リーマン予想

リーマンの、与えられた数より小さい素数の数に関する明示的な公式は、リーマンゼータ関数の零点の和に関して、素数が期待される位置の周りで振動する大きさは、ゼータ関数の零点の実部によって制御されると述べています。特に、素数定理の誤差項は零点の位置と密接に関係しています。たとえば、${\displaystyle \beta }$はゼロの実部の上界であり、その場合^{[ 6 ]}${\displaystyle \pi (x)-\operatorname {li} (x)=O\!\left(x^{\beta }\log x\right)}$、 どこ${\displaystyle \pi (x)}$は素数計数関数であり、${\displaystyle \operatorname {li} (x)}$は対数積分関数である。 は既に知られている。${\displaystyle 1/2\leq \beta \leq 1}$[ ^{7 ]​}

ヘルゲ・フォン・コッホは、リーマン予想が素数定理の誤差の「最良の」上限を意味することを証明した。^{[ 8 ]}シェーンフェルト（1976）によるフォン・コッホの結果の正確なバージョンは、リーマン予想が

${\displaystyle |\pi (x)-\operatorname {li} (x)|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\log(x)}$

すべての人々のために${\displaystyle x\geq 2657}$シェーンフェルト（1976）は、リーマン予想が次のことを意味することも示した。

${\displaystyle |\psi (x)-x|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\log ^{2}x}$

すべての人々のために${\displaystyle x\geq 73.2}$、 どこ${\displaystyle \psi (x)}$これはチェビシェフの第2関数です。

エイドリアン・デューデック^{[ 9 ]}は、リーマン予想が次のことを意味することを証明した。${\displaystyle x\geq 2}$素数がある${\displaystyle p}$満足

${\displaystyle x-{\frac {4}{\pi }}{\sqrt {x}}\log x<p\leq x}$。

定数${\displaystyle 4/\pi }$削減される可能性がある${\displaystyle 1+\varepsilon }$ただし、${\displaystyle x}$は十分に大きいと仮定する。これはクラメールの定理の明示的なバージョンである。

リーマン予想は、上記の素数計数関数に加えて、他の多くの算術関数の成長に対して強い制約を与えることを示唆している。

一例として、メビウス関数μが挙げられる。

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}$

は、実部が 1/2 より大きいすべてのsに対して有効であり、右辺の和は収束し、リーマン予想と同等である。このことから、メルテンス関数が次のように定義される場合、次のことも結論付けられる。

${\displaystyle M(x)=\sum _{n\leq x}\mu (n)}$

そして、

${\displaystyle M(x)=O\left(x^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }\right)}$

任意の正のεに対して、 はリーマン予想と同等である ( JE Littlewood、1912 年。例えば、Titchmarsh (1986)の 14.25 節を参照)。n次Redheffer行列の行列式はM ( n )に等しいので、リーマン予想はこれらの行列式の増加に関する条件としても述べることができる。Littlewood の結果はその後、Edmund Landau ^{[ 10 ]}、Edward Charles Titchmarsh ^{[ 11 ]}、Helmut Maier とHugh Montgomery ^{[ 12 ]}、Kannan Soundararajan ^{[ 13 ]}によって何度か改善された。Soundararajan の結果は、リーマン予想を条件として、

${\displaystyle M(x)=O\left(x^{1/2}\exp \left((\log x)^{1/2}(\log \log x)^{14}\right)\right).}$

リーマン予想は、 Mの増加にかなり厳しい制限を与える。なぜなら、Odlyzkoとte Riele (1985)が、やや強いMertens 予想を否定したからである。

${\displaystyle |M(x)|\leq {\sqrt {x}}.}$

もう一つ密接に関連する結果は、ビョルナー（2011）によるもので、リーマン予想は、可除性のもとで整数の格子によって決定される単体複体のオイラー標数が次のようになるという記述と同等であるというものである。${\displaystyle o(n^{1/2+\epsilon })}$すべての人々のために${\displaystyle \epsilon >0}$（発生率代数を参照）。

リーマン予想は、 μ ( n )以外の他の算術関数の成長率に関する多くの予想と同等である。典型的な例はロビンの定理^{[ 14 ]}であり、σ ( n )が次式で与えられるシグマ関数である場合、

${\displaystyle \sigma (n)=\sum _{d\mid n}d}$

それから

${\displaystyle \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n}$

n > 5040 の場合、リーマン予想が真である場合に限り、 γはオイラー・マスケローニ定数である。

関連する境界は、 2002年にジェフリー・ラガリアスによって与えられ、彼はリーマン予想が次の命題と同等であることを証明した。

${\displaystyle \sigma (n)<H_{n}+\log(H_{n})e^{H_{n}}}$

すべての自然数n > 1に対して、${\displaystyle H_{n}}$はn番目の高調波数である。^{[ 15 ]}

リーマン予想は、不等式が成り立つ場合に限り真である。

${\displaystyle {\frac {n}{\varphi (n)}}<e^{\gamma }\log \log n+{\frac {e^{\gamma }(4+\gamma -\log 4\pi )}{\sqrt {\log n}}}}$

これは、すべてのn ≥ 120569#に対して真であり、φ ( n ) はオイラーのトーシェント関数であり、120569# は最初の120569 個の素数の積である。^{[ 16 ]}

別の例はジェローム・フラネルによって発見され、ランダウによって拡張された（フラネル＆ランダウ（1924）を参照）。リーマン予想は、ファレイ数列の項がかなり規則的であることを示すいくつかの命題と同等である。そのような同等性の1つは次のとおりである。F n が 1/ n から 1/1 までの n 次ファレイ数列である場合、_すべてのε > 0に対して次の主張が成り立つ。

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}|F_{n}(i)-{\tfrac {i}{m}}|=O\left(n^{{\frac {1}{2}}+\epsilon }\right)}$

これはリーマン予想と同等である。

${\displaystyle m=\sum _{i=1}^{n}\varphi (i)}$

は、 n次のFarey数列の項数です。

群論の例として、g ( n )が次数nの_対称群Snの要素の最大位数で与えられるランダウ関数である場合、Massias、Nicolas 、 Robin（1988）は、リーマン予想が境界と等価であることを示した。

