怪物のような密造酒

数学において、怪物密造酒、あるいは密造酒理論とは、怪物群 Mとモジュラー関数、特にj関数との間の予期せぬ関係である。最初の数値的観察は1978年にジョン・マッケイによってなされ、この言葉は1979年にジョン・コンウェイとサイモン・P・ノートンによって造られた。 ^{[1] [2] [3]}

モンスター級の密造光は、現在では、イゴール・フレンケル、ジェームズ・レポウスキー、およびアルネ・ミュールマンによって1988 年に構築された、モンスター群を対称群とする密造モジュール(またはモンスター頂点代数) と呼ばれる頂点作用素代数によって基礎付けられていることがわかっています。この頂点作用素代数は、 2 次元共形場理論の基礎となる構造として一般的に解釈され、物理学が 2 つの数学領域の間に橋渡しを行えるようにしています。コンウェイとノートンによってなされた予想は、 1992 年にリチャード・ボルチャーズによって密造モジュールに対して、弦理論のノーゴースト定理と、頂点作用素代数および一般化カッツ・ムーディ代数の理論を使用して証明されました。

1978年、ジョン・マッケイは、正規化されたJ不変量（OEISのシーケンスA014708）のフーリエ展開の最初の数項が、小さな非負の係数を持つモンスター群Mの既約表現（OEIS のシーケンスA001379）の次元の線形結合で表現できることを発見しました。J不変量 は、半周期比としてτとして、M表現は、= 1、196883、21296876、842609326、18538750076、19360062527、293553734298 、 ...とすると、 ${\displaystyle r_{n}}$$${\displaystyle J(\tau )={\frac {1}{q}}+744+196884{q}+21493760{q}^{2}+864299970{q}^{3}+20245856256{q}^{4}+\cdots }$$${\displaystyle {q}=e^{2\pi i\tau }}$${\displaystyle r_{n}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}1&=r_{1}\\196884&=r_{1}+r_{2}\\21493760&=r_{1}+r_{2}+r_{3}\\864299970&=2r_{1}+2r_{2}+r_{3}+r_{4}\\20245856256&=3r_{1}+3r_{2}+r_{3}+2r_{4}+r _{5}=2r_{1}+3r_{2}+2r_{3}+r_{4}+r_{6}\\333202640600&=5r_{1}+5r_{2}+2r_{3}+3r_{ 4}+2r_{5}+r_{7}=4r_{1}+5r_{2}+3r_{3}+2r_{4}+r_{5}+r_{6}+r_{7}\\\end{整列}}}$$

左辺は の係数であり、右辺の整数はモンスター群Mの既約表現 の次元です。(などの間には複数の線形関係が存在する可能性があるため、表現は複数の方法で行うことができます。) ${\displaystyle j(\tau )}$${\displaystyle r_{n}}$${\displaystyle r_{n}}$${\displaystyle r_{1}-r_{3}+r_{4}+r_{5}-r_{6}=0}$

マッケイはこれを、 Mの自然に発生する無限次元の次数付き表現が存在する証拠とみなした。この次数付き表現の次数付き次元はJの係数によって与えられ、その低重み部分は上記のように既約表現に分解される。この観察結果をジョン・G・トンプソンに伝えた後、トンプソンは、次数付き次元は単位元の次数付きトレースにすぎないため、このような表現上のMの非自明元gの次数付きトレースも興味深いかもしれないと示唆した。

コンウェイとノートンは、現在マッケイ・トムソン級数T _gとして知られているそのような次数付きトレースの低次の項を計算し、それらはすべてハウプトモジュロンの展開のように見えることを発見しました。言い換えると、G _{g が}T _{g を}固定するSL ₂ ( R )の部分群である場合、複素平面の上半分をG _gで割った商は有限個の点が除去された球面であり、さらに、T _{g は}この球面上に 有理型関数の体を生成します。

コンウェイとノートンは計算に基づいて、ハウプトモジュランのリストを作成し、Mの無限次元の次数付き表現の存在を推測しました。その次数付きトレースT _{g は}、まさに彼らのリストにある関数の展開です。

