理想

可換環RのイデアルPは、 以下の2つの性質を満たす場合に素イデアルである。

• aとbがRの2つの要素であり、それらの積abがPの要素である場合、aはPに含まれるか、bはPに含まれる。
• Pは環R全体ではない。

これは、ユークリッドの補題として知られる素数の次の性質を一般化したものです。pが素数であり、p が2 つの整数の積abを割り切るならば、p はa を割り切るか、またはpはbを割り切る。したがって、次のように言うことができます。

正の整数nが素数であるのは、${\displaystyle n\mathbb {Z} }$は、${\displaystyle \mathbb {Z} .}$

可換環Rの素イデアルの集合は、その (素)スペクトルとして知られ、次のように表されます。${\displaystyle \mathrm {Spec} \ R}$文脈によっては、この用語と表記法は、追加の構造、位相、環の層を備えた素イデアルの集合を指すためにも使用され、それはアフィンスキームとして知られる幾何学的対象となります。

同等で、かつおそらくより理解しやすい定義は以下のとおりです。

R を可換環とする。Rの真のイデアルIは、次の性質を持つ場合に素イデアルと呼ばれる。

• もし​${\displaystyle \notin }$私とb${\displaystyle \notin }$私は、それから${\displaystyle \notin }$私。

この性質は、対偶を用いて導出されたものであるため、上記で使用した標準的な定義と数学的に同等である。

• 簡単な例：リングの中で${\displaystyle R=\mathbb {Z} ,}$偶数の部分集合${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$（また表記される）${\displaystyle (2)}$つまり、2)によって生成されるイデアルは素イデアルである。
• 積分領域が与えられた場合${\displaystyle R}$任意の素数${\displaystyle p\in R}$主素イデアルを生成する${\displaystyle (p)}$例えば、既約多項式を考えてみましょう。${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$多項式環において${\displaystyle \mathbb {F} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$あるフィールド上で${\displaystyle \mathbb {F} }$.整域 (したがってUFD ) に対するアイゼンシュタインの基準は、多項式環の要素が既約であるかどうかを判断するのに有効です。
• Rが環を表す場合${\displaystyle \mathbb {C} [X,Y]}$複素係数を持つ 2 変数の多項式の場合、多項式Y ² − X ³ − X − 1によって生成されるイデアルは素イデアルです (楕円曲線を参照)。
• リングの中で${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$整数係数を持つすべての多項式の中で、理想的な${\displaystyle (2,X)}$2とXによって生成されるイデアルは素イデアルです。