${\displaystyle \log g(n)<{\sqrt {\operatorname {Li} ^{-1}(n)}}}$

十分に大きなnに対して。

リーマン予想には、他にもさまざまな弱い帰結があります。その一つは、臨界線上のゼータ関数の成長率に関するリンデレーフ予想で、任意のε > 0に対して、

${\displaystyle \zeta \left({\frac {1}{2}}+it\right)=O(t^{\varepsilon }),}$

t →​${\displaystyle \infty }$。

リーマン予想は、臨界帯の他の領域におけるゼータ関数の成長率についてもかなり厳密な境界を示唆している。例えば、それは次のことを示唆している。

${\displaystyle e^{\gamma }\leq \limsup _{t\rightarrow +\infty }{\frac {|\zeta (1+it)|}{\log \log t}}\leq 2e^{\gamma }}$

${\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}e^{\gamma }\leq \limsup _{t\rightarrow +\infty }{\frac {1/|\zeta (1+it)|}{\log \log t}}\leq {\frac {12}{\pi ^{2}}}e^{\gamma }}$

したがって、 ζ (1 + it )の成長率とその逆数は、2 倍まで知ることができる。^{[ 17 ]}

素数定理によれば、平均的には素数pとその後継数の間のギャップはlog pである。しかし、素数間のギャップは平均よりもはるかに大きい場合がある。クラメールは、リーマン予想を仮定すると、すべてのギャップはO ( √ p log p ) であることを証明した。これは、リーマン予想を用いて証明できる最良の境界でさえ、真実と思われるものよりもはるかに弱いケースである。クラメールの予想によれば、すべてのギャップはO ((log p ) ² )であり、これは平均ギャップよりも大きいが、リーマン予想によって示される境界よりもはるかに小さい。数値的な証拠はクラメールの予想を支持している。^{[ 18 ]}

リーマン予想と同等の命題は数多く発見されているが、これまでのところ、それらのどれもリーマン予想の証明（または反証）に大きな進展をもたらしていない。典型的な例をいくつか挙げると以下の通りである。（その他には、因子関数σ ( n ) が関係する。）

リース基準はリース（1916）によって与えられ、境界が

${\displaystyle -\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-x)^{k}}{(k-1)!\zeta (2k)}}=O\left(x^{{\frac {1}{4}}+\epsilon }\right)}$

リーマン予想が成り立つ場合に限り、すべての ε > 0 に対して成り立つ。ハーディ・リトルウッド判定条件も参照のこと。

ナイマン（1950）は、リーマン予想が真であるのは、次の形式の関数の空間が

${\displaystyle f(x)=\sum _{\nu =1}^{n}c_{\nu }\rho \left({\frac {\theta _{\nu }}{x}}\right)}$

ここで、_ρ ( z )はzの小数部分であり、0 ≤ θν ≤ 1であり、

${\displaystyle \sum _{\nu =1}^{n}c_{\nu }\theta _{\nu }=0,}$

は、単位区間上の二乗可積分関数のヒルベルト空間L ² (0,1)において稠密である。Beurling (1955) は、ゼータ関数が 1/ pより大きい実部を持つ零点を持たないのは、この関数空間がL ^p (0,1)において稠密である場合に限ることを示すことで、これを拡張した。この Nyman-Beurling の基準は、Baez-Duarte ^{[ 19 ]}によって、次の場合に強化された。${\displaystyle \theta _{\nu }\in \{1/k\}_{k\geq 1}}$。

セーラム（1953）は、リーマン予想が真であるのは、積分方程式が

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {z^{-\sigma -1}\varphi (z)}{{e^{x/z}}+1}}\,dz=0}$

非自明な有界解を持たない${\displaystyle \varphi }$のために${\displaystyle 1/2<\sigma <1}$。

ワイルの判定条件とは、ある関数の正値性がリーマン予想と同等であるという主張である。これに関連するのがリーの判定条件であり、これはある数列の正値性がリーマン予想と同等であるという主張である。

シュパイザー（1934）は、リーマン予想は、 ζ ( s )の導関数であるζ ′ ( s )がストリップ内に零点を持たないという記述と同等であることを証明した。

${\displaystyle 0<\Re (s)<{\frac {1}{2}}.}$

ζ ( s )が臨界線上に単純な零点しか持たないということは、その導関数が臨界線上に零点を持たないことと同等である。

ファーリー数列は、1924年にジェローム・フラネルとエドモンド・ランダウによって発見された2つの等価性を提供する。

Λで表されるデ・ブルイン・ニューマン定数は、ニコラース・ゴバート・デ・ブルインとチャールズ・M・ニューマンにちなんで名付けられ、関数が

${\displaystyle H(\lambda ,z):=\int _{0}^{\infty }e^{\lambda u^{2}}\Phi (u)\cos(zu)\,du}$、

これは実数パラメータλでパラメータ化され、複素変数zを持ち、超指数関数的に減衰する関数を用いて定義される。

${\displaystyle \Phi (u)=\sum _{n=1}^{\infty }(2\pi ^{2}n^{4}e^{9u}-3\pi n^{2}e^{5u})e^{-\pi n^{2}e^{4u}}}$、

λ ≥ Λの場合に限り、実数ゼロのみを持つ。リーマン予想はH (0, z )のすべてのゼロが実数であるという主張と同等であるため、リーマン予想はΛ ≤ 0という予想と同等である。ブラッド・ロジャースとテレンス・タオは、ゼロが定数の下限であることを証明することにより、実際にはΛ = 0であるという同等性を発見した。 ^{[ 20 ]}ゼロが上限でもあることを証明すれば、リーマン予想が証明されることになる。ニューマンはこの予想（現在は定理）について、「リーマン予想が真であるとしても、かろうじて真であるにすぎないという定理の定量的バージョンである」と指摘した。^{[ 21 ]} 2020 年 4 月現在、上限はΛ ≤ 0.2 である。^{[ 22 ]}

いくつかの応用例では、リーマン予想だけでなく、ディリクレ L 級数や数体のゼータ関数に対する一般化されたリーマン予想が用いられています。リーマン ゼータ関数の多くの基本的な性質は、すべてのディリクレ L 級数に容易に一般化できるため、リーマン ゼータ関数に対するリーマン予想を証明する方法は、ディリクレ L 関数に対する一般化されたリーマン予想にも適用できると考えられます。一般化されたリーマン予想を用いて最初に証明されたいくつかの結果は、後にそれを使用せずに無条件の証明が与えられましたが、これらは通常、はるかに困難でした。以下のリストにある結果の多くは、Conrad (2010)から引用されています。

