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表現論という数学分野では、群表現は、ベクトル空間からベクトル空間自身への全単射線形変換（すなわちベクトル空間自己同型写像​​）を用いて抽象的な群を記述します。特に、群の要素を可逆行列として表現することで、群演算を行列乗算で表すことができます。

化学においては、群表現を用いることで、数学的な群の要素を分子の対称回転や鏡映と関連付けることができる。

群の表現を用いることで、多くの群論的な問題を線形代数の問題に還元することができる。物理学においては、群の表現は、物理系の対称群がその系を記述する方程式の解にどのように影響するかを説明する。

群の表現という用語は、より一般的な意味で、ある数学的対象の変換群としての群の「記述」を意味する場合にも使用されます。より厳密には、「表現」とは、対象の群から自己同型群への準同型写像を意味します。対象がベクトル空間の場合、線形表現が得られます。一般的な概念には実現を用い、表現という用語は線形表現の特殊な場合に限定して用いる人もいます。この記事の大部分は線形表現理論について説明しています。一般化については最後のセクションを参照してください。

群の表現理論は、表現される群の種類に応じていくつかの下位理論に分かれる。これらの理論は細部においてかなり異なっているが、基本的な定義や概念には共通点がある。最も重要な区分は以下のとおりである。

• 有限群―群表現は、有限群の研究において非常に重要なツールです。また、結晶学や幾何学への有限群理論の応用においても現れます。ベクトル空間のスカラー体の特性がpであり、かつp が群の位数を割り切る場合、これをモジュラー表現理論と呼びます。この特殊なケースは、非常に異なる性質を持ちます。詳しくは、「有限群の表現理論」を参照してください。
• コンパクト群または局所コンパクト群—有限群表現論の多くの結果は、群の平均化によって証明されます。これらの証明は、積分の概念が許容できるものであれば、平均を積分に置き換えることで無限群にも適用できます。これは、ハール測度を用いて局所コンパクト群に対して行うことができます。結果として得られる理論は、調和解析の中心的な部分です。ポントリャーギン双対性は、可換群の理論を一般化されたフーリエ変換として記述します。参照:ピーター・ワイルの定理。
• リー群―多くの重要なリー群はコンパクトであるため、コンパクト表現論の結果が適用できます。リー群に特有の他の手法も使用されます。物理学や化学で重要な群のほとんどはリー群であり、その表現論はこれらの分野における群論の応用にとって不可欠です。リー群の表現とリー代数の表現を参照してください。
• 線形代数群（より一般的には アフィン群スキーム） —これらはリー群の類似物ですが、 RやCだけでなく、より一般的な体上で存在します。線形代数群の分類はリー群の分類と非常によく似ており、同じリー代数の族を生み出しますが、その表現はかなり異なり（そして理解もはるかに不十分です）。リー群の研究に用いられる解析的手法は、代数幾何学の手法に置き換える必要があります。代数幾何学では、比較的弱いザリスキ位相が多くの技術的な複雑さを引き起こします。
• 非コンパクト位相群—非コンパクト群のクラスは広範すぎて一般的な表現論を構築することは困難ですが、特定の特殊なケースについては、アドホックな手法を用いて研究が行われてきました。半単純リー群は、コンパクトな場合を基盤とした深い理論を持っています。一方、相補的な可解リー群は、同じ方法では分類できません。リー群の一般理論は、ウィグナーの分類方法を一般化したマッキー理論と呼ばれる一般的な結果を用いて、2種類の半直積を扱います。

表現論は、群が作用するベクトル空間の種類にも大きく依存する。表現は有限次元表現と無限次元表現に区別される。無限次元の場合、空間がヒルベルト空間かバナッハ空間かなど、追加の構造が重要となる。

ベクトル空間が定義される体の種類も考慮する必要があります。最も重要なのは複素数体です。その他の重要なケースとしては、実数体、有限体、p進数体などがあります。一般に、代数的に閉じた体は、そうでない体よりも扱いやすいです。体の標数も重要です。有限群に関する多くの定理は、体の標数が群の位数を割り切らないことを前提としています。

体K上のベクトル空間V上の群Gの表現は、 GからV上の一般線形群GL( V )への群準同型写像である。つまり、表現は写像である。

${\displaystyle \rho \colon G\to \mathrm {GL} \left(V\right)}$

そのため

${\displaystyle \rho (g_{1}g_{2})=\rho (g_{1})\rho (g_{2}),\qquad {\text{すべての }}g_{1},g_{2}\in G について}$

ここで、Vは表現空間と呼ばれ、 Vの次元は表現の次元または次数と呼ばれます。文脈から準同型が明らかな場合は、V自体を表現と呼ぶのが一般的です。

Vが有限次元nの場合、 Vの基底を選択し、GL( V ) をGL( n , K )と同一視するのが一般的です。${\displaystyle n\times n}$体K上の可逆行列。

