ダイヤモンドの原則

数学、特に公理的集合論において、ダイヤモンド原理${\displaystyle \Diamond }$これは、ロナルド・ジェンセンがジェンセン（1972）で導入した組み合わせ原理であり、構成可能な宇宙で成り立ち、連続体仮説を暗示するものである。ジェンセンは、構成可能性の公理がススリン木の存在を暗示するという証明からダイヤモンド原理を抽出した。

ダイヤモンド原理◊は、◊-シーケンスとは、 α < ω ₁の集合A _α ⊆ αの族であり、ω ₁の任意の部分集合Aに対して、 A ∩ α = A _αとなるαの集合がω ₁で定常で である。

ダイヤモンド原理にはいくつかの同値な形式があります。その一つは、各可算順序数αに対して、 αの部分集合の可算集合A _αが存在し、 ω ₁の任意の部分集合Aに対して、Cのすべてのαに対してA ∩ α ∈ A _αおよびC ∩ α ∈ A _αとなるようなω ₁の定常部分集合Cが存在するというものです。なお、α < ω ₁に対して集合A _α ⊆ αが存在し、 ω ₁の任意の部分集合Aに対して、 A ∩ α = A _αとなる少なくとも 1 つの無限αが存在するという弱められた形式は、連続体仮説と同値です。

より一般的には、与えられた基数κと定常集合S ⊆ κに対して、命題◊ _S ( ◊( S )または◊ _κ ( S )と表記されることもある) は、次のような数列⟨ A _α  : α ∈ S ⟩が存在するという命題である。

• 各A _α ⊆ α
• すべてのA ⊆ κに対して、{ α ∈ S  : A ∩ α = A _α }はκ内で静止します。

原理◊ω1_は◊と同じです。

ダイヤモンドプラス原理◊ ⁺は、各可算順序数 α に対して、 αの部分集合の可算集合A _αという◊ ⁺ - シーケンスが存在し、 ω ₁の任意の部分集合Aに対して、 C内のすべてのαに対してA ∩ α ∈ A _αおよびC ∩ α ∈ A _αとなるようなω ₁の閉じた非有界部分集合C が存在することを述べています。

ジェンセン（1972）は、ダイヤモンド原理◊がサスリン木の存在を意味することを示した。また、V = Lがダイヤモンドプラス原理を意味し、それがダイヤモンド原理を意味し、それがCHを意味することも示した。特に、ダイヤモンド原理とダイヤモンドプラス原理はどちらもZFCの公理とは無関係である。また、♣ + CHは◊を意味するが、シェラは♣ + ¬ CHのモデルを与えたので、◊と♣は同値ではない（むしろ、♣は◊よりも弱い）。

マテットは原理を証明した$\displaystyle \diamondsuit _{\kappa }}$分割の特性に相当する${\displaystyle \kappa }$パーティションの初期セグメントの対角線交差は${\displaystyle \kappa }$[ ^{1 ]​}

ダイヤモンド原理◊はクレパツリーの存在を意味しませんが、より強力な◊ ⁺原理は◊原理とクレパツリーの存在の両方を意味します。

Akemann & Weaver (2004)は、Naimark の問題に対する反例として、◊ を使用してC * - 代数を構築しました。

すべての基数κと定常部分集合S ⊆ κ ⁺に対して、◊ _Sは構成可能な宇宙で成り立つ。Shelah (2010) は、 κ > ℵ ₀の場合、共終数κの順序数を含まない定常Sに対して2 ^κ = κ ⁺から◊ _{κ ⁺} ( S )が導かれることを証明した。

シェラは、ダイヤモンド原理がホワイトヘッド問題を解決することを示し、それによって全てのホワイトヘッド群が自由群であることを示唆した。

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