぜなら${\displaystyle \pi _{1}}$（全射である）${\displaystyle f}$はgを覆うと言われます。

すべてのベクトル束と束準同型は、圏を形成します。空間が多様体であるベクトル束（束射影が滑らかな写像である）と滑らかな束準同型に限定すると、滑らかなベクトル束の圏が得られます。ベクトル束準同型は、ファイバー束間の束写像の概念の特殊な場合であり、（ベクトル）束準同型と呼ばれることもあります。

束準同型${\displaystyle E_{1}}$に${\displaystyle E_{2}}$逆写像も束準同型である（${\displaystyle E_{2}}$に${\displaystyle E_{1}}$）は（ベクトル）束同型と呼ばれ、${\displaystyle E_{1}}$そして${\displaystyle E_{2}}$は同型ベクトル束であると言われます。 (ランク) の同型性${\displaystyle k}$）ベクターバンドル${\displaystyle E}$以上${\displaystyle X}$些細な束（ランク）と共に${\displaystyle k}$以上${\displaystyle X}$)は、${\displaystyle E}$、 そして${\displaystyle E}$は自明である（または自明化可能である）と言われます。ベクトル束の定義は、任意のベクトル束が局所的に自明であることを示しています。

固定基底空間上のすべてのベクトル束の圏を考えることもできます。${\displaystyle X}$このカテゴリーの射として、基底空間上の写像が恒等写像であるようなベクトル束の射を取る。${\displaystyle X}$すなわち、次の図式が可換となる束射：

（この圏はアーベル圏ではない ことに注意してください。ベクトル束の射の核は、一般に自然な意味ではベクトル束ではありません。）

ベクトル束間のベクトル束射${\displaystyle \pi _{1}:E_{1}\rightarrow X_{1}}$そして${\displaystyle \pi _{2}:E_{2}\rightarrow X_{2}}$地図を覆う${\displaystyle g}$から${\displaystyle X_{1}}$に${\displaystyle X_{2}}$はベクトル束射として見ることもできる${\displaystyle X_{1}}$から${\displaystyle E_{1}}$プルバックバンドルへ${\displaystyle g^{*}E_{2}}$。

ベクトル束π : E → XとXの開集合Uが与えられたとき、U上のπの切断、すなわち、合成関数π ∘ s が U のすべての u に対して ( π ∘ s )( u ) = u となるような連続関数 s : U → E を考えることができます。U上の切断とは、Uのすべての点pに対して、pの上にあるベクトル空間ファイバーからのベクトルを連続的に割り当てることです。例として、微分多様体の接束の切断は、その多様体上のベクトル場と同じです。  

F ( U ) をU上のすべてのセクションの集合とする。F ( U )は常に少なくとも 1 つの要素、すなわちゼロセクションを含む。ゼロセクションとは、 Uのすべての要素xをベクトル空間π ⁻¹ ({ x }) のゼロ要素に写像する関数sである。セクションの点ごとの加算とスカラー乗算により、F ( U ) はそれ自体が実ベクトル空間となる。これらのベクトル空間の集合は、X上のベクトル空間の層である。

s がF ( U )の要素であり、f  : U → Rが連続写像である場合、それらの積 f s (点ごとのスカラー乗算) はF ( U ) に含まれます。これは、 F ( U ) がU上の連続実数値関数の環上の加群であることを示しています。さらに、O _{X が}X上の連続実数値関数の構造層を表す場合、F はO _X加群の層になります。

すべての O _X加群の層がこのようにベクトル束から生じるわけではなく、局所的に自由な加群のみがそうである。（その理由は、局所的には射影U × R ^k → Uの切断を探しているからである。これらはまさに連続関数U → R ^kであり、そのような関数は連続関数U → Rのk組である。）

さらに、X上の実ベクトル束の圏は、 O _X加群の局所的に自由で有限生成な層の圏と同等である。

したがって、 X上の実ベクトル束の圏はO _X加群の層の圏の中に含まれていると考えることができます。この後者の圏はアーベル圏なので、ここでベクトル束の射の核と余核を計算することができます。

ランクn のベクトル束が自明であるのは、それがn個の線形独立な大域的セクションを持つ場合に限る。

ベクトル空間に対するほとんどの演算は、ファイバーごとのベクトル空間演算を実行することによって、ベクトル束に拡張できます。

例えば、E がX上のベクトル束である場合、双対束と呼ばれるX上の束E*が存在し、そのx ∈ Xにおけるファイバーは双対ベクトル空間( E _x )*です。形式的には、 E* は、 x ∈ Xかつ φ ∈ ( E _x )*であるようなペア ( x , φ )の集合として定義できます。双対束は局所的に自明です。なぜなら、Eの局所的自明化の逆の双対空間はE*の局所的自明化だからです。ここで重要な点は、双対ベクトル空間を取る操作が関数的であるということです。

