数学の問題

数学の問題とは、数学の手法を用いて表現、分析、および解決できる問題のことです。これは、太陽系の惑星の軌道を計算するなどの現実世界の問題である場合もあれば、ヒルベルトの問題などのより抽象的な性質の問題である場合もあります。また、ラッセルのパラドックスなどの数学自体の性質に関する問題である場合もあります。

非公式の「現実世界の」数学の問題は、「アダムはリンゴを 5 個持っており、ジョンに 3 個あげました。残ったリンゴはいくつですか?」など、具体的な状況に関連した質問です。このような質問は、問題を解くために必要な数学を知っていても、「5 − 3」などの通常の数学演習よりも解くのが通常困難です。文章題として知られるこれらの問題は、数学教育で使用され、現実世界の状況を数学の抽象的な言語に結び付けることを学生に教えています。

一般的に、現実世界の問題を解決するために数学を使用するには、まず問題の数学的モデルを構築する必要があります。これには問題の詳細を抽象化することが必要であり、モデル作成者は元の問題を数学的な問題に変換する際に重要な側面を失わないように注意する必要があります。問題が数学の世界で解決された後、その解決策を元の問題のコンテキストに再変換する必要があります。

抽象的な数学的問題は数学のあらゆる分野で生じます。数学者は通常、それらの問題をそれ自体のために研究しますが、そうすることで、数学の領域外に応用できる結果が得られることもあります。理論物理学は歴史的に、インスピレーションの豊かな源となってきました。

古典的な幾何学のコンパスと定規のみを使用して円を二乗したり角度を三等分したりすることや、一般五次方程式を代数的に解くことなど、いくつかの抽象的な問題は厳密に解決不可能であることが証明されています。また、チューリングマシンの停止問題などのいわゆる決定不能問題も解決不可能であることが証明されています。

比較的最近解決された、よく知られた難しい抽象的な問題としては、四色定理、フェルマーの最終定理、ポアンカレ予想などがあります。

コンピュータは、数学者の動機を理解していなくても、自分の仕事を行うことができます。^[1]正式な定義とコンピュータで検証可能な推論は、数学科学にとって絶対に中心的なものです。

問題解決を評価に利用する数学教育者には、アラン・H・ショーンフェルドが述べた問題があります。

非常に異なる問題が使用されている場合、どのようにして毎年のテストのスコアを比較できるのでしょうか？（同様の問題が毎年使用される場合、教師と生徒はそれが何であるかを学び、生徒はそれらを練習します。問題は演習になり、テストはもはや問題解決を評価するものではありません）。^[2]

シルヴェストル・ラクロワもほぼ2世紀前に同じ問題に直面していました。

... 学生同士がコミュニケーションをとることができるように、質問に変化を持たせることが必要です。試験では不合格になるかもしれませんが、後で合格するかもしれません。したがって、質問の配分、トピックの多様性、または回答によって、受験者同士を正確に比較する機会を失うリスクがあります。^[3]

問題を演習問題にまで落とし込むのは、歴史上の数学の特徴です。たとえば、19 世紀の ケンブリッジ数学トリポスの準備について、アンドリュー・ワーウィックは次のように書いています。

...当時の標準的な問題の多くは、もともと18世紀の最も偉大な数学者たちの能力を駆使したものでした。^[4]

• 数学の未解決問題の一覧
• 問題解決
• 数学ゲーム

• ニュービー、イラナ、ニュービー、グレッグ (2008-07-01)。「ルネ・デカルト著『理性を正しく導き、科学において真理を追求する方法』」。プロジェクト・グーテンベルク。2019年2月13日閲覧。、翻訳元
  • デカルト、ルネ(1637)。 Discours de la methode pour bien conduire sa raison et chercher la vérité dans les scienses、プラス la dioptrique、les météores et la géométrie qui Sont des essais de cette メソッド (フランス語)。 Gallica - BnFデジタル ライブラリ。

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