相互主義の法則

数学において、相互法則は、2次相互法則を整数係数を持つ任意の単項既約多項式に一般化したものである。最初の相互法則である2次相互法則は、既約多項式を を法として約分したときに、いつ線形項に分解するかを決定することを思い出してください。つまり、どの素数に対して関係が成り立つかを決定するのです。${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f(x)=x^{2}+ax+b}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle f(x)\equiv f_{p}(x)=(x-n_{p})(x-m_{p}){\text{ }}({\text{mod }}p)}$

成立する。一般的な相互法則^{[1] pg3}では、多項式をどの素数が線形因子に分割するかを決定する規則として定義され、 と表記される。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle f_{p}}$${\displaystyle {\text{Spl}}\{f(x)\}}$

相互法則を表現するには、いくつかの異なる方法があります。19 世紀に見つかった初期の相互法則は、通常、2 次相互法記号 を一般化したべき乗剰余記号( p / q )で表現され、これは、素数が別の素数を法とする n 乗剰余である場合を記述し、( p / q ) と ( q / p )の関係を示していました。 ヒルベルトは、ヒルベルトノルム剰余記号( a、b / p ) のp上の積が1 の累乗根をとると 1 に等しいと、相互法則を再定式化しました。アルティンは、イデアル (またはイデル) からガロア群の元へのアルティン記号は特定の部分群上で自明であると、相互法則を再定式化しました。最近のいくつかの一般化では、群のコホモロジーやアデル群または代数 K 群の表現を使用して相互法則を表現しており、元の二次相互法則との関係はわかりにくい場合があります。

相互法則という名前は、ルジャンドルが1785年に発表した著書『不確定な分析の研究』^[2]で名付けられた。これは、奇数の素数が、その剰余類に応じて、以下に述べる二次相互法則の意味で相互に作用したりしなかったりするからである。この相互作用は一般化できないが、同等の分割作用は一般化できる。相互法則という名前は、分割のより一般的な文脈で今でも使われている。 ${\displaystyle {\bmod {4}}}$

ルジャンドル記号に関して、二次の相互法則は次のように述べている。

正の奇数の素数については${\displaystyle p,q}$${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.}$

ルジャンドル記号の定義を使用すると、これは方程式に関するより基本的な記述と同等になります。

正の奇数素数の場合、に対する の可解性が に対する の可解性を決定し、またその逆も、 がであるかであるかという比較的単純な基準によって決定されます。
${\displaystyle p,q}$${\displaystyle n^{2}-p\equiv 0{\bmod {q}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m^{2}-q\equiv 0{\bmod {p}}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle (-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle -1}$

因数定理と因数分解における次数の振る舞いにより、このような二次合同方程式の可解性は、留数環上の関連する二次多項式を線形因数に分割することと同等になります。この用語では、二次の相互法則は次のように述べられます。

正の奇数素数の場合、多項式の- 剰余での分割は、量 を通じて多項式の - 剰余での分割を決定し、逆もまた同様です。
${\displaystyle p,q}$${\displaystyle x^{2}-p}$${\displaystyle {\bmod {q}}}$${\displaystyle x^{2}-q}$${\displaystyle {\bmod {p}}}$${\displaystyle (-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}\in \{\pm 1\}}$

これにより、ルジャンドルによって導入された素数の名前を与える往復動作から、一般化で使用される多項式の 分割動作への橋渡しが確立されます。

アイゼンシュタイン整数の三次の相互法則は、αとβが素数（2 mod 3に一致する素数）である場合、

${\displaystyle {\Bigg (}{\frac {\alpha }{\beta }}{\Bigg )}_{3}={\Bigg (}{\frac {\beta }{\alpha }}{\Bigg )}_{3}.}$

4次剰余記号の観点から、ガウス整数の4次相互法則は、πとθが基本（1 mod (1+ i ) ³に合同）ガウス素数 である場合、

${\displaystyle {\Bigg [}{\frac {\pi }{\theta }}{\Bigg ]}\left[{\frac {\theta }{\pi }}\right]^{-1}=(-1)^{{\frac {N\pi -1}{4}}{\frac {N\theta -1}{4}}}.}$

ζが奇数の素数に対する1の累乗であると仮定する。べき乗特性はζのべき乗であり、 ${\displaystyle l}$${\displaystyle l}$

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)_{l}\equiv \alpha ^{\frac {N({\mathfrak {p}})-1}{l}}{\pmod {\mathfrak {p}}}}$

Z [ζ]の任意の素イデアルに対して成り立つ。これは乗法的に他のイデアルにも拡張される。アイゼンシュタインの相互法則は次のように述べている。 ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$

${\displaystyle \left({\frac {a}{\alpha }}\right)_{l}=\left({\frac {\alpha }{a}}\right)_{l}}$

任意の有理数整数αと、Z [ζ]の任意の元αがαと互いに素であり、かつ(1–ζ) ²を法として有理数整数αと合同であるとき。 ${\displaystyle l}$${\displaystyle l}$

ζ が奇数正則素数lのl乗根であるとする。lは正則なので、記号 {} をイデアルに一意に拡張して、

${\displaystyle \left\{{\frac {p}{q}}\right\}^{n}=\left\{{\frac {p^{n}}{q}}\right\}}$ここで、n はlと素​​な整数であり、p ⁿが主整数となります。