• 1913年、グロンヴァルは、一般化されたリーマン予想が、ガウスのクラス番号1の虚二次体のリストが完全であることを意味することを示したが、後にベイカー、スターク、ヒーグナーは、一般化されたリーマン予想を使用せずに、このことの無条件証明を与えた。
• 1917年、ハーディとリトルウッドは、一般化されたリーマン予想がチェビシェフの予想を暗示していることを示した。$${\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}\sum _{p>2}(-1)^{(p+1)/2}x^{p}=+\infty ,}$$これは、ある意味で、3 mod 4 の素数は 1 mod 4 の素数よりも多いということを示している。（関連する結果については、素数定理 § 素数競争を参照。）
• 1923年、ハーディとリトルウッドは、一般化リーマン予想が奇数に関するゴールドバッハ予想の弱い形式、すなわち十分大きな奇数はすべて3つの素数の和であることを意味することを示したが、1937年にヴィノグラドフは無条件の証明を与えた。1997年、デシュイラー、エフィンガー、テ・リーレ、ジノヴィエフは、一般化リーマン予想が5より大きいすべての奇数は3つの素数の和であることを意味することを示した。2013年、ハラルド・ヘルフォットは、デイビッド・J・プラットの協力を得て行ったいくつかの広範な計算を条件として、GRH依存性なしで3項ゴールドバッハ予想を証明した。
• 1934年、チョウラは、一般化されたリーマン予想により、等差数列a mod mの最初の素数は、ある固定定数Kに対して最大でKm ² log( m ) ²であることを示す。
• 1967年、フーレイは、一般化されたリーマン予想が原始根に関するアルティンの予想を暗示していることを示した。
• 1973年、ワインバーガーは、一般化されたリーマン予想がオイラーの等位数のリストが完全であることを示唆していることを示した。
• ワインバーガー（1973）は、すべての代数体のゼータ関数に対する一般化されたリーマン予想は、クラス番号1を持つ任意の数体がユークリッド数体か、判別式が-19、-43、-67、または-163の虚数二次数体のいずれかであることを意味することを示した。
• 1976年、G.ミラーは、一般化されたリーマン予想から、ミラーテストを用いて多項式時間で数が素数かどうかを判定できることを示した。2002年、マニンドラ・アグラワル、ニーラジ・カヤル、ニティン・サクセナは、AKS素数判定法を用いてこの結果を無条件に証明した。
• オドリツコ（1990）は、一般化されたリーマン予想が、数体の判別式と類数についてより正確な推定値を与えるためにどのように使用できるかを論じた。
• 小野とサウンダララジャン（1997）は、一般化されたリーマン予想は、ラマヌジャンの積分二次形式x ² + y ² + 10 z ²が、正確に 18 個の例外を除いて、局所的に表現されるすべての整数を表現することを意味することを示した。
• 2021年、アレクサンダー（アレックス）ダンとマクシム・ラジウィルは、 GRHの仮定の下で、 3次ガウス和に関するパターソンの予想を証明した。 ^{[ 23 ] [ 24 ]}

RHの帰結の中には、その否定の帰結でもあるものがあり、したがって定理である。アイルランドとローゼン（1990 、p.359 ）は、ヘッケ、デューリング、モルデル、ハイルブロンの定理についての議論の中で次のように述べている。 

ここでの証明方法は実に驚くべきものです。一般化リーマン予想が真であれば、定理は真です。一般化リーマン予想が偽であれば、定理は真です。したがって、定理は真です。

一般化リーマン予想が偽であるとはどういう意味なのかを理解する際には注意が必要である。どのクラスのディリクレ級数が反例を持つのかを正確に特定する必要がある。

リーマン予想は、リーマンゼータ関数を形式的には類似しているものの、はるかに一般的な大域L関数に置き換えることで一般化できる。このより広い枠組みでは、大域L関数の非自明な零点の実部は1/2になると予想される。リーマン予想が数学において真に重要な意味を持つのは、単一のリーマンゼータ関数のみを対象とした古典的なリーマン予想ではなく、こうした予想なのである。

最も一般的な一般化リーマン予想は、リーマン予想をすべてのディリクレL関数に拡張したものである。特に、ジーゲル零点（ 1/2と1の間のL関数の零点）は存在しないという予想を意味する。

拡張リーマン予想は、代数体上のすべてのデデキントゼータ関数にリーマン予想を拡張したものです。有理数のアーベル拡張に対するデデキントゼータ関数はディリクレL関数の積として表すことができ、リーマンゼータ関数の極は1にしか存在しないため（したがって、極が非自明なゼロを打ち消すことはありません）、このバージョンのリーマン予想は一般化されたリーマン予想を意味します。

リーマン予想は、数体のヘッケ指標のL関数にも拡張できます。ディリクレL関数は有限指標のヘッケL関数であるため、この予想は直接的に一般化されたリーマン予想を意味します。デデキントゼータ関数はヘッケL関数の積として表すことができ、ヘッケL関数の極は1にしか存在しないため、このバージョンのリーマン予想はデデキントゼータ関数についても同様に成り立ちます。

リーマン予想の拡張には、最も一般的なと思われる2つのアプローチがあります。大リーマン予想は、ヘッケ固有形式のメリン変換など、すべての保型L関数にリーマン予想を拡張します。セルバーグクラスに対するリーマン予想は、直接式で定義される関数ではなく、いくつかの性質を満たす関数（少なくとも、通常ゼータ関数またはL関数と呼ばれるほとんどの関数が満たすと推測される性質）にリーマン予想を拡張します。セルバーグクラスは保型L関数のクラスと等しく、したがってこれらのアプローチは同等であると予想されますが、これはそれ自体が重要な未解決問題であり、ラングランズ・プログラムの一部です。

アルティン（1924）は、（二次）関数体のグローバルゼータ関数を導入し、それらに対するリーマン予想の類似性を予想した。これは、種数1の場合についてはハッセによって、一般についてはワイル（1948）によって証明されている。例えば、サイズq（qは奇数）の有限体の二次特性のガウス和の絶対値が${\displaystyle {\sqrt {q}}}$これは実際には関数体の設定におけるリーマン予想の一例である。このことから、ワイル（1949）はすべての代数多様体に対して同様の主張を予想し、その結果として得られたワイル予想はピエール・ドリーニュによって証明された。^{[ 29 ]}

