ニールセン変換

数学、特に組合せ群論として知られる現代代数学の分野において、ニールセン変換は自由群の特定の自己同型であり、行簡約の非可換類似物であり、自由群の研究に使用される主要なツールの 1 つです (Fine、Rosenberger、Stille 1995)。

自由群 の有限基底が与えられると、対応する基本ニールセン変換の集合はの有限生成集合を形成します。この生成器のシステムは、 の基本行列と、閉曲面 の写像類群のデーンツイストに類似しています。 ${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle \mathrm {Aut} (F_{n})}$${\displaystyle GL_{n}(\mathbb {Z} )}$

ニールセン変換は、自由群のすべての部分群が自由であることを証明するために（ニールセン 1921）で導入されました（ニールセン・シュライアーの定理）。現在では、計算群論、k理論、結び目理論など、さまざまな数学で使用されています。

をランク の有限生成自由群とします。基本的なニールセン変換は、次のいずれかの操作によって 順序付き基底を新しい基底にマッピングします。${\textstyle F_{n}}$${\textstyle n}$${\textstyle [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$${\textstyle [y_{1},\ldots ,y_{n}]}$

1. sを何らかの順列で並べ替える、すなわち${\textstyle x_{i}}$ ${\textstyle \sigma \in S_{n}}$${\textstyle [y_{1},\ldots ,y_{n}]=[x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (n)}]}$
2. いくつかを反転すると、${\textstyle x_{i}}$${\textstyle [y_{1},\ldots ,y_{n}]=[x_{1},\ldots ,x_{i}^{-1},\ldots ,x_{n}]}$
3. some のsomeを に置き換えます。つまり、 です。${\textstyle x_{i}}$${\displaystyle x_{i}x_{j}}$${\textstyle j\neq i}$${\textstyle [y_{1},\ldots ,y_{n}]=[x_{1},\ldots ,x_{i}x_{j},\ldots ,x_{n}]}$

ニールセン変換は、基本的なニールセン変換の有限合成です。 の自己同型は基底の像によって決定されるため、基本的なニールセン変換は自己同型群の有限部分集合に対応し、自己同型群は実際には生成集合です (以下を参照)。したがって、ニールセン変換は、単に の自己同型の基底への作用として定義することもできます。 ${\displaystyle F_{n}}$ ${\textstyle \mathrm {Aut} (F_{n})}$${\textstyle F_{n}}$

基本的なニールセン変換は、基本的な行演算に類似しています。第 1 種の変換は、行の置換に類似しています。第 2 種の変換は、可逆スカラーによる行のスケーリングに対応します。第 3 種の変換は、行の加算 (トランスベクション) に対応します。

有限置換群は転置によって生成されるため、タイプ 2 および 3 の基本ニールセン変換の連鎖から、タイプ 2 および 3 の基本ニールセン変換は、実際にはすべてのニールセン変換を生成するのに十分であることがわかります。 ${\displaystyle S_{n}}$$${\displaystyle (x_{i},x_{i+1})\mapsto {(x_{i},x_{i+1}^{-1})}\mapsto {{(x_{i}x_{i+1}^{-1}},x_{i+1}^{-1})}\mapsto ({{x_{i+1}x_{i}^{-1}},x_{i+1}^{-1}})\mapsto {({x_{i+1}x_{i}^{-1}},x_{i}^{-1})}\mapsto (x_{i+1}x_{i}^{-1},x_{i})\mapsto (x_{i+1},x_{i})}$$

の2 つのジェネレータとを使用すると、代わりに 4 つの操作だけに注意を限定することができます。 ${\textstyle (12)}$${\textstyle (1\ldots n)}$${\textstyle S_{n}}$

• スイッチと${\textstyle x_{1}}$${\textstyle x_{2}}$
• sを循環的に並べ替える${\textstyle x_{i}}$
• 反転する${\textstyle x_{1}}$
• を に置き換えます。${\textstyle x_{1}}$${\textstyle x_{1}x_{2}}$