同じ体上のベクトル空間のペアに対して実行できる関数演算は数多くあり、これらは与えられた体上のベクトル束E、Fのペアにも容易に拡張できます。以下にいくつかの例を示します。

• ホイットニー和（ハスラー・ホイットニーにちなんで命名）またはEとFの直和束は、 X上のベクトル束E ⊕ Fであり、そのx上のファイバーはベクトル空間E _xとF _xの直和E _x ⊕ F _xである。
• テンソル積バンドルE ⊗ Fは、ベクトル空間のファイバーごとのテンソル積を用いて同様の方法で定義される。
• HomバンドルHom( E , F ) は、 xにおけるファイバーがE _xからF _xへの線形写像の空間であるベクトルバンドルです(これはしばしば Hom( E _x , F _x ) またはL ( E _x , F _x ) と表記されます)。Homバンドルは、 X上のEからFへのベクトルバンドル準同型とX上のHom( E , F )の切断との間に全単射が存在するため、このように呼ばれ (そして有用です) 。
• 前の例を基に、自己準同型束 Hom( E , E )のセクションsと関数f : X → Rが与えられたとき、線形写像s ( x ): E _x → E _xのf ( x )-固有空間となる固有束(点x ∈ X 上のファイバーを取ることによって)を構成できます。この構成は自然ですが、注意しないと、結果として得られるオブジェクトには局所的な自明化がありません。s がゼロセクションであり、f が孤立したゼロを持つ場合を考えてみましょう。結果として得られる「固有束」のこれらのゼロ上のファイバーは、 Eのこれらのゼロ上のファイバーと同型になりますが、それ以外の場所ではファイバーは自明な 0 次元ベクトル空間になります。
• 双対ベクトル束E*は、 Eと自明な束R × Xの束準同型からなるHom 束 Hom( E , R × X )である。標準的なベクトル束同型 Hom( E , F ) = E* ⊗ Fが存在する。

これらの操作はそれぞれ、ベクトル空間の圏で実行できる多くの操作が、関数的な方法でベクトル束の圏でも実行できるという、束の一般的な特徴の具体的な例です。これは、滑らかな関数の言語で正確に表現されます。性質の異なる操作は、引き戻し束の構成です。ベクトル束E → Yと連続写像f : X → Yが与えられたとき、 EをX上のベクトル束f* E に「引き戻す」ことができます。点x ∈ X上のファイバーは、本質的にf ( x ) ∈ Y上のファイバーです。したがって、Whitney 和E ⊕ Fは、 XからX × Xへの対角写像の引き戻し束として定義でき、X × X上の束はE × Fです。  

注記：X をコンパクト空間とする。X上の任意のベクトル束Eは自明な束の直和因子である。すなわち、E ⊕ E 'が自明となるような束E 'が存在する。Xがコンパクトでない場合、これは成り立たない。例えば、無限実射影空間上のトートロジー線束はこの性質を持たない。^{[ 1 ]}

ベクトル束には、より複雑な構造が与えられることがよくあります。例えば、ベクトル束にはベクトル束計量が与えられることがあります。通常、この計量は正定値である必要があり、その場合、Eの各ファイバーはユークリッド空間になります。複雑な構造を持つベクトル束は、複素ベクトル束に対応します。これは、定義における実ベクトル空間を複素ベクトル空間に置き換え、すべての写像がファイバーに関して複素線形であることを要求することによっても得られます。より一般的には、ベクトル束に課せられた追加の構造は、結果として生じる束の構造群の縮小という観点から理解することができます。より一般的な位相体上のベクトル束も使用できます。

ファイバーFを有限次元ベクトル空間ではなくバナッハ空間とすると、バナッハ束が得られる。^{[ 2 ]}具体的には、各ファイバー上で局所自明化がバナッハ空間同型（単なる線形同型ではなく）であり、さらに遷移が

${\displaystyle g_{UV}\colon U\cap V\to \operatorname {GL} (F)}$

これらはバナッハ多様体の連続写像である。C ^pバンドルに対応する理論では、すべての写像が C ^pであることが要求される。

ベクトル束は特殊なファイバー束であり、そのファイバーがベクトル空間であり、かつそのコサイクルがベクトル空間の構造を尊重するものである。より一般的なファイバー束も構築可能であり、そのファイバーは他の構造を持つ場合もある。例えば、球束は球によってファイバー化される。

ベクトル束 ( E、p、M ) は、EとMが滑らかな多様体であり、 p: E → Mが滑らかな写像であり、局所自明化が微分同相写像である場合に滑らかである。必要な滑らかさの度合いに応じて、 C ^p束、無限微分可能なC ^∞束、実解析的C ^ω束のさまざまな対応する概念がある。このセクションでは、 C ^∞束に焦点を当てる。C ^∞ベクトル束の最も重要な例は、C ∞^多様体Mの接束( TM、π _TM、M )である。

滑らかなベクトル束は、上記のように、自明化チャートUとVの重なり部分で滑らかな関数となる遷移関数を持つという事実によって特徴付けられます。つまり、ベクトル束E は、任意の 2 つのそのような集合UとVに対して、遷移関数が自明化開集合による被覆を持ち、

${\displaystyle g_{UV}:U\cap V\to \operatorname {GL} (k,\mathbb {R} )}$

は行列群GL(k, R )への滑らかな関数であり、これはリー群である。

同様に、遷移関数が次のようになっている場合：

• C ^rの場合、ベクトルバンドルはC ^rベクトルバンドルです。
• 実解析的である場合、ベクトル束は実解析的ベクトル束になります（これは行列群が実解析的構造を持つ必要があることを意味します）。
• 正則である場合、ベクトル束は正則ベクトル束になります（これは行列群が複素リー群である必要があることを意味します）。
• 代数関数の場合、ベクトル束は代数ベクトル束になります（これは行列群が代数群である必要があることを意味します）。

C ^∞ベクトル束 ( E , p , M ) は、より一般的なC ^∞ファイバー束にはない非常に重要な特性を持っています。すなわち、任意のv ∈ E _xにおける接空間T _v ( E _x ) は、ファイバーE _x自体と自然に同一視できます。この同一視は、次のように定義される垂直リフトvl _v : E _x → T _v ( E _x )によって得られます。

${\displaystyle \operatorname {vl} _{v}w[f]:=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}f(v+tw),\quad f\in C^{\infty }(E_{x}).}$

垂直リフトは、自然なC ^∞ -ベクトル束同型p*E → VEとしても見なすことができる。ここで、( p*E , p*p , E ) は、 p : E → Mを介してE上の( E , p , M )の引き戻し束であり、VE := Ker( p _* ) ⊂ TEは垂直接束であり、全空間Eの接束 ( TE , π _TE , E ) の自然なベクトル部分束である。 

任意の滑らかなベクトル束の全空間Eは、正準ベクトル場として知られる自然なベクトル場V _v  := vl _v vを持ちます。より厳密には、Vは ( TE , π _TE , E )の滑らかな切断であり、リー群作用の無限小生成子として定義することもできます。${\displaystyle (t,v)\mapsto e^{tv}}$ファイバーごとのスカラー乗算によって与えられる。正準ベクトル場V は、滑らかなベクトル束構造を次のように完全に特徴付ける。準備として、X が滑らかな多様体M上の滑らかなベクトル場であり、 x ∈ MでX _x = 0である場合、線形写像は

${\displaystyle C_{x}(X):T_{x}M\to T_{x}M;\quad C_{x}(X)Y=(\nabla _{Y}X)_{x}}$

M上の線形共変微分∇の選択には依存しない。E上の正準ベクトル場V は公理を満たす。

1. Vの流れ ( t , v ) → Φ ^t _V ( v )はグローバルに定義されます。
2. 各v ∈ Vに対して、一意の lim _t→∞ Φ ^t _V ( v ) ∈ Vが存在する。
3. C _v ( V )∘ C _v ( V ) = C _v ( V ) は、V _v = 0 のとき常に成り立つ。
4. Vの零集合は、 Eの滑らかな部分多様体であり、その余次元はC _v ( V )のランクに等しい。

逆に、E が任意の滑らかな多様体であり、V が1〜4 を満たすE上の滑らかなベクトル場である場合、 E上には、その正準ベクトル場がVである一意のベクトル束構造が存在する。

任意の滑らかなベクトル束 ( E、p、M ) に対して、その接線束 ( TE、π _TE、E ) の全空間TEは、自然な二次ベクトル束構造( TE、p _*、TM ) を持ちます。ここで、p _*は、正準射影p : E → Mのプッシュフォワードです。この二次ベクトル束構造におけるベクトル束演算は、元の加算 + : E × E → Eとスカラー乗算 λ : E → Eのプッシュフォワード + _* : T ( E × E ) → TEとλ _* : TE → TEです。

コンパクトハウスドルフ位相空間のK 理論群K ( X )は、複素ベクトル束の同型類[ E ]によるホイットニー和の群演算の下で生成されるアーベル群として定義され、完全列が存在するときはいつでも、という関係が成り立つ。$${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0,}$$ それから $${\displaystyle [B]=[A]+[C]}$$位相的K理論において、KO理論は実ベクトル束を考慮した構成の一種である。コンパクト台を持つK理論や、より高次のK理論群も定義できる。

ラウル・ボットの有名な周期性定理は、任意の空間Xの K 理論は、 Xの二重懸垂であるS ² Xの K 理論と同型であると主張している。

代数幾何学では、スキームX上の連接層からなる K 理論群と、上記の同値関係を持つスキーム上のベクトル束からなる K 理論群を考察する。基礎となるスキームが滑らかであれば、これら 2 つの構成は自然に同型となる。

• "Vector bundle", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Why is it useful to study vector bundles ? on MathOverflow
• Why is it useful to classify the vector bundles of a space ?