算術ゼータ関数は、リーマンゼータ関数、デデキントゼータ関数、および有限体上の多様体のゼータ関数を、整数上のあらゆる算術スキームまたは有限型スキームに一般化したものです。クロネッカー次元nの正則連結等次元算術スキームの算術ゼータ関数は、適切に定義されたL因子と補助因子の積に因数分解できます。^{[ 30 ]}関数方程式と有理型接続を仮定すると、L因子の一般化されたリーマン予想は、臨界帯内の零点が${\displaystyle \Re (s)\in (0,n)}$中心線上に位置する。同様に、正則連結等次元算術スキームの算術ゼータ関数に関する一般化リーマン予想は、臨界帯内の零点が垂直線上に位置すると述べている。${\displaystyle \Re (s)=1/2,3/2,\dots ,n-1/2}$そして、臨界帯内部の極は垂直線上に位置する。${\displaystyle \Re (s)=1,2,\dots ,n-1}$これは正標数のスキームでは知られており、ピエール・ドリーニュ^{[ 31 ]}から導かれるが、標数ゼロでは全く知られていない。

セルバーグ（1956）は、リーマン面のセルバーグゼータ関数を導入した。これはリーマンゼータ関数と類似しており、関数方程式を持ち、オイラー積に似た無限積を持つが、素数ではなく閉測地線上で計算される。セルバーグトレース公式は、素数論における明示的な公式のこれらの関数の類似物である。セルバーグは、セルバーグゼータ関数がリーマン予想の類似物を満たし、その零点の虚部がリーマン面のラプラシアン演算子の固有値と関連していることを証明した。

有限グラフのイハラゼータ関数は、2×2 p進特殊線形群の離散部分群の文脈でイハラ・ヤスタカによって初めて導入されたセルバーグゼータ関数の類似物である。正則有限グラフは、効率的な通信ネットワークの数学モデルであるラマヌジャングラフであるが、それはイハラゼータ関数が、 T. 砂田によって指摘されたリーマン予想の類似物を満たす場合に限る。

モンゴメリー（1973）は、ゼータ関数の（適切に正規化された）零点の相関関数は、ランダムなエルミート行列の固有値の相関関数と同じであるという対相関予想を提唱した。オドリツコ（1987）は、これらの相関関数の大規模な数値計算によってこれが裏付けられていることを示した。

モンゴメリーは、（リーマン予想を仮定すると）少なくとも 2/3 の零点が単純であることを示し、関連する予想として、ゼータ関数のすべての零点が単純である（またはより一般的には、虚部の間に非自明な整数線形関係がない）としている。リーマン ゼータ関数を一般化した代数体のデデキント ゼータ関数は、しばしば複数の複素零点を持つ。 ^{[ 32 ]}これは、デデキント ゼータ関数がアルティン L 関数のべき乗の積として因数分解されるため、アルティン L 関数の零点がデデキント ゼータ関数の複数の零点を生み出すことがあるためである。複数の零点を持つゼータ関数の他の例としては、いくつかの楕円曲線の L 関数がある。これらは、臨界線の実点で複数の零点を持つことがある。バーチ＝スウィンナートン＝ダイアー予想は、この零点の多重度が楕円曲線のランクに等しいと予測している。

リーマン予想の類似物を持つゼータ関数の例は他にも多数あり、そのうちいくつかは証明されている。関数体のゴスゼータ関数はリーマン予想を持ち、これはSheats (1998)によって証明されている。岩澤理論の主な予想は、円分体についてはBarry MazurとAndrew Wilesによって、完全実体についてはWilesによって証明されており、 p進L関数の零点を作用素の固有値と同一視するもので、 p進L関数のヒルベルト・ポリア予想の類似物と考えることができる。^{[ 33 ]}

ヒルベルトとポリアは、リーマン予想を導出する一つの方法として、自己共役作用素を見つけることを提案した。この作用素の存在から、実固有値に関する基準を適用したときに、 ζ ( s )の零点の実部に関する記述が導かれる。この考えを裏付ける証拠は、零点が何らかの作用素の固有値に対応するリーマンゼータ関数の類似物から得られる。有限体上の多様体のゼータ関数の零点は、エタールコホモロジー群上のフロベニウス要素の固有値に対応し、セルバーグゼータ関数の零点は、リーマン面上のラプラシアン作用素の固有値であり、 p 進ゼータ関数の零点は、イデアル類群上のガロア作用の固有ベクトルに対応する。

オドリツコ（1987）は、リーマンゼータ関数の零点の分布が、ガウスユニタリーアンサンブルから抽出されたランダム行列の固有値といくつかの統計的性質を共有していることを示した。これはヒルベルト・ポリア予想をある程度裏付けるものである。

1999年、マイケル・ベリーとジョナサン・キーティングは、未知の量子化が存在すると推測した。${\displaystyle {\hat {H}}}$古典ハミルトニアンH = xpの $${\displaystyle \zeta (1/2+i{\hat {H}})=0}$$ さらに強く言えるのは、リーマン零点が演算子のスペクトルと一致するということである。${\displaystyle 1/2+i{\hat {H}}}$これは、ハイゼンベルクの不確定性原理につながる正準量子化とは対照的である。${\displaystyle \sigma _{x}\sigma _{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}}$そして自然数は量子調和振動子のスペクトルである。重要な点は、ハミルトニアンが自己共役演算子である必要があり、それによって量子化がヒルベルト・ポリア・プログラムの実現となるということである。この量子力学の問題に関連して、ベリーとコーンズは、ハミルトニアンのポテンシャルの逆関数が関数の 半微分と関連していることを提案した。$${\displaystyle N(s)={\frac {1}{\pi }}\operatorname {Arg} \xi (1/2+i{\sqrt {s}})}$$ 次に、ヒルベルト・ポリアのアプローチでは $${\displaystyle V^{-1}(x)={\sqrt {4\pi }}{\frac {d^{1/2}N(x)}{dx^{1/2}}}.}$$ これにより、固有値がリーマン零点の虚部の二乗であるハミルトニアンが得られ、また、このハミルトニアン演算子の関数行列式はリーマンξ関数そのものとなる。実際、リーマンξ関数は関数行列式（アダマール積） に比例する。$${\displaystyle \det(H+1/4+s(s-1))}$$$${\displaystyle {\frac {\xi (s)}{\xi (0)}}={\frac {\det(H+s(s-1)+1/4)}{\det(H+1/4)}}.}$$ しかし、この演算子は、ポテンシャルの逆関数（陰関数）は含まれるがポテンシャル自体は含まれないため、実際には役に立たない。有限体上のリーマン予想との類似性から、零点に対応する固有ベクトルを含むヒルベルト空間は、整数のスペクトルSpec ( Z )の何らかの第 1コホモロジー群である可能性がある。デニンガー (1998)は、そのようなコホモロジー理論を見つけるためのいくつかの試みについて説明した。^{[ 34 ]}

