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球面幾何学または球面幾何学 （古代ギリシャ語のσφαιρικάに由来）は、球の2次元表面[ a ]または高次元球のn次元表面の幾何学です。
天文学、航海、測地学への実用的な応用を目的として長年研究されてきた球面幾何学と球面三角法の計測ツールは、多くの点でユークリッド平面幾何学および三角法と類似しているが、重要な相違点もいくつかある。
球は、3次元ユークリッド空間に埋め込まれた表面として外的に研究することも（立体幾何学の研究の一部）、周囲の空間を参照することなく表面自体のみを扱う方法を用いて内的に研究することもできる。
平面（ユークリッド）幾何学では、基本的な概念は点と（直線）です。球面幾何学では、基本的な概念は点と大円です。ただし、平面上の2つの大円は、楕円幾何学における同一平面上の直線とは異なり、2つの対蹠点で交わります。
外的な3次元的な観点では、大円は球と中心を通る任意の平面との交線です。内的な観点では、大円は測地線であり、その2点が十分に近ければ、それらの間の最短経路となります。あるいは、（これも内的な）ユークリッドの平面幾何学の公理に類似した公理的アプローチでは、「大円」は単に未定義の用語であり、大円と未定義の「点」との間の基本的な関係を規定する公理が付随します。これは、点と線を未定義の原始概念として扱い、それらの関係を公理化したユークリッドの方法と同じです。
大円は、多くの点で、球面幾何学において、ユークリッド幾何学における直線、例えば（球面）三角形の辺と同じ論理的な役割を果たします。これは単なる類推にとどまりません。球面幾何学、平面幾何学、その他の幾何学はすべて、距離測定に基づく幾何学という包括的な枠組みの下で統一できます。ここで「直線」とは最短経路（測地線）を意味します。点やそのような「直線」の幾何学に関する多くの記述は、直線がそのように定義されている限り、これらのすべての幾何学において同様に真であり、この理論は容易に高次元に拡張できます。しかしながら、その応用と教育は立体幾何学と結びついており、また一般化によって平面上の直線の重要な性質が失われるため、球面幾何学では通常、球面上の何かを指すのに「直線」という用語は一切使用されません。立体幾何学の一部として展開される場合は、周囲の空間において点、直線、平面（ユークリッド幾何学的な意味で）が使用されます。
球面幾何学では、角度は大円の間に定義されるため、球面三角法は通常の三角法とは多くの点で異なります。例えば、球面三角形の内角の和は180度を超えます。
球と平面は幾何学的に異なるため、（本来の）球面幾何学は非ユークリッド幾何学の特徴をいくつか持ち、非ユークリッド幾何学として記述されることもあります。しかし、球面幾何学は、平行線公準がユークリッドの平面幾何学の他の公理の論理的帰結であるかどうかという古くからの問題を解決するのに十分な、本格的な非ユークリッド幾何学とはみなされていませんでした。なぜなら、球面幾何学は別の公理を修正する必要があるからです。この問題の解決策は、球面幾何学と密接に関連する楕円幾何学と双曲幾何学に見出されました。これらの新しい幾何学はそれぞれ、平行線公準に異なる変更を加えています。
これらの幾何学の原理は、任意の次元に拡張することができる。
球面幾何学に関連する重要な幾何学として、実射影平面があります。これは、球面上の対蹠点（反対側の点のペア）を同一視することによって得られます。局所的には、射影平面は球面幾何学のすべての性質を持ちますが、全体的な性質は異なります。特に、射影平面は向き付け不可能、つまり片面であり、球面とは異なり、3次元空間において自己交差することなく曲面として描画することはできません。
球面幾何学の概念は、楕円形の球にも適用できるが、一部の公式には若干の修正が必要となる。
古代から現代まで伝わる最古の数学書は、紀元前4世紀末に生きたピタネのアウトリュコスによる『回転する球面について』（Περὶ κινουμένης σφαίρας、Peri kinoumenes sphairas）である。 [ 1 ]
球面三角法は、古代ギリシャの数学者、例えば、球面の幾何学に関する著書『球面論』を著したギリシャの天文学者で数学者のテオドシウス・ビテュニア[ 2 ]や、球面三角法に関する著書『球面論』を著し、メネラオスの定理を発展させたアレクサンドリアのメネラオス[ 3 ] [ 4 ]などによって研究された。
イスラムの数学者アル＝ジャヤニによって書かれた『球面の未知の弧の書』は、球面三角法に関する最初の論文と考えられている。この本には、直角三角形の公式、正弦定理、極三角形を用いた球面三角形の解法などが含まれている。[ 5 ]
レギオモンタヌスによる『三角形について』は、1463年頃に書かれたヨーロッパ初の純粋な三角法に関する著作である。しかし、 1世紀後にジェロラモ・カルダーノは、球面三角法に関するその内容の多くは、12世紀のアンダルシアの学者ジャビル・イブン・アフラの著作から取られたものだと指摘した。[ 6 ]
レオンハルト・オイラーは、球面幾何学に関する一連の重要な論文を発表した。
球面幾何学には以下の性質があります: [ 7 ]
一対の点によって決定される弧は、それらが決定する大円上にあり、それらの点は対蹠点ではないため、3つの非共線点からは一意の三角形は決定されません。しかし、辺が大円の劣弧である三角形のみを考慮すると、次の性質が得られます。
「線」を大円と解釈すると、球面幾何学はユークリッドの5つの公準のうち2つ、すなわち第2公準（「有限の直線を直線上に連続的に延長する」）と第4公準（「すべての直角は互いに等しい」）のみを満たします。しかし、他の3つは満たしません。第1公準（「任意の2点間には、それらを結ぶ線分が1つ存在する」）に反して、任意の2点間に最短経路は1つも存在しません（球面地球儀上の北極と南極のような対蹠点は反例です）。第3公準に反して、球面には任意の半径の円は存在しません。そして第5公準（平行）に反して、与えられた直線と決して交わらない直線を引くことができる点は存在しません。[ 8 ]
平行線公準と同等の命題は、内角の和が 180° になる三角形が存在するというものである。球面幾何学は平行線公準に反するため、球面上にはそのような三角形は存在しない。球面上の三角形の内角の和は180°(1 + 4 f )であり、fは三角形が囲む球面の表面積の割合である。f が正の値であれば、この値は 180° を超える。