1980 年、AOL Atkin 、Paul Fong および Stephen D. Smith は、 Jの多数の係数をMの表現に分解することによって、そのような次数付き表現が存在するという強力な計算証拠を提示しました。次数付き次元がJである次数付き表現は、ムーンシャイン モジュールと呼ばれ、Igor Frenkel、James LepowskyおよびArne Meurmanによって明示的に構築され、McKay–Thompson 予想に有効な解決を与えました。また、彼らはMの反転の中心化のすべての要素の次数付きトレースを決定し、Conway–Norton 予想を部分的に解決しました。さらに、彼らは、ムーンシャイン モジュールと呼ばれる、彼らが構築したベクトル空間が、自己同型群がまさにMである頂点作用素代数の追加構造を持つことを示しました。 ${\displaystyle V^{\natural}}$

1985年、ジョン・コンウェイを含む数学者のグループによって有限群のアトラスが出版された。すべての散在群を列挙したこのアトラスは、モンスター群の注目すべき特性のリストのセクションとして「ムーンシャイン」を含めた。^[4]

ボルチャーズは 1992 年にムーンシャイン モジュールのコンウェイ-ノートン予想を証明しました。彼はこの予想を解決したことで 1998 年に フィールズ賞を受賞しました。

Frenkel-Lepowsky-Meurman 構築は、次の 2 つの主なツールから始まります。

1. 階数nの偶格子Lに対する格子頂点作用素代数V _Lの構築。物理的には、これはトーラスR ⁿ / L上にコンパクト化されたボゾン弦のカイラル代数です。これは、大まかに言えば、Lの群環とn次元の振動子表現(それ自体は可算無限個の生成子の多項式環に同型) とのテンソル積として記述できます。問題の場合、L を階数 24 のリーチ格子に設定します。
2. オービフォールドの構築。物理的に言えば、これは商オービフォールド上を伝播するボゾン弦を記述します。フレンケル・レポフスキー・ミュールマンによる構築は、共形場理論にオービフォールドが登場した最初の例です。リーチ格子の-1 反転に付随して、 V _Lの反転hと、h を持ち上げる反転を継承する既約な h ツイスト V L 加群があります。_ムーンシャイン加群を得るには、 V _Lとそのツイスト加群の直和におけるhの不動点部分空間を取ります。

その後、フレンケル、レポウスキー、ミュールマンは、頂点作用素代数としてのムーンシャイン加群の自己同型群がMであることを示した。さらに、彼らは、サブグループ 2 ¹⁺²⁴ . Co _{1 の}要素の次数トレースが、コンウェイとノートンによって予測された関数と一致することを決定した (フレンケル、レポウスキー、ミュールマン (1988))。

リチャード・ボルチャーズによるコンウェイとノートンの予想の証明は、次の主要なステップに分けることができます。

1. まず、不変双線型形式を持つ頂点作用素代数V 、自己同型によるMの作用、および 7 つの最低次数の同次空間を既約なM表現に分解する既知の方法から始めます。これは、Frenkel–Lepowsky–Meurman による Moonshine Module の構築と解析によって提供されました。
2. モンスター リー代数と呼ばれるリー代数は 、量子化関数を使用してVから構築されます。これは、自己同型によるモンスター作用を持つ一般化された Kac–Moody リー代数です。弦理論のGoddard–Thorn の「ゴーストなし」定理を使用すると、ルート重複度はJの係数であることがわかります。${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$
3. Koike-Norton-Zagier 無限積恒等式を使用して、生成元と関係によって一般化された Kac-Moody Lie 代数を構築します。この恒等式は、 Jに適用されたHecke 演算子がJの多項式を生成するという事実を使用して証明されます。
4. 根重複度を比較すると、2 つのリー代数が同型であることがわかります。特に、 のワイル分母の公式は、まさに Koike-Norton-Zagier 恒等式です。${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$
5. リー代数ホモロジーおよびアダムス演算を使用すると、各要素に対してねじれた分母の恒等式が与えられます。これらの恒等式は、コイケ・ノートン・ザギエ恒等式がJと関係しているのとほぼ同じように、マッケイ・トムソン級数T _gと関係しています。
6. ねじれた分母恒等式はT _gの係数に関する再帰関係を意味し、小池の未発表の研究では、コンウェイとノートンの候補関数がこれらの再帰関係を満たすことが示されました。これらの関係は十分に強いため、最初の 7 つの項がコンウェイとノートンによって与えられた関数と一致することを確認するだけで済みます。最低の項は、最初のステップで与えられた 7 つの最低次数同次空間の分解によって与えられます。

