ヴォート予想

ヴォート予想（ヴォートじゅうけい）は、1961年にロバート・ローソン・ヴォートによって提唱された数学のモデル理論の予想である。これは、可算言語による一階完備理論の可算モデルの数は有限、もしくは ℵ ₀もしくは 2 ^{ℵ ₀}であるというものである。 モーリーは、可算モデルの数は有限、もしくは ℵ ₀もしくはℵ ₁もしくは 2 ^{ℵ ₀}であることを示し、連続体仮説が成り立たない ℵ ₁モデルの場合を除いて予想を解決した。この残りのケースについては、ロビン・ナイト（2002年、2007年）がヴォート予想と位相的ヴォート予想に対する反例を発表している。2021年現在、反例は検証されていない。

を無限のモデルを持つ一階可算完全理論とします。を同型性までの濃度のTのモデルの数、つまり理論のスペクトルとします。モーリーは、 I ( T、ℵ ₀ ) が無限大であれば、ℵ ₀または ℵ ₁または連続体の濃度でなければならないことを証明しました。ヴォート予想は、 では不可能であるという主張です。この予想は連続体仮説の自明な帰結であるため、この公理は予想に関する研究ではしばしば除外されます。あるいは、より明確な形の予想があり、これは、非可算な数の可算モデルを持つ任意の可算完全T は、非可算モデルの完全な集合を持つというものである ( John Steelが指摘したように、「On Vaught's conjecture」。Cabal Seminar 76–77 (Proc. Caltech-UCLA Logic Sem., 1976–77)、pp. 193–208、Lecture Notes in Math.、689、Springer、Berlin、1978、この形の Vaught 予想は、元の予想と等価に証明可能である)。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle I(T,\alpha )}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \aleph_{0})<2^{\aleph_{0}}}$

Vaught による当初の定式化は、予想としてではなく、問題として述べられました。連続体仮説を使用せずに、正確にℵ _{1 個の} 非同型可算モデルを持つ完全な理論が存在することを証明できますか?冒頭で述べた Morley の結果により、予想に対する肯定的な解決は、当初述べられた Vaught の問題に対する否定的な答えに本質的に対応します。

ヴォートは、完全な理論の可算モデルの数は 2 にはならないことを証明しました。2 以外の有限の数であれば、たとえば次のようになります。

• 有限モデルを持つ完全な理論には、可算無限モデルは存在しません。
• 可算モデルが 1 つだけの理論はω-カテゴリ理論です。無限集合の理論や稠密な無制限全順序の理論など、この例はたくさんあります。
• Ehrenfeucht は、 3 つの可算モデルを持つ理論の次の例を示しました。言語には関係 ≥ と可算数の定数c ₀、c ₁、... があり、公理では ≥ は稠密な無制限の全順序であり、c ₀ < c ₁ < c _{2 < ... です。3 つのモデルは、この}シーケンスが無制限であるか、収束するか、または制限されているが収束しないかによって異なります。
• Ehrenfeucht の例は、 n  − 2 個の単項関係P _{i を}言語に 追加することで、任意の有限数n ≥ 3 のモデルを持つ理論を与えるように修正できます。この場合、すべてのxに対してP _iのちょうど 1 つが真であり、 P _i ( y )が真となるyの値は稠密であり、すべてのc _iに対してP _{1が真であるという公理が用いられます。すると、要素のシーケンス}c _{i が}極限cに収束するモデルは、関係P _i ( c ) がどのi に対して真であるかによって、 n − 2 個のケースに分割されます。

ヴォートの定理の証明の考え方は次のとおりです。可算モデルがせいぜい可算個あるとすると、最小のモデルである原子モデルと最大のモデルである飽和モデルが存在し、モデルが複数ある場合はこれらが異なります。これらが異なる場合、飽和モデルは原子モデルで省略されたn型を実現する必要があります。次に、このn型を実現する構造理論の原子モデル(有限個の定数で拡張された言語で) は、原子モデルにも飽和モデルにも同型ではない第 3 のモデルであることを示すことができます。上記の 3 つのモデルの例では、原子モデルはシーケンスが無制限であるモデル、飽和モデルはシーケンスが収束するモデルであり、原子モデルで実現されない型の例は、シーケンスのすべての要素よりも大きい要素です。

位相的ヴォート予想とは、ポーランド群が ポーランド空間に連続的に作用するときはいつでも、可算個の軌道か連続個の軌道が存在するという主張である。位相的ヴォート予想は、元のヴォート予想よりも一般化されている。可算言語が与えられれば、その言語の自然数上のすべての構造の空間を形成できる。これに一階述語論理式によって生成される位相を装備すると、結果として生じる空間がポーランド空間であることが、 A. Gregorczyk、A. Mostowski、C. Ryll-Nardzewski、「公理理論のモデル集合の定義可能性」（Bulletin of the Polish Academy of Sciences (series Mathematics, Astronomy, Physics)、vol. 9 (1961)、pp. 163–7 から分かる。同型性の同値関係を生じる無限対称群（点ごとの収束の位相を持つ自然数のすべての順列の集合）の連続作用がある。完全な一階理論Tが与えられた場合、 T を満たす構造の集合は最小の閉じた不変集合であり、したがってそれ自体がポーランド集合である。

• 理論のスペクトル
• モーリーの圏定理

• ナイト、RW (2002)、ヴォート予想：反例、原稿
• ナイト、RW (2007)、「位相空間と散在理論のカテゴリー」、ノートルダム形式論理ジャーナル、48 (1): 53–77、doi : 10.1305/ndjfl/1172787545、ISSN  0029-4527、MR  2289897
• R. Vaught、「完全理論の可算モデル」、Infinitistic Methods (Proc. Symp. Foundations Math.、ワルシャワ、1959)、ワルシャワ/ペルガモン プレス (1961) pp. 303–321
• ハリントン、レオ、マッカイ、マイケル、シェラ、サハロン(1984)、「ω-安定理論に対するヴォートの予想の証明」、イスラエル数学ジャーナル、49 : 259–280、doi :10.1007/BF02760651
• マーカー、デイビッド（2002）、モデル理論：入門、Graduate Texts in Mathematics、第217巻、ニューヨーク、NY：Springer-Verlag、ISBN 0-387-98760-6、Zbl  1003.03034