ザギエ（1981）は、上半平面上に、ラプラシアン演算子の下でリーマンゼータ関数の零点に対応する固有値を持つ不変関数の自然な空間を構築し、この空間上に適切な正定値内積の存在を示すことができれば、リーマン予想が導かれるだろうと述べた。カルティエ（1982）は、奇妙なバグのためにコンピュータプログラムがリーマンゼータ関数の零点を同じラプラシアン演算子の固有値としてリストした関連例について議論した。

Schumayer & Hutchinson (2011)は、リーマンゼータ関数に関連する適切な物理モデルを構築しようとする試みのいくつかを調査した。

リー・ヤンの定理は、統計力学における特定の分配関数の零点はすべて実部が 0 に等しい「臨界線」上に位置することを述べており、これはリーマン予想との関係についてのいくつかの憶測につながっている。^{[ 35 ]}

パル・トゥランは、次のような機能があることを示しました。 $${\displaystyle \sum _{n=1}^{N}n^{-s}}$$s の実部が1より大きい 場合、ゼロは存在しない。$${\displaystyle T(x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\lambda (n)}{n}}\geq 0{\text{ for }}x>0,}$$ ここで、λ( n )はnがr個の素因数を持つ場合(−1) ^rで与えられるリウヴィル関数である。 ^{[ 36 ]}彼は、これがリーマン予想が真であることを意味することを示した。しかし、Haselgrove (1958)はT ( x )が無限に多くのxに対して負であることを証明し（また、密接に関連するPólya予想も否定した）、Borwein、Ferguson & Mossinghoff (2008)は、そのようなxの最小値は72 185 376 951 205であることを示した。Spira (1968)は数値計算により、 N = 19 の場合の上記の有限ディリクレ級数には実部が 1 より大きい零点が存在することを示した。Turán はまた、やや弱い仮定、すなわち、上記の有限ディリクレ級数において、大きなNに対して実部が1 + N ^{−1/2+ ε}より大きい零点が存在しないという仮定も、リーマン予想を導くことを示したが、 Montgomery (1983)は、十分に大きなNに対して、これらの級数には実部が1 + (log log N )/(4 log N )より大きい零点が存在することを示した。したがって、Turán の結果は自明に正しいものであり、リーマン予想の証明には役立たない。

アラン・コンヌは、リーマン予想と非可換幾何学の関係について述べ、イデル類群のアデル類空間への作用に対するセルバーグのトレース公式の適切な類似物がリーマン予想を導くことを示した。^{[ 37 ]}これらのアイデアの一部はラピダス（2008）で詳しく説明されている。

ルイ・ド・ブランジュは、リーマン予想が整関数の特定のヒルベルト空間上の正値条件から導かれることを示した。^{[ 38 ]} しかし、コンレイとリー（2000）は、必要な正値条件が満たされないことを示した。この障害にもかかわらず、ド・ブランジュは同じ路線でリーマン予想の証明を試みたが、これは他の数学者には広く受け入れられていない。^{[ 39 ]}

リーマン予想は、ゼータ関数の零点が準結晶を形成することを示唆している。準結晶とは、離散的な台を持ち、そのフーリエ変換も離散的な台を持つ分布である。 ダイソン（2009）は、1次元準結晶を分類、あるいは少なくとも研究することによって、リーマン予想を証明しようと試みることを提案した。

幾何学的次元が 1 の場合（例えば代数体）、幾何学的次元が 2 の場合（例えば数体上の楕円曲線の正則モデル） 、モデルの算術ゼータ関数に関する一般化されたリーマン予想の 2 次元部分は、ゼータ関数の極を扱います。次元 1 では、テイトの論文におけるゼータ積分の研究は、リーマン予想に関する新たな重要な情報をもたらしません。これとは対照的に、次元 2 では、イヴァン・フェセンコによるテイトの論文の 2 次元一般化に関する研究は、ゼータ関数と密接に関連するゼータ積分の積分表現を含んでいます。次元 1 では不可能なこの新しい状況では、ゼータ積分と関連するアデル群を介してゼータ関数の極を研究することができます。ゼータ積分に関連する境界関数の 4 階微分が正であるというイヴァン・フェセンコの関連する予想は、本質的に一般化されたリーマン予想の極部分を暗示しています。^{[ 40 ]}鈴木（2011 ）は、後者がいくつかの技術的な仮定とともにフェセンコの予想を導くことを証明した。 

有限体上のリーマン予想の証明において、ドリーニュは積多様体のゼータ関数を用いました。積多様体のゼータ関数の零点と極は、元のゼータ関数の零点と極の和に対応しており、これによって元のゼータ関数の零点の実部を制限しました。同様に、黒川（1992）は、零点と極がリーマンゼータ関数の零点と極の和に対応する多重ゼータ関数を導入しました。級数が収束するように、彼は零点または極の和がすべて非負の虚部を持つものに限定しました。これまでのところ、多重ゼータ関数の零点と極に関する既知の制限は、リーマンゼータ関数の零点に対する有用な評価を与えるには十分ではありません。

関数方程式と引数の原理を組み合わせると、虚部が 0 からTの間にあるゼータ関数の零点の数は次のように与えられることがわかる。

${\displaystyle N(T)={\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\xi (s))={\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\Gamma ({\tfrac {s}{2}})\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)s(s-1)/2)}$

s = 1/2 + iTの場合、引数は∞ + iTで引数 0 から始まり、Im( s ) = Tの線に沿って連続的に変化させることで定義されます。これは、大きくてもよく理解されている項の和です。

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\Gamma ({\tfrac {s}{2}})\pi ^{-s/2}s(s-1)/2)={\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}+7/8+O(1/T)}$

そして小さくてやや謎めいた用語

${\displaystyle S(T)={\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {Arg} } (\zeta (1/2+iT))=O(\log T).}$

したがって、 T付近の虚数部を持つ零点の密度は約 log( T )/(2 π ) であり、関数Sはこれからの小さなずれを表します。関数S ( t ) はゼータ関数の各零点で 1 ずつジャンプし、t ≥ 8の場合は、導関数が−log tに近い零点間で単調に減少します。

Trudgian (2014)は、T > eの場合、

${\displaystyle |N(T)-{\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi e}}|\leq 0.112\log T+0.278\log \log T+3.385+{\frac {0.2}{T}}}$。