こうして証明は完了した (Borcherds (1992))。Borcherds は後に「密造酒の予想を証明したときは大喜びした」と述べ、「これが特定の薬物を摂取したときに感じる感覚なのだろうかと時々思う。自分の理論をテストしていないので、実際のところは分からない」と語っている (Roberts 2009、361 ページ)。

最近の研究では、証明の最後のステップが簡略化され、明確化されました。Jurisich (Jurisich (1998)、Jurisich、Lepowsky、Wilson (1995)) は、モンスター リー代数の通常の三角分解をgl ₂と 2 つの自由リー代数の和への分解に置き換えることで、ホモロジー計算を大幅に短縮できることを発見しました。Cummins と Gannon は、再帰関係によって McKay-Thompson 級数が Hauptmoduln であるか、最大 3 項で終了することが自動的に示され、最終ステップでの計算が不要になることを示しました。

コンウェイとノートンは1979年の論文で、密造酒はモンスターに限らず、他の群でも同様の現象が見られるかもしれないと示唆した。^{[a]コンウェイとノートンの主張はあまり具体的ではなかったが、1980年のラリッサ・クイーンの計算は、}散在群の既約表現の次元の単純な組み合わせから多くのハウプトモジュロンの展開を構築できることを強く示唆した。特に、彼女は次の場合にマッケイ・トンプソン級数の係数をモンスターの部分商の表現に分解した。

• T _2BとT _4Aをコンウェイ群Co ₀の表現に変換する
• T _3BとT _{6B を}鈴木群の表現に変換する3.2. Suz
• T _3Cをトンプソン群 Th = F ₃の表現に変換する
• T _5Aを原田-ノートン群 HN = F ₅の表現に変換する
• T _5BとT _10Dをホール・ヤンコ群2の表現に変換する。HJ
• T _7Aをヘルド群 の表現に変換するとHe = F ₇
• T _7BとT _14Cを2の表現に変換する。A ₇
• T _11Aをマシュー群2の表現に変換する。M ₁₂

クイーンは、非恒等元のトレースがハウプトモジュロンのq展開も生成することを発見したが、そのいくつかはモンスターのマッケイ・トンプソン級数ではなかった。1987 年、ノートンはクイーンの結果と自身の計算を組み合わせて、一般化ムーンシャイン予想を定式化した。この予想は、モンスターの各元gに次数付きベクトル空間V ( g ) を割り当て、各可換な元ペア ( g , h )に上半平面上の正則関数f ( g , h , τ)を割り当てる規則 が存在することを主張している。

1. 各V ( g )はMにおけるgの中心化子の次数付き射影表現である。
2. 各f ( g , h , τ) は定数関数または Hauptmodul のいずれかです。
3. 各f ( g , h , τ ) は、スカラーの曖昧さを除いて、Mにおけるgとhの同時共役に対して不変です。
4. 各 ( g , h ) に対して、 hをV ( g )上の線型変換に持ち上げることが可能であり、 f ( g , h , τ)の展開は次数付きトレースによって与えられる。
5. 任意の に対して、は に比例します。${\displaystyle ({\begin{smallmatrix}a&b\\c&d\end{smallmatrix}})\in \operatorname {SL} _{2}(\mathbf {Z} )}$${\displaystyle f(g,h,{\tfrac {a\tau +b}{c\tau +d}})}$${\displaystyle f(g^{a}h^{c},g^{b}h^{d},\tau )}$
6. f ( g , h , τ ) は、 g = h = 1の場合にのみJに比例します。

これはコンウェイ・ノートン予想の一般化です。ボルチャーズの定理はgが恒等定理に設定されている 場合に関するものです。

コンウェイ・ノートン予想と同様に、一般化ムーンシャイン予想にも物理学における解釈があり、1988 年にディクソン・ギンスパーグ・ハーヴェイによって提案されました (Dixon, Ginsparg & Harvey (1989))。彼らは、ベクトル空間V ( g ) をモンスター対称性を持つ共形場理論のツイストセクターとして解釈し、関数f ( g , h , τ)を種数1の分割関数として解釈しました。ここでは、ツイスト境界条件に沿って接着することでトーラスを形成します。数学的な言葉で言えば、ツイストセクターは既約ツイストモジュールであり、分割関数は主モンスターバンドルを持つ楕円曲線に割り当てられ、その同型型は1 サイクルの基底に沿ったモノドロミー、つまり可換要素のペアによって記述されます。

