スライスノット

スライスノットは、4 次元空間に埋め込まれたディスクを囲む 3 次元空間の 数学的ノットです。

結び目が4 次元球体の境界にある場合、その結び目は、それぞれ局所的に平坦または滑らかである場合、位相的にスライスされた結び目または滑らかにスライスされた結び目と呼ばれます。ここでは、 を使用します。3次元球体は4 次元球体の境界です。滑らかに埋め込まれたディスクは局所的に平坦であるため、すべての滑らかにスライスされた結び目は位相的にスライスされます。通常、滑らかにスライスされた結び目は単にスライスとも呼ばれます。両方のタイプのスライス結び目は、3 次元および 4 次元のトポロジーで重要です。 ${\displaystyle K\subset S^{3}}$${\displaystyle B^{4}}$${\displaystyle S^{3}=\partial B^{4}}$ ${\displaystyle S^{3}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{4}:|\mathbf {x} |=1\}}$ ${\displaystyle B^{4}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{4}:|\mathbf {x} |\leq 1\}.}$

滑らかにスライスされた結び目は、リボン結び目の結び目図を使用して説明されることが多く、リボン結び目ではない滑らかにスライスされた結び目が存在するかどうかは未解決の問題です (「スライスリボン予想」)。

局所的に平坦または滑らかであるという条件は定義において重要です。すべての結び目に対して、特異点において局所的に平坦または滑らかではないという例外を除いて、必要な特性を持つ 4 次元球内の円盤である結び目上の円錐を構築できます (ただし、これは自明な結び目に対しては機能します)。

右の図の円盤は 4 次元空間では自己交差を持たないことに注意してください。自己交差は 3 次元空間への投影でのみ発生します。したがって、円盤はすべての点で「正しく」埋め込まれますが、特異点では埋め込まれません (特異点では局所的に平坦ではありません)。

2 つの向き付けられた結び目 は、連結された和がスライス である場合に一致していると言われています。前と同じように、位相的に一致していることと滑らかに一致していることを区別します。を の鏡像として表し、さらに向きが反転しています。関係「一致」は反射的です。なぜなら、 はすべての結び目 に対してスライス だからです。また、推移的であることを示すこともできます。が と一致し、 がと一致する場合、 はと一致します。関係は対称的でもあるため、同値関係です。同値類は、操作として結び目の連結された和とともに、 (位相的または滑らかな) 結び目一致群と呼ばれるアーベル群を形成します。この群の中立要素は、スライス ノット (それぞれ位相的または滑らかな) の集合です。 ${\displaystyle K_{1},K_{2}}$ ${\displaystyle K_{1}\sharp -K_{2}}$${\displaystyle -K_{2}}$${\displaystyle K_{2}}$${\displaystyle K\sharp -K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K_{1}}$${\displaystyle K_{2}}$${\displaystyle K_{2}}$${\displaystyle K_{3}}$${\displaystyle K_{1}}$${\displaystyle K_{3}}$

すべてのリボン結び目は、リボン特異点を除いて、結び目がすでに埋め込まれたディスク（3次元空間）を囲んでいるため、滑らかにスライスされた結び目です。リボン特異点は、ディスクが埋め込まれるように、小さな近傍で4次元空間に変形される場合があります。

交差数の非自明なスライス素数結び目は 21 個あります。これらは、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、およびです。この交差数までは、滑らかなスライスではない位相的スライス結び目はありません。[ ^1]ただし、交差数11 からはそのような例があります。コンウェイ結び目(ジョン・ホートン・コンウェイにちなんで名付けられました) は、位相的には滑らかなスライス結び目ではありません。^[2]一方、コンウェイ結び目のいわゆる「突然変異体」である木下・寺坂結び目は、滑らかなスライスです。ツイスト結び目は、自明な結び目とスティーブドア結び目を除いて、スライスではありません。^[3]交差数 の位相的かつ滑らかなスライス結び目はすべて知られています。^[4] 交差数12までの合成スライス結び目は、 と の形の結び目に加えて、より興味深い2つの結び目とである。^[5]${\displaystyle cr(K)\leq 10}$${\displaystyle 6_{1}}$${\displaystyle 8_{8}}$${\displaystyle 8_{9}}$${\displaystyle 8_{20}}$${\displaystyle 9_{27}}$${\displaystyle 9_{41}}$${\displaystyle 9_{46}}$${\displaystyle 10_{3}}$${\displaystyle 10_{22}}$${\displaystyle 10_{35}}$${\displaystyle 10_{42}}$${\displaystyle 10_{48}}$${\displaystyle 10_{75}}$${\displaystyle 10_{87}}$${\displaystyle 10_{99}}$${\displaystyle 10_{123}}$${\displaystyle 10_{129}}$${\displaystyle 10_{137}}$${\displaystyle 10_{140}}$${\displaystyle 10_{153}}$${\displaystyle 10_{155}}$ ${\displaystyle 6_{1}}$${\displaystyle cr(K)\leq 12}$${\displaystyle K\sharp -K}$${\displaystyle 6_{1}\sharp 3_{1}\sharp -3_{1}}$${\displaystyle 3_{1}\sharp 8_{10}}$${\displaystyle 3_{1}\sharp 8_{11}}$