カラツバ（1996）は、すべての区間（T、T + H ]が${\displaystyle H\geq T^{{\frac {27}{82}}+\varepsilon }}$少なくとも

${\displaystyle H(\log T)^{\frac {1}{3}}e^{-c{\sqrt {\log \log T}}}}$

関数S ( t ) の符号が変化する点。

セルバーグ（1946）は、 Sの偶数乗の平均モーメントが次のように与えられることを示した。

${\displaystyle \int _{0}^{T}|S(t)|^{2k}dt={\frac {(2k)!}{k!(2\pi )^{2k}}}T(\log \log T)^{k}+O(T(\log \log T)^{k-1/2}).}$

これは、S ( T )/(log log T ) ^{1/2 が}平均 0、分散 2 π ^2のガウス型確率変数に似ていることを示唆しています( Ghosh (1983)はこの事実を証明しました)。特に、| S ( T ) |は通常 (log log T ) ^1/2付近ですが、時折はるかに大きくなります。S ( T ) の正確な成長のオーダーはわかっていません。リーマンの元の境界S ( T ) = O (log T )に対する無条件の改善はありませんが、リーマン予想はわずかに小さい境界S ( T ) = O (log T /log log T )を示唆しています。^{[ 17 ]}実際のオーダーはこれよりやや小さいかもしれません。S ( T ) と同じ分布を持つランダム関数はlog ( T ) 1/2^程度のオーダーで成長する傾向があるためです。反対方向には小さすぎることはない。セルバーグ（1946）はS（T）≠ o（（log T）^1/3 /（log log T）^7/3）であることを示し、リーマン予想を仮定するとモンゴメリーはS（T）≠ o（（log T）^1/2 /（log log T）^1/2）であることを示した。

数値計算により、S が非常にゆっくりと成長することが確認されました: T < 280の場合、| S ( T ) | < 1 、 T < 280の場合、 | S ( T ) | < 26,800,000であり、これまでに見つかった| S ( T ) |の最大値は 3よりそれほど大きくない。^{[ 41 ]}

リーマンの推定S ( T ) = O (log T )はゼロ間のギャップが有界であることを意味し、リトルウッドはこれを少し改善し、それらの虚部間のギャップが 0 に近づくことを示した。

アダマール（1896年）とド・ラ・ヴァレ＝プッサン（1896年）は、それぞれ独立に、直線Re( s ) = 1上に零点が存在しないことを示した。関数方程式と、実部が 1 より大きい零点が存在しないという事実とを合わせると、すべての非自明な零点は、臨界帯0 < Re( s ) < 1の内部に存在しなければならないことが示された。これは、素数定理の最初の証明における重要なステップであった。

ゼータ関数が実部1の零点を持たないという元の証明はどちらも類似しており、ζ (1 + it )がゼロであればζ (1 + 2 it )が特異であることを示すことに依存しているが、これは不可能である。これを実現する一つの方法は、不等式を用いることである。

${\displaystyle |\zeta (\sigma )^{3}\zeta (\sigma +it)^{4}\zeta (\sigma +2it)|\geq 1}$

σ > 1、t は実数で、 σ → 1の極限を見ると、この不等式が得られます。オイラー積の対数の実部を取ると、次のようになります。

${\displaystyle |\zeta (\sigma +it)|=\exp \Re \sum _{p^{n}}{\frac {p^{-n(\sigma +it)}}{n}}=\exp \sum _{p^{n}}{\frac {p^{-n\sigma }\cos(t\log p^{n})}{n}},}$

ここで、和はすべての素数のべき乗p ⁿについて取られるので、

${\displaystyle |\zeta (\sigma )^{3}\zeta (\sigma +it)^{4}\zeta (\sigma +2it)|=\exp \sum _{p^{n}}p^{-n\sigma }{\frac {3+4\cos(t\log p^{n})+\cos(2t\log p^{n})}{n}}}$

これは、不等式により、和のすべての項が正であるため、少なくとも 1 になります。

${\displaystyle 3+4\cos(\theta )+\cos(2\theta )=2(1+\cos(\theta ))^{2}\geq 0.}$

プラットとトラジアン^{[ 22 ]}によるリーマン予想の反例を探すための最も広範なコンピュータ探索では、 | t | ≤の場合にそれが検証された。3.000 175 3328 × 10 ¹²。それ以上に、ゼロのない領域は、ゼロになり得るσ + i tに関する不等式として知られています。最も古いバージョンは、 De la Vallée-Poussin (1899–1900)によるもので、正の定数Cに対して1 − σ ≥ ⁠ C / log( t ) ⁠を満たすゼロのない領域が存在することを証明しました。言い換えれば、ゼロはσ = 1 の線に近すぎることはできません。この線の近くにゼロのない領域があります。これは、Vinogradov の平均値の定理などの方法を使用して、複数の著者によって拡張されています。

モッシングホフ、トラジアン、ヤンによる最新の論文^{[ 42 ]}は2022年12月に発表されたもので、2002年のケビン・フォード、2015年のモッシングホフとトラジアン自身、そして2022年10月のペース・ニールセンによるフォードの結果をわずかに改善した4つのゼロフリー領域を提供している。

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {1}{5.558691\log |t|}}}$いつでも${\displaystyle |t|\geq 2}$、

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {1}{55.241(\log {|t|})^{2/3}(\log {\log {|t|}})^{1/3}}}}$いつでも${\displaystyle |t|\geq 3}$（境界内の既知の最大の領域）${\displaystyle 3.0001753328\cdot 10^{12}\leq |t|\leq \exp(64.1)\approx 6.89\cdot 10^{27}}$)

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {0.04962-{\frac {0.0196}{1.15+\log 3+{\frac {1}{6}}\log t+\log \log t}}}{0.685+\log 3+{\frac {1}{6}}\log t+1.155\cdot \log \log t}}}$いつでも${\displaystyle |t|\geq 1.88\cdot 10^{14}}$（境界内の既知の最大の領域）${\displaystyle \exp(64.1)\leq |t|\leq \exp(1000)\approx 1.97\cdot 10^{434}}$） そして

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {0.05035}{{\frac {27}{164}}(\log {|t|})+7.096}}+{\frac {0.0349}{({\frac {27}{164}}(\log {|t|})+7.096)^{2}}}}$いつでも${\displaystyle |t|\geq \exp(1000)}$（その境界内で既知の最大の領域）