1990 年代初頭、群論者の AJE Ryba は、怪物の指標表の一部と、特定の部分群のBrauer 指標の間に顕著な類似点があることを発見しました。特に、怪物における素数位数pの元gについて、位数kpでk乗がgである元の多くの既約指標は、 gの中心化元における位数kの元の Brauer 指標の単純な組み合わせです。これは、正の指標での表現に対する、怪物の密造酒に似た現象の数値的証拠でした。特に、Ryba は 1994 年に、怪物の位数における各素因数pについて、位数p の元gの中心化元の作用を持つ有限体F _p上の位数付き頂点代数が存在し、任意のp正則自己同型hの位数付き Brauer 指標がghの McKay-Thompson 級数に等しいと予想しました(Ryba (1996))。

1996 年、Borcherds と Ryba は、この予想を の自己双対整式形式のTate コホモロジーに関する命題として再解釈した。この整式形式は存在が知られていなかったが、彼らはZ [1/2] 上の自己双対形式を構築し、奇数素数pを扱うことを可能にした。素数位数の元の Tate コホモロジーは、自然にF _p上の超頂点代数の構造を持ち、彼らは問題を、次数付き Brauer 超トレースを McKay-Thompson 級数と等しくする簡単なステップと、奇数次で Tate コホモロジーが消えることを示す難しいステップに分割した。彼らは、リーチ格子から消える結果を転送することにより、小さな奇数素数に対する消える命題を証明した (Borcherds & Ryba (1996))。 1998 年、Borcherds は、ホッジ理論とノーゴースト定理の積分改良を組み合わせて、残りの奇数素数に対して消失が成り立つことを示しました(Borcherds (1998)、Borcherds (1999))。 ${\displaystyle V^{\natural}}$

順序 2 の場合、2 進環上の の形式、つまり 2 で割り切れない構成が存在することが必要ですが、当時はこれが存在することは知られていませんでした。ライバの予想が合成順序元のテイト コホモロジーに一般化される方法や、一般化された密造酒やその他の密造酒現象との関連の性質など、未解決の疑問が数多く残っています。 ${\displaystyle V^{\natural}}$

2007 年、E. Witten は、 AdS/CFT 対応によって、(2 + 1) 次元反ド・ジッター空間の純粋量子重力と極限正則 CFT の双対性が生じると示唆しました。2 + 1 次元の純粋重力には局所自由度はありませんが、宇宙定数が負の場合、BTZ ブラックホール解の存在により、理論には重要な内容があります。G. Höhn によって導入された極限 CFT は、低エネルギーで Virasoro プライマリ フィールドが存在しないという特徴があり、ムーンシャイン モジュールはその一例です。

ウィッテンの提案 (Witten (2007)) によれば、最大負の宇宙定数を持つ AdS 空間の重力は、中心電荷c=24を持つ正則 CFT の AdS/CFT 双対であり、CFT の分割関数は正確にj -744、つまりムーンシャイン モジュールの次数特性です。ムーンシャイン モジュールは中心電荷 24 と特性j -744を持つ唯一の正則 VOA であるというフレンケル-レポフスキー-ミュールマンの予想を仮定して、ウィッテンは、最大負の宇宙定数を持つ純粋重力はモンスター CFT の双対であると結論付けました。ウィッテンの提案の一部は、ヴィラソロ一次場がブラックホール生成演算子と双対であるというものであり、一貫性チェックとして、彼は、大質量極限では、与えられたブラックホール質量に対するベッケンシュタイン-ホーキング半古典エントロピー推定が、ムーンシャインモジュールの対応するヴィラソロ一次多重度の対数と一致することを発見しました。低質量領域では、エントロピーに小さな量子補正があり、たとえば、最低エネルギー一次場では ln(196883) ~ 12.19 が得られますが、ベッケンシュタイン-ホーキング推定では 4 π  ~ 12.57 が得られます。