自由でない群を扱う場合、これらの変換を群の有限順序付き部分集合に適用します。この状況では、基本変換の合成は正則と呼ばれます。単位元である部分集合の要素を削除できる場合、変換は特異変換と呼ばれます。

群Gの生成集合のニールセン変換（初等的または非初等的、正則または非正則）による像もGの生成集合である。2 つの生成集合は、一方を他方に変換するニールセン変換がある場合、ニールセン同値であると呼ばれる（これは同値関係ではないことに注意）。生成集合が同じサイズである場合、正則ニールセン変換の合成を考えるだけで十分である。

位数 10 の二面体群には、サイズ 2 の生成集合のニールセン同値類が 2 つあります。x を位数 2 の元、y を位数 5 の元とすると、生成集合の 2 つのクラスは [ x , y ] と [ x , yy ] で表され、各クラスには 15 個の異なる元があります。二面体群の非常に重要な生成集合は、コクセター群として表現される生成集合です。位数 10 の二面体群のこのような生成集合は、[ x , xy ]などの位数 2 の任意の要素のペアで構成されます。この生成集合は、次式によって [ x , y ]と同等になります。

• [ x ⁻¹ , y ]、タイプ3
• [ y , x ⁻¹ ]、タイプ1
• [ y ⁻¹ , x ⁻¹ ]、タイプ3
• [ y ⁻¹ x ⁻¹ , x ⁻¹ ]、タイプ4
• [ xy , x ⁻¹ ]、タイプ3
• [ x ⁻¹ , xy ]、タイプ1
• [ x , xy ]、タイプ3

[ x , y ]と[ x , yy ]とは異なり、生成集合[ x , y , 1 ]と[ x , yy , 1 ]は同等です。^[1]より便利な基本変換（すべて交換、すべて逆、すべて積）を使用した変換シーケンスは次のとおりです。

• [ x , y , 1 ]
• [ x , y , y ]、2番目の生成器を3番目の生成器に掛ける
• [ x , yy , y ]、3番目の生成器を2番目の生成器に掛ける
• [ x , yy , yyy ]、2番目の生成器を3番目の生成器に掛ける
• [ x , yy , 1 ]、2番目の生成器を3番目の生成器に掛ける

ニールセン・シュライアーの定理は、自由群のすべての部分群も自由であると述べています。現代の証明は、群（有限生成群かどうかに関係なく）が自由である場合、かつそれがグラフ（有限群かどうかに関係なく）の基本群である場合に限るという事実に依存しています。これにより、 の基底を明示的に見つけることができます。これは、 が、基本群が であるグラフの被覆の基本群として幾何学的に実現されるためです。 ${\textstyle F'\leq F}$${\textstyle F}$${\textstyle F'}$${\displaystyle F}$

しかし、有限生成部分群の場合のニールセンによる最初の証明は (Nielsen 1921) で示されており、これは異なり、より組み合わせ的です。これは、おおよそ積の相殺があまりないことを意味するニールセン縮小生成集合の概念に依存しています。この論文では、自由群の部分群のすべての有限生成集合は、ニールセン縮小生成集合と (唯一) ニールセン同値であり、ニールセン縮小生成集合は部分群の自由基底であるため、部分群は自由であることを示しています。この証明は、(Magnus、Karrass、Solitar 2004、Ch 3.2) で詳しく説明されています。

(Nielsen 1924) では、基本的なニールセン変換が有限生成自由群の完全な自己同型群を生成することが示されています。ニールセン、そして後にベルンハルト・ノイマンは、これらのアイデアを使用して、自由群の自己同型群の有限表現を与えました。これは、(Magnus、Karrass & Solitar 2004、p. 131、Th 3.2) などの標準的な教科書にも記載されています。