この論文では、2 番目のゼロフリー領域の改善も提示しているが、その境界は、${\displaystyle |t|}$この領域は、論文の証明の要件を満たすために「十分に大きい」と単に仮定されているだけです。

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {1}{48.1588(\log {|t|})^{2/3}(\log {\log {|t|}})^{1/3}}}}$。

1914年にゴッドフリー・ハロルド・ハーディは、${\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}$無限に多くの実数零点を持つ。

ハーディとジョン・エデンソー・リトルウッドによる実数零点間の距離に関する次の 2 つの予想${\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}$そして零点の密度について${\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}$インターバル中に${\displaystyle (T,T+H]}$十分に大きい${\displaystyle T>0}$、 そして${\displaystyle H=T^{a+\varepsilon }}$そして可能な限り小さな値で${\displaystyle a>0}$、 どこ${\displaystyle \varepsilon >0}$は任意に小さな数であり、リーマンゼータ関数の研究において2つの新たな方向性を開拓する。

1. いかなる場合でも${\displaystyle \varepsilon >0}$下限が存在する${\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}$そのため、${\displaystyle T\geq T_{0}}$そして${\displaystyle H=T^{{\tfrac {1}{4}}+\varepsilon }}$間隔${\displaystyle (T,T+H]}$関数の奇数次のゼロを含む${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}$。

させて${\displaystyle N(T)}$実数ゼロの総数とし、${\displaystyle N_{0}(T)}$関数の奇数次の零点の総数とする${\displaystyle ~\zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)~}$間隔上に位置する${\displaystyle (0,T]~}$。

2. いかなる場合でも${\displaystyle \varepsilon >0}$存在する${\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}$そしていくつか${\displaystyle c=c(\varepsilon )>0}$、${\displaystyle T\geq T_{0}}$そして${\displaystyle H=T^{{\tfrac {1}{2}}+\varepsilon }}$不平等${\displaystyle N_{0}(T+H)-N_{0}(T)\geq cH}$それは本当です。

アトレ・セルバーグはハーディ・リトルウッド2の問題を調査し、任意のε > 0に対して、そのようなが存在することを証明した。${\displaystyle T_{0}=T_{0}(\varepsilon )>0}$また、c = c ( ε ) > 0であり、${\displaystyle T\geq T_{0}}$そして${\displaystyle H=T^{0.5+\varepsilon }}$不平等 ${\displaystyle N(T+H)-N(T)\geq cH\log T}$これは真実である。^{[ 44 ]}セルバーグは、これをさらに厳しくできると推測した。${\displaystyle H=T^{0.5}}$アナトリー・カラツバは、条件 0 < ε < 0.001 を満たす固定εに対して、十分に大きなTと${\displaystyle H=T^{a+\varepsilon }}$、${\displaystyle a={\tfrac {27}{82}}={\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{246}}}$区間( T , T + H )には、リーマンゼータ関数の実数零点が少なくともcH log( T )個含まれる。${\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}$したがって、セルバーグ予想が確認された。^{[ 45 ]}セルバーグとカラツバの推定値は、 T → ∞のときの成長の次数に関して改善することはできない。

カラツバ（1992）は、セルバーグ予想の類似がほぼすべての区間（T、T + H ]、${\displaystyle H=T^{\varepsilon }}$ここで、εは任意の小さな固定された正の数である。カラツバ法は、臨界線の「超短い」区間、すなわち、長さHが任意の小さな次数Tよりもゆっくりと増加する区間( T , T + H ]上のリーマンゼータ関数の零点を調べることを可能にする。特に、彼は任意の与えられた数εに対して、${\displaystyle \varepsilon _{1}}$条件を満たす${\displaystyle 0<\varepsilon ,\varepsilon _{1}<1}$ほぼすべての区間( T、T + H ]は${\displaystyle H\geq \exp {\{(\log T)^{\varepsilon }\}}}$少なくとも${\displaystyle H(\log T)^{1-\varepsilon _{1}}}$関数の零点${\displaystyle \zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}$この推定値は、リーマン予想から導かれる値と非常に近い。

機能

${\displaystyle \pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma ({\tfrac {s}{2}})\zeta (s)}$

臨界帯ではゼータ関数と同じ零点を持ち、関数方程式により臨界線上では実数となるため、関数がこれらの点で符号が逆であることを数値的に確認することで、2点間の実数線上に零点が存在することを証明できる。通常は次のように記述する。

${\displaystyle \zeta ({\tfrac {1}{2}}+it)=Z(t)e^{-i\theta (t)}}$

ここで、ハーディのZ 関数とリーマン-ジーゲルのシータ関数θは、この条件と、 θ (0)  = 0を満たす滑らかな実関数であるという条件によって一意に定義されます。 関数Z の符号が変化する多くの区間を見つけることで、臨界線上に多くの零点が存在することを示すことができます。零点の虚部Tが与えられた値までリーマン予想を検証するには、この領域で線外に零点がさらに存在しないことも確認する必要があります。これは、チューリングの方法を使用して領域内の零点の総数を計算し、それが線上で見つかった零点の数と同じであることを確認することで実行できます。これにより、任意の所望のTの値まで計算によってリーマン予想を検証できます(この領域のゼータ関数のすべての零点が単純で臨界線上にある場合)。^{[ 46 ] [ 47 ]}

これらの計算は、推定にも使用できます。${\displaystyle \pi (x)}$有限範囲の場合${\displaystyle x}$例えば、2020年の最新の結果（高さまでゼロ）を使用すると${\displaystyle 3\times 10^{12}}$）では、

${\displaystyle |\pi (x)-\operatorname {li} (x)|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\log(x),\qquad {\text{for }}2657\leq x\leq 1.101\times 10^{26}.}$

一般に、この不等式は、

${\displaystyle x\geq 2657}$そして${\displaystyle {\frac {9.06}{\log {\log {x}}}}{\sqrt {\frac {x}{\log {x}}}}\leq T,}$

どこ${\displaystyle T}$は、リーマン予想がすべての零点に対して成り立つような、既知の最大の値である。${\displaystyle \rho }$と${\displaystyle \Im {\left(\rho \right)}\in \left(0,T\right]}$[ ^{48 ]​}

ゼータ関数の零点の計算例を以下に示します。ここで、零点の「高さ」はその虚部の大きさであり、n番目の零点の高さはγ _nで表されます。これまでに確認された零点はすべて臨界線上にあり、単純な零点です。（多重零点があると、零点間の符号変化を見つけることに依存する零点探索アルゴリズムに問題が生じます。）零点の表については、Haselgrove & Miller (1960)またはOdlyzko を参照してください。