位相的かつ滑らかなスライス結び目には、次の特性が当てはまります。スライス結び目のアレクサンダー多項式は、整数係数のローラン多項式（フォックス・ミルナー条件）で次のように表すことができます。 ^[6]したがって、結び目の行列式（）は平方数になります。 ${\displaystyle \Delta (t)=f(t)f(t^{-1})}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle =\Delta (-1)}$

署名は一致クラスの不変量であり、スライスノットの署名はゼロです。さらに、署名マップは一致グループから整数への準同型です。2 つの一致クラスの和の署名は、2 つの署名の和です。

• したがって、コンコーダンス グループには無限の順序の要素が含まれます。三つ葉結び目のシグネチャは±2 であり、連結された三つ葉結び目の和のコンコーダンス クラスのシグネチャはであり、したがって 0 ではありません。${\displaystyle n}$${\displaystyle \pm 2n}$
• 一致群には、位数 2 の要素も含まれています。8 の字結び目は、 両生類かつ可逆なので、となります。一致群では となります。8 の字結び目の行列式は 5 で平方数ではないため、この結び目はスライスではなく、一致群における位数は 2 になります。もちろん、一致群で有限位数を持つ結び目のシグネチャは常に 0 になります。${\displaystyle 4_{1}}$${\displaystyle 4_{1}=-4_{1}}$${\displaystyle 4_{1}\sharp 4_{1}=4_{1}\sharp -4_{1}=0}$

一致群の両方の変種について、有限順序の要素が存在するかどうかは不明です。 ${\displaystyle >2}$

一方、2つの一致変種に対して異なる特性を持つ不変量が存在する: 自明なアレクサンダー多項式( )を持つ結び目は常に位相的にスライスされるが、必ずしも滑らかなスライスであるわけではない(コンウェイ結び目がその一例である)。ラスムッセンのs不変量は滑らかなスライスに対しては消滅するが、一般に位相的にスライスされた結び目に対しては消滅しない。^[7]${\displaystyle \Delta (t)=1}$

スライス ノットを使用した上記の一致の定義の代わりとして、2 番目の同等の定義もあります。2 つの向き付けられた結び目とは、(局所的に平坦または滑らかな) 円筒(4 次元空間) の境界である場合に一致します。2 つの結び目の向きは、3 番目の図に示すように、円筒の向きと一致している必要があります。 の境界は向きが異なる2 つであるため^[8]、2 つの鏡像の三つ葉が円筒の境界として示されています。円筒からストリップを切り取って 2 つの結び目を接続するとディスクが生成され、すべての結び目について、接続された合計がスライスであることを示します。両方の定義で、結び目がスライスであるのは、それが自明な結び目と一致する場合のみです。 ${\displaystyle K_{1}}$${\displaystyle K_{2}}$${\displaystyle C=S^{1}\times [0,1]}$${\displaystyle S^{3}\times [0,1]}$${\displaystyle S^{3}\times [0,1]}$${\displaystyle S^{3}}$${\displaystyle K\sharp -K}$

これは、この記事の冒頭の最初の図でも説明できます。左下の極小値にある小さな円盤を切り取ると、この場所の表面の境界は単純な結び目となり、表面は円筒になります。円筒のもう一方の端にはスライス結び目があります。円盤 (または円筒) が滑らかに埋め込まれると、いわゆるモールス位置にわずかに変形できます。

これは、ラジアル関数 r に関する臨界点が幾何学的な意味を持つため便利です。鞍点では、自明なコンポーネントが追加または破壊されます (バンド移動、融合および分裂とも呼ばれます)。スライス ノットの場合、これらのバンド移動は任意の数だけ可能ですが、リボン ノットの場合、融合のみが発生し、分裂は許可されません。

右の図では、一致の幾何学的記述が 90° 回転し、パラメータ r の名前が t に変更されています。この名前は、表面の「映画」の時間的解釈によく適合しています。

スライス結び目と同様の定義は、より大きな種数の面でも行うことができます。したがって、結び目の4 種数(「スライス種数」とも呼ばれる) は、結び目が境界となっている 4 次元空間に埋め込まれた面の最小の種数として定義されます。前と同様に、位相的な 4 種数と滑らかな 4 種数を区別します。最も単純な面である円板の種数が 0 であるため、4 種数が 0 の結び目はスライス結び目です。この不変量は、すでに 3 次元空間に埋め込まれている Seifert 面を使用して定義されるため、4 種数は必ず結び目の種数以下になります。

位相的および滑らかな 4 種数の値が異なる結び目の例を次の表に示します。コンウェイ結び目 11n34 は、すでに述べたように、結び目表の中で位相的だが滑らかではないスライス結び目の最初の例です。表の値から判断すると、滑らかな 4 種数と位相的 4 種数が等しくない場合、常に 1 だけ異なると結論付けることができます。ただし、これは当てはまらず、差は任意の大きさになることがあります。^[9]ただし、差が 1 を超える交互結び目が存在するかどうかは (2017 年現在) わかっていません。^[10]

• デイル・ロルフセン：結び目とつながり、Publish or Perish、1976年、第8章E
• チャールズ・リビングストン：結び目理論、カルス数学モノグラフ、1993年
• チャールズ・リビングストン：古典的結び目コンコーダンスの調査、『結び目理論ハンドブック』第 7 章、エルゼビア、2005 年

• ピーター・タイヒナー：スライスノット：4次元の結び目理論

• リンク一致 – リンク同値関係はアイソトピーより弱いがホモトピーより強い