高さ関数

高さ関数は、数学的対象の複雑さを定量化する関数である。ディオファントス幾何学では、高さ関数はディオファントス方程式の解の大きさを定量化し、通常は代数多様体（または代数多様体の集合）上の点の集合から実数への関数である。^[1]

たとえば、有理数上の古典的または素朴な高さは、通常、座標の分子と分母の最大値（たとえば、座標(3/7, 1/2)の場合は7 ）として定義されますが、対数スケールになります。

高さ関数を使うと、数学者は、本来は無限にある有理点などのオブジェクトを数えることができる。例えば、任意の定数以下の素朴な高さ（分子と分母を最小の項で表したときの最大値）の有理数の集合は、有理数の集合が無限であるにもかかわらず有限である。^{[2]この意味で、高さ関数は、}アラン・ベイカー（1966、1967a、1967b）によって証明された超越数論におけるベイカーの定理などの漸近結果を証明するのに使用できる 。

他の場合には、高さ関数は複雑さに基づいていくつかのオブジェクトを区別することができます。たとえば、Wolfgang M. Schmidt (1972)によって証明された部分空間定理は、射影空間 内の高さが小さい（つまり複雑さが小さい）点は有限個の超平面に存在することを証明し、積分点に関するシーゲルの定理とS 単位方程式の解を一般化します。^[3]

高さ関数は、それぞれヴェイユ （1929）とファルティングスの定理 （1983）の証明において極めて重要であった。代数多様体上の有理点の高さに関する未解決の問題の中には、マニン予想やヴォイタ予想などがあり、ディオファントス近似、ディオファントス方程式、数論幾何学、数理論理学の問題に広範囲にわたる影響を与えている。^{[4] [5]}

高さ関数の初期の形式は、ジャンバッティスタ・ベネデッティ（1563年頃）によって提案されました。彼は、音楽の音程の協和音は分子と分母の積（簡約形式）で測定できると主張しました。ジャンバッティスタ・ベネデッティ§音楽を参照してください。^[要出典]

ディオファントス幾何学における高さは、1920年代初頭にアンドレ・ヴェイユとダグラス・ノースコットによって最初に開発されました。 ^[6] 1960年代の革新は、ネロン・テイト高さと、高さが射影表現と関連していることの認識であり、これは代数幾何学の他の部分における豊富な直線束とほぼ同じです。1970年代には、シュレン・アラケロフがアラケロフ理論でアラケロフ高さを開発しました。^[7] 1983年、ファルティングスはファルティングスの定理の証明でファルティングス高さの理論を開発しました。^[8]

古典的または素朴な高さは、同次座標上の通常の絶対値で定義されます。これは通常対数スケールであるため、「代数的複雑さ」または点を格納するために必要なビット数に比例すると見なすことができます。 ^[2]これは通常、最小公分母を乗じて得られる互いに素な整数のベクトルの最大絶対値の対数として定義されます。これは、 Q上の射影空間の点、または係数のベクトルと見なされる多項式、または代数的数の点の高さを、その最小多項式の高さから定義するために使用できます。^[9]

有理数 x = p / qの単純な高さ（最小の項で）は

• 乗法高さ${\displaystyle H(p/q)=\max\{|p|,|q|\}}$
• 対数高さ: ^[10]${\displaystyle h(p/q)=\log H(p/q)}$

したがって、 4/10の単純な乗法および対数の高さは、たとえば 5とlog(5)です。

y ² = x ³ + Ax + Bで与えられる楕円曲線Eの単純な高さHは、 H(E) = log max(4| A | ³ , 27| B | ² )と定義されます。

ネロン・テイト高さ、または標準高さは、大域体上に定義されたアーベル多様体の有理点のモルデル・ヴェイユ群上の二次形式です。この高さは、これを局所高さの和として最初に定義したアンドレ・ネロン^[11]と、未発表の研究でこれを大域的に定義したジョン・テイト^[12]にちなんで名付けられました。

X を数体K上の射影多様体とする。LをX上の直線束とする。X上のWeil 高さをLに関して次のように 定義する。

まず、L が非常に豊富であると仮定します。大域セクションの空間の基底の選択により、Xから射影空間への射ϕが定義され、X上のすべての点pに対して、 が定義されます 。ここでh は射影空間上の素朴な高さです。^{[13] [14]} XとLを 固定した場合、大域セクションの異なる基底を選択すると が変わりますが、これはpの有界関数によってのみ変わります。したがって、O(1)の関数を追加するまでは は明確に定義されます。 ${\displaystyle \Gamma (X,L)}$${\displaystyle h_{L}(p):=h(\phi (p))}$${\displaystyle h_{L}}$${\displaystyle h_{L}}$

一般に、LをX上の2つの非常に豊富な直線束L1とL2_の差として書き表すことが_でき、これもO(1) まで明確に定義される。^{[13] [14]}${\displaystyle h_{L}:=h_{L_{1}}-h_{L_{2}},}$

代数的数体上の射影空間上のアラケロフ高さは、アルキメデス体上のフビニ・スタディ計量と非アルキメデス体上の通常の計量から得られる局所的な寄与を伴う大域的な高さ関数である。^{[15] [16]}これは、通常のヴェイユ高さに異なる計量が備わっている。^[17]

数体上で定義されたアーベル多様体のファルティングス高さは、その算術的複雑さの尺度です。距離化された直線束の高さで定義されます。これは、ファルティングス(1983) がモーデル予想 の証明で導入しました。

次数nの多項式Pは次 のよ​​うに表される。

${\displaystyle P=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n},}$

高さ H ( P )は、その係数の大きさの最大値として定義される: ^[18]

${\displaystyle H(P)={\underset {i}{\max}}\,|a_{i}|.}$

同様に長さ L ( P )を係数の大きさの合計として定義することもできます。

${\displaystyle L(P)=\sum _{i=0}^{n}|a_{i}|.}$

Pのマーラー測度 M ( P ) はPの複雑さの尺度でもある。^[19] 3つの関数H ( P )、L ( P )、M ( P ) は不等式で関係している。

${\displaystyle {\binom {n}{\lfloor n/2\rfloor }}^{-1}H(P)\leq M(P)\leq H(P){\sqrt {n+1}};}$

${\displaystyle L(p)\leq 2^{n}M(p)\leq 2^{n}L(p);}$

${\displaystyle H(p)\leq L(p)\leq (n+1)H(p)}$

ここで は二項係数です。 ${\displaystyle \scriptstyle {\binom {n}{\lfloor n/2\rfloor }}}$

アデル代数群の一般線型群上の保型形式の定義における条件の1つは中程度の増加であり、これはアフィン多様体として見た一般線型群上の高さ関数の増加に関する漸近条件である。^[20]

既約有理数 x = p / q , q > 0の高さは（この関数はと間の一対一関係を構築するために使用されます）。^[21]${\displaystyle |p|+q}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

• ABC予想
• バーチとスウィナートン・ダイアーの予想
• 楕円レーマー予想
• ヒース・ブラウン・モロズ定数
• 正式なグループ法の高さ
• 高さゼータ関数
• レイノーの等色定理

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• Mathworld の多項式の高さ