クンマーの相互法則によれば、

${\displaystyle \left\{{\frac {p}{q}}\right\}=\left\{{\frac {q}{p}}\right\}}$

pとqに対して、 (1-ζ)以外の Z [ζ]の異なる素イデアル。

ヒルベルト記号に関して、代数体に対するヒルベルトの相互法則は次のように述べている。

${\displaystyle \prod _{v}(a,b)_{v}=1}$

ここで、積はすべての有限および無限の場所にわたっています。有理数に対して、これは二次の相互法則と同等です。これを理解するために、aとb が異なる奇数の素数であるとします。すると、ヒルベルトの法則は次のようになります。 ただし、( p , q ) _{p は}ルジャンドル記号に等しく、( p , q ) _∞は、 pとqのいずれかが正の場合に 1 、それ以外の場合は –1 であり、( p , q ) ₂は (–1) ^{( p –1)( q –1)/4}です。したがって、pとq が正の奇数の素数の場合、ヒルベルトの法則は二次の相互法則です。 ${\displaystyle (p,q)_{\infty }(p,q)_{2}(p,q)_{p}(p,q)_{q}=1}$

イデレの言語では、有限拡大L / Kに対するアルティンの相互法則は、イデレ類群C _Kからガロア群のアーベル化Gal( L / K ) ^abへのアルティン写像がN _{L / K} ( C _L )上で消え、同型写像を誘導することを述べています。

${\displaystyle \theta :C_{K}/{N_{L/K}(C_{L})}\to {\text{Gal}}(L/K)^{\text{ab}}.}$

すぐには明らかではないが、アルティンの相互法則は、適切な拡張L / Kに適用することで、これまでに発見されたすべての相互法則を簡単に示唆する。たとえば、K がn乗根を含み、L = K [ a ^{1/ n} ] がKのクンマー拡張である特殊なケースでは、アルティン写像がN _{L / K} ( C _L ) 上で消えるという事実は、ヒルベルト記号に対するヒルベルトの相互法則を示唆する。

ハッセは、アルティンの相互法則の局所類似物として、局所相互法則を導入しました。その 1 つの形式は、局所体のL / Kの有限アーベル拡大に対して、アルティン写像は からガロア群 への同型写像であるとしています。 ${\displaystyle K^{\times }/N_{L/K}(L^{\times })}$${\displaystyle ガロン(L/K)}$

ヒルベルトの相互法則 Π( a , b ) _p =1から古典的な相互法則を得るには、 p をnで割ったときの( a , b ) _pの値を知る必要があります。この明示的な式は、明示的な相互法則と呼ばれることもあります。

べき乗の相互法則は、ヒルベルト記号を用いた二次の相互法則の類似物として次のように定式化できる^[3]。

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\beta }}\right)_{n}\left({\frac {\beta }{\alpha }}\right)_{n}^{-1}=\prod _{{\mathfrak {p}}|n\infty }(\alpha ,\beta )_{\mathfrak {p}}\ .}$

有理相互法則は、単位根を使用せずに有理整数で表現される法則です。

ラングランズ プログラムには、一般簡約代数群に関するいくつかの予想が含まれており、グループ GL ₁の特殊性に対しては、アルティンの相互法則が暗示されています。

山本の相互法則は、二次数体の類数に関する相互法則です。

• ヒルベルトの第九問題
• スタンレーの相互性定理

• Frei, Günther (1994)、「オイラーからアイゼンシュタインまでの相互法則」、佐々木 力 (編)、歴史と数学の交差点。1990 年 8 月 31 日から 9 月 1 日まで東京で開催された数学の歴史シンポジウムで発表された論文、Sci. Networks Hist. Stud.、vol. 15、バーゼル: Birkhäuser、pp. 67–90、doi : 10.1090/S0002-9904-1972-12997-5、ISBN 9780817650292、MR  0308080、Zbl  0818.01002
• David Hilbert (1897)、「Die Theorie der algebraischen Zahlkörper」、Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (ドイツ語)、4 : 175–546、ISSN  0012-0456
• ヒルベルト、デイヴィッド（1998）、代数的数体の理論、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、doi：10.1007/978-3-662-03545-0、ISBN 978-3-540-62779-1、MR  1646901
• Lemmermeyer、Franz (2000)、互恵法。オイラーからエイゼンシュタインまで、Springer Monographs in Mathematics、ベルリン: Springer-Verlag、doi :10.1007/978-3-662-12893-0、ISBN 3-540-66957-4、MR  1761696、Zbl  0949.11002
• レマーマイヤー、フランツ、相互法則。クンマーからヒルベルトまで
• Neukirch、Jürgen (1999)、代数的数論、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften、vol. 322、Norbert Schappacher によるドイツ語からの翻訳、ベルリン: Springer-Verlag、ISBN 3-540-65399-6、ZBL  0956.11021
• Stepanov, SA (2001) [1994]、「相互法則」、数学百科事典、EMS Press
• ワイマン、BF（1972）「相互法則とは何か？」アメリカ数学月刊誌、79（6）：571-586、doi：10.2307/2317083、JSTOR  2317083、MR  0308084訂正、同上80（1973）、281。

• 相互法則とガロア表現：最近のブレークスルー