有限生成群の与えられた生成集合に対して、すべての自己同型がニールセン変換であるということは必ずしも真ではありませんが、すべての自己同型に対して、自己同型がニールセン変換によって与えられる生成集合が存在します (Rapaport 1959)。

自由分解群の自由積の自己同型に対するニールセン変換の適切な一般化はホワイトヘッド自己同型である。グルシコ因子の自己同型とともに、それらは任意の有限生成群の自己同型群の生成集合を形成し、フーセ・ラビノビッチ生成子として知られる。^[2]

群の単語問題と群の同型性の問題の特に単純なケースは、有限に提示された群が自明な群であるかどうかを問うものである。群が自明である場合にのみ、提示を自明な提示にする基本Tietze 変換の有限シーケンスが存在するにもかかわらず、これは一般に扱いにくいことが知られている。特殊なケースは、「バランスのとれた提示」、つまり生成元と関係元の数が等しい有限の提示である。これらの群の場合、必要な変換はかなり単純であるという推測がある (特に、関係元の追加や削除を伴わない)。関係元の集合を任意のニールセン同値集合にとることができ、関係元の共役も可能である場合、有限に提示された群の関係元の順序付き部分集合に関する同値関係が得られる。アンドリュース・カーティス予想は、自明群の任意のバランスのとれた表現のリレータは自明なリレータの集合と同等であり、各生成元が単位元であることを示すというものです。

教科書 (Magnus、Karrass、Solitar 2004、pp. 131-132) では、自由群の一般化された単語問題 (自由群の有限生成集合によって与えられる部分群の所属問題としても知られる) を解決するために、ニールセン変換の応用が示されています。

群の同型性の問題の特に重要な特殊なケースは、3次元結び目の基本群に関するもので、ニールセン変換とJWアレクサンダーの方法 （Magnus、Karrass、Solitar 2004、Ch 3.4）を使用して解くことができます。

計算群論では、有限群のランダムな要素を生成することが重要です。これを行う一般的な方法は、マルコフ連鎖法を適用して、群のランダムな生成セットを生成します。「積置換アルゴリズム」は、ランダムに選択されたニールセン変換を使用して、群の生成セットのグラフ上でランダムウォークを実行します。このアルゴリズムは十分に研究されており、概要は (Pak 2001) に記載されています。アルゴリズムの 1 つのバージョンである「シェイク」は、次のとおりです。

• 任意の順序付き生成集合を取り、単位元のコピーをいくつか追加して、集合にn個の要素が含まれるようにします。
• 以下を一定回数繰り返します（バーンインと呼ばれる）
  • 1からnまで一様にランダムに整数iとjを 選択し、{1, -1}から一様にランダムにeを選択します。
  • i番目の生成器をi番目の生成器とj番目の生成器のe乗の積に置き換える
• 新しいランダム要素が必要なたびに、前の2つの手順を繰り返し、生成要素の1つを目的のランダム要素として返します。

このアルゴリズムの実行中に使用される生成セットは、すべてのニールセン等価生成セットにわたって均一に変化することが証明されています。ただし、このアルゴリズムには、統計的および理論的な問題がいくつかあります。たとえば、生成セットのニールセン等価クラスは複数存在する可能性があります。また、生成セットの要素は均一に分散されている必要があります (たとえば、フラッティーニサブグループの要素は、最小サイズの生成セットには決して発生しませんが、より微妙な問題も発生します)。

これらの問題のほとんどは、「ラトル」と呼ばれる次の修正ですぐに解決されます (Leedham-Green & Murray 2002)。

• 生成集合に加えて、単位元に初期化されたグループの追加要素を保存します。
• ジェネレータが置き換えられるたびに、k を一様にランダムに選択し、追加要素を、追加要素とk番目のジェネレータの積で置き換えます。