その後の研究で、ウィッテンの提案は洗練されました。ウィッテンは、より大きな宇宙定数を持つ極限CFTは、極小の場合と同様にモンスター対称性を持つ可能性があると推測していましたが、これはガイオットとヘーンの独立した研究によってすぐに否定されました。ウィッテンとマロニーの研究 (Maloney & Witten (2007)) は、複素サドルのいくつかの微妙な特性が有利に働かない限り、純粋な量子重力はその分割関数に関連するいくつかの一貫性チェックを満たさない可能性があることを示唆しました。しかし、リー・ソング・ストロミンガー (Li, Song & Strominger (2008)) は、2007年にマンスチョットによって提案されたカイラル量子重力理論は、モンスターCFTのカイラル部分、つまりモンスター頂点代数と双対でありながら、より優れた安定性特性を持つ可能性があることを示唆しました。ダンカン・フレンケル (Duncan & Frenkel (2009)) は、ラデマッハ和を使用して、グローバルトーラス同型幾何学上の正規和による (2 + 1) 次元重力分割関数としてマッケイ・トムソン級数を生成することにより、この双対性のさらなる証拠を提示しました。さらに、彼らは、モンスターの要素によってパラメータ化されたねじれたカイラル重力理論のファミリーの存在を推測し、一般化されたムーンシャインと重力インスタントン和との関連を示唆しました。現時点では、これらのアイデアはすべて、3D 量子重力に厳密な数学的基礎がないため、まだかなり推測の域を出ません。

2010年に、江口徹、大栗博司、立川裕司は、K3曲面の楕円種数がN = (4,4) 超共形代数の指標に分解できることを観察し、有質量状態の多重度がマシュー群M24の既約表現の単純な組み合わせのように見えることを発見した。^{[5]これは、M24対称性を保持するK3ターゲットの}シグマモデル 共形場理論 が存在することを示唆している。しかし、向井–近藤分類によれば、シンプレクティック自己同型によってこの群のK3曲面への忠実な作用はなく、ガベルディエル–ホーネッガー–ヴォルパトの研究^[6]によれば、どのK3シグマモデル共形場理論にも忠実な作用はないため、基礎となるヒルベルト空間への作用の出現は依然として謎である。

マッケイ・トンプソン級数との類推により、チェンは、多重度関数と M24 の非自明な元の次数トレースの両方が、モック モジュラー形式を形成することを示唆した。2012 年に、ギャノンは、最初の多重度を除くすべての多重度が M24 の表現の非負の整数結合であることを証明し、ガベルディエル・ペルソン・ロネレンフィッチュ・ヴォルパトは、一般化されたムーンシャイン関数のすべての類似体を計算し、^{[7]マシュー ムーンシャインの背後に正則共形場理論の類似体があることを強く示唆した。}また、2012 年に、チェン、ダンカン、ハーヴェイは、モック モジュラー形式の族がニーマイヤー格子に付着しているように見える暗黒ムーンシャイン現象の数値的証拠を蓄積した。A²⁴
₁格子はマシュー・ムーンシャインを生み出しますが、一般的にこの現象はまだ幾何学的な観点から解釈されていません。

「怪物の密造酒」という用語はコンウェイによって造られた。コンウェイは、1970年代後半にジョン・マッケイから、 の係数(つまり 196884) が怪物群の最小の忠実な複素表現 (つまり 196883) の次数よりちょうど 1 大きいと言われた際に、これは「密造酒」(狂気または愚かな考えという意味) であると返答した。^[b]したがって、この用語は怪物群Mを指すだけでなく、 Mとモジュラー関数の理論と の複雑な関係の認識された狂気も指している。${\displaystyle {q}}$

モンスター群は1970年代に数学者のジャン ＝ピエール・セール、アンドリュー・オッグ、ジョン・G・トンプソンによって研究されました。彼らはSL ₂ ( R )の部分群、特にSL(2, R )のヘッケ合同部分群Γ ₀ ( p )の正規化群 Γ ₀ ( p ) ^+による双曲平面の商を研究しました。彼らは、双曲平面をΓ ₀ ( p ) ⁺で商を取った結果生じるリーマン面は、 p = 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、41、47、59、または 71 のときに、種数が0になることを発見しました。オッグは後にモンスター群について聞き、これらがまさにMのサイズの素因数であることに気付き、この事実を説明できる人にジャックダニエルのウイスキー1 本を提供するという論文を発表しました(Ogg (1974))。これらの 15 個の素数は超特異素数として知られていますが、代数的整数論で異なる意味で使用される同じフレーズと混同しないように注意してください。

• Wayback Machineの Moonshine 書誌(2006 年 12 月 5 日アーカイブ)
• 数学者、ムーンシャインの影を追う