• Gが位相群であり、Vが位相ベクトル空間である場合、V上のGの連続表現は、Φ( g , v ) = ρ ( g )( v )で定義される適用Φ : G × V → Vが連続であるような表現ρである。 
• 群Gの表現ρの核は、 ρによる像が恒等変換となるGの正規部分群として定義される。

${\displaystyle \ker \rho =\left\{g\in G\mid \rho (g)=\mathrm {id} \right\}.}$

忠実な表現とは、準同型写像G → GL( V )が単射であるような表現のことです。言い換えれば、その核が群の単位元のみからなる自明な部分群 { e } であるような表現のことです。

• 2 つのKベクトル空間VとWが与えられたとき、2 つの表現ρ : G → GL( V )とπ : G → GL( W )の写像(同変写像とも呼ばれる) は、次のような 線形写像α : V → Wである。   

  ${\displaystyle \alpha \circ \rho (g)=\pi (g)\circ \alpha .}$

αが逆同変写像を持つ場合、その写像は表現の同型写像と呼ばれ、表現は同値または同型であると言われる。また、 αがベクトル空間の同型写像である同変写像であることも十分条件である。

複素数を考える${\displaystyle u=e^{2\pi i/3}}$その特性を持つ$u^3=1$セット${\displaystyle C_{3}=\{1,u,u^{2}\}}$乗法に関して巡回群を形成する。この群は表現される。${\displaystyle \rho }$の上${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$提供元:

$\displaystyle \rho \left(1\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \rho \left(u\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&u\\\end{bmatrix}}\qquad \rho \left(u^{2}\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&u^{2}\\\end{bmatrix}}.}$

この表現は忠実である理由は${\displaystyle \rho }$1対1のマップです。

もう一つの表現${\displaystyle C_{3}}$の上${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$前のものと同型である は${\displaystyle \sigma }$提供元:

$\displaystyle \sigma \left(1\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \sigma \left(u\right)={\begin{bmatrix}u&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \sigma \left(u^{2}\right)={\begin{bmatrix}u^{2}&0\\0&1\\\end{bmatrix}}.}$

グループ${\displaystyle C_{3}}$また、忠実に表現されることもあります$\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$による$\displaystyle \tau }$提供元:

$\tau \left(1\right)={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \tau \left(u\right)={\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\\\end{bmatrix}}\qquad \tau \left(u^{2}\right)={\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\\\end{bmatrix}}}$

どこ

${\displaystyle a={\text{Re}}(u)=-{\tfrac {1}{2}},\qquad b={\text{Im}}(u)={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}.}$

可能な表現$\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$巡回置換行列の集合によって与えられる${\displaystyle v}$:

${\displaystyle \upsilon \left(1\right)={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}\qquad \upsilon \left(u\right)={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\\\end{bmatrix}}\qquad \upsilon \left(u^{2}\right)={\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\\\end{bmatrix}}.}$

別の例：

させて${\displaystyle V}$変数に関する複素数上の同次3次多項式の空間とする。${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}.}$

それから${\displaystyle S_{3}}$行動する${\displaystyle V}$3つの変数の順列によって。

例えば、${\displaystyle (12)}$送信する${\displaystyle x_{1}^{3}}$に${\displaystyle x_{2}^{3}}$。

群作用の下で不変なVの部分空間W を部分表現と呼びます。V がちょうど 2 つの部分表現、すなわち 0 次元の部分空間と V 自体を持つ場合、その表現は既約であると言われます。非 0 次元の適切な部分表現を持つ場合、その表現は可約であると言われます。0 次元の表現は、1 が合成数でも素数でもないと考えられているのと同様に、可約でも既約でもないと考えられています^{[ 1 ]}。

体Kの標数が群の大きさを割り切らないという仮定の下では、有限群の表現は既約部分表現の直和に分解できる（マシュケの定理を参照）。これは特に複素数上の有限群の任意の表現に対して成り立つ。なぜなら、複素数の標数はゼロであり、群の大きさを割り切ることは決してないからである。

上記の例では、与えられた最初の 2 つの表現 (ρ と σ) はどちらも 2 つの 1 次元部分表現 (span{(1,0)} と span{(0,1)} で与えられる) に分解できますが、3 番目の表現 (τ) は既約です。

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• フルトン、ウィリアム；ハリス、ジョー（ 1991）。表現論入門。大学院数学テキスト、数学読本、第129巻。ニューヨーク ：シュプリンガー・フェルラーク。doi ：10.1007 /978-1-4612-0979-9。ISBN 978-0-387-97495-8. MR 1153249 . OCLC 246650103 .  表現論入門（リー群に重点を置く）
• ユーリー・I・リュビッチ著『群のバナッハ表現論入門』。1985年ロシア語版（ウクライナ、ハリコフ）からの翻訳。ビルクハウザー出版。1988年。