非極小生成集合のニールセン同値性を理解するには、 (Evans 1989) のようなモジュール理論の研究が役立っています。これに続いて、ニールセン同値性への障害のK 理論的定式化が (Lustig 1991) と (Lustig & Moriah 1993) で説明されています。これらは、群環のホワイトヘッド群と生成子のニールセン同値類 との間の重要な関係を示しています。

• ティーツェ変換
• 自由群の自己同型群

• コーエン、ダニエル E. (1989)、「組合せ群論：位相的アプローチ」、ロンドン数学会学生テキスト、第 14 巻、ケンブリッジ大学出版局、doi :10.1017/CBO9780511565878、ISBN 978-0-521-34133-2、MR  1020297
• Fine, Benjamin、Rosenberger, Gerhard、Stille, Michael (1995)、「ニールセン変換とアプリケーション: 概観」、Kim, Ann Chi、Kim, AC、Johnson, DL (編)、Groups—Korea '94: Proceedings of the International Conference Held at Pusan National University、Pusan、Korea、1994 年 8 月 18 ～ 25 日、Walter de Gruyter、pp. 69 ～ 105、ISBN 978-3-11-014793-3、MR  1476950
• ポール・E・シャップ;リンドン、ロジャー C. (2001)、組合せ群理論、Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-41158-1、MR  0577064
• マグナス、ウィルヘルム、カラス、アブラハム、ソリター、ドナルド（2004）、組合せ群論、ドーバー出版、ISBN 978-0-486-43830-6、MR  0207802

• アレクサンダー、JW (1928)、「結び目とリンクの位相不変量」、アメリカ数学会誌、30 (2): 275–306、doi : 10.2307/1989123、JFM  54.0603.03、JSTOR  1989123
• エヴァンス、マーティン J. (1989)、「自由群の原始要素」、アメリカ数学会紀要、106 (2): 313–6、doi : 10.2307/2048805、JSTOR  2048805、MR  0952315
• ヴェルナー・フェンケル; Nielsen、Jakob (2003)、Schmidt、Asmus L. (編)、双曲面におけるアイソメトリの不連続グループ、De Gruyter Studies in math、vol. 29、ベルリン: Walter de Gruyter & Co.
• Leedham-Green, CR ; Murray, Scott H. (2002)、「Variants of product replacement」、Computational and statistics group theory (ラスベガス、ネバダ州/ホーボーケン、ニュージャージー州、2001)、Contemp. Math.、vol. 298、プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学会、pp. 97–104、doi :10.1090/conm/298/05116、MR  1929718
• Lustig, Martin (1991)、「ニールセン同値と単純ホモトピー型」、ロンドン数学会紀要、第 3 シリーズ、62 (3): 537–562、doi :10.1112/plms/s3-62.3.537、MR  1095232
• Lustig, Martin; Moriah, Yoav (1993)、「群の生成システムとライデマイスター-ホワイトヘッド捩れ」、Journal of Algebra、157 (1): 170–198、doi : 10.1006/jabr.1993.1096、MR  1219664
• ニールセン、ヤコブ(1921)、「Om regning med ikke-kommutative faktorer og dens anvendelse i gruppeteorien」、Math。 Tidsskrift B (デンマーク語)、1921 : 78–94、JFM  48.0123.03、JSTOR  24529483
• Nielsen、Jakob (1924)、「Die Isomorphismengruppe der freien Gruppen」、Mathematische Annalen (ドイツ語)、91 (3–4): 169–209、doi :10.1007/BF01556078、JFM  50.0078.04
• Pak, Igor (2001)、「積置換アルゴリズムについて何がわかっているか?」、Groups and computing、III (コロンバス、オハイオ州、1999)、オハイオ州立大学数学研究所出版、第 8 巻、Walter de Gruyter、pp. 301–347、MR  1829489
• ラパポート、エルビラ・シュトラッサー（1959）、「ニールセン変換に関する注記」、アメリカ数学会紀要、10（2）：228-235、doi：10.2307/2033582、JSTOR  2033582、MR  0104724