グラム点とは、臨界線 1/2  + it上で、ゼータ関数が実数でゼロでない点のことです。臨界線上のゼータ関数の式ζ (1/2 + it ) = Z ( t ) e ^{− iθ ( t )} （ハーディ関数Zは実数tに対して実数、θはリーマン・ジーゲルのシータ関数）を用いると、 sin( θ ( t )) = 0のときにゼータが実数になることがわかります。これは、 θ ( t ) がπの整数倍であることを意味し、 θの式を逆算することでグラム点の位置を比較的簡単に計算できます。通常、グラム点にはn = 0, 1, ...のg _nという番号が付けられ、g _{n は}θ ( t ) = n πの唯一の解です。 

グラムは、連続する2つのグラム点の間にゼータ関数の零点がちょうど1つ存在することが多いことに気づき、ハッチンソンはこの観察をグラムの法則と呼んだ。他にも、グラムの法則と呼ばれる密接に関連する記述がいくつかある。例えば、(−1) ⁿ Z ( g _n )は通常正であり、Z ( t ) は通常、連続するグラム点で反対の符号を持つ。最初のいくつかの零点（青色）と最初のいくつかのグラム点g _nの虚部γ _{n を}次の表に示す。

_{グラムの法則の最初の破綻は、} 127番目のゼロとグラム点g126で発生し、これらは「間違った」順序になっています。

グラム点tは、 1/2 + itでゼータ関数が正である場合に「良い」と呼ばれます。Zの符号が「間違っている」 「悪い」グラム点のインデックスは126、134、195、211、... ( OEISのシーケンスA114856 )です。グラムブロックは、2 つの良いグラム点によって囲まれた区間であり、その間のすべてのグラム点が悪いものです。Rosser 、Yohe 、 Schoenfeld (1969)によるグラムの法則の改良版である Rosser のルールは、ブロック内の個々のグラム区間の一部にちょうど 1 つのゼロが含まれていない場合でも、グラムブロックには期待される数のゼロ (グラム区間の数と同じ) が含まれていることが多いと述べています。例えば、g ₁₂₅とg _{127で囲まれた区間は、一意の不良グラム点}g ₁₂₆を含むグラムブロックであり、期待される数の 2 個のゼロを含みますが、その 2 つのグラム区間のどちらにも一意のゼロは含まれていません。Rosser らは、最初の 300 万個のゼロには Rosser の規則の例外がないことを確認しましたが、ゼータ関数全体では Rosser の規則には無限に多くの例外があります。

グラムの法則とロッサーの法則はどちらも、ある意味でゼロは期待される位置からあまり離れないと述べています。ゼロが期待される位置からどれだけ離れているかは、上で定義した関数Sによって制御されます。この関数は非常にゆっくりと増加します。その平均値は (log log T ) ^1/2のオーダーであり、T が 10 ²⁴付近のときにのみ 2 に達します。これは、両方の法則が小さいTの場合にはほとんどの場合成り立つものの、最終的にはしばしば破綻することを意味します。実際、Trudgian (2011) は、グラムの法則とロッサーの法則の両方が、正の割合のケースで破綻することを示しました。具体的には、約 66% のケースで 1 つのゼロが 2 つの連続するグラム点に囲まれると予想されますが、17% のケースではゼロがなく、17% のケースでは長期的にそのようなグラム区間に 2 つのゼロが存在すると予想されますHanga (2020)。

リーマン予想を仮定すると、臨界線上のゼータ関数の零点の分布を支配するさらなる規則性について問うことができる。 1 つの推測は、ゼータ関数の臨界零点が、大きなランダムエルミート行列の固有値のように統計的に振る舞うというものである。 この考えは、ヒュー・モンゴメリーによるゼータ関数の零点のペア相関予想に関する研究から始まった。 ^{[ 50 ]}高さとともに零点の密度が増加することを考慮して適切な再スケーリングを行った後、推測されたペア相関関数は、ランダム行列理論のガウスユニタリーアンサンブル(GUE)の固有値のそれと一致する。^{[ 51 ] [ 52 ]}

この関連性は、 Andrew Odlyzkoによって数値的に検証され、臨界線上の高いゼロの間隔統計が GUE ランダム行列理論の予測とよく一致することがわかった。^{[ 53 ] [ 54 ]} この一致は、最近傍間隔を超えてより高次の相関関数にまで及び、ゼロがランダム行列と同じ局所統計によってモデル化されているという強力な証拠として広く認識されている。^{[ 55 ] [ 56 ]}

ランダム行列のアナロジーは、ヒルベルト・ポリア予想や量子カオスの考え方にも関連している。量子カオス系では、固有値はしばしばランダム行列の統計に従うため、ゼータ関数の零点に同じ統計が現れることは、それらが自己共役演算子またはカオス力学系から生じる証拠として解釈できる。^{[ 57 ] [ 58 ]}これにより、零点がスペクトル線上に位置する理由と、それらの間隔がランダムなクラスターではなく強い反発を示す理由について、経験的な説明が得られる。 ^{[ 59 ]}

この見解は、ニコラス・カッツとピーター・サルナックによって採用され、彼らは、 L関数の族はコンパクトな古典群（ユニタリ群、直交群、またはシンプレクティック群）によって支配される対称性タイプを持ち、それらの低位零点の分布は対応するランダム行列アンサンブルと一致するはずであると提案した。^{[ 60 ] [ 61 ] [ 62 ]}リーマンゼータ関数の場合、関連するアンサンブルはユニタリ群のものである。

ランダム行列理論は、臨界線上のゼータ関数のモーメントの増加に関する推測も生み出した。特に、Jonathan KeatingとNina Snaithはランダムユニタリ行列の平均を用いて、漸近モーメント公式の主要定数を予測した。 $${\displaystyle {\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}|\zeta (1/2+it)|^{2k}\,dt}$$ として${\displaystyle T\to \infty }$彼らの予想は、普遍的なランダム行列因子を算術的なオイラー積因子から分離し、L関数のモーメントと比率に関する後の研究に影響を与えた。^{[ 63 ] [ 64 ] [ 65 ]}

ランダム行列理論と量子カオスは、リーマン予想を取り巻くヒューリスティックな枠組みであるが、このアプローチからリーマン予想の証明は知られていない。^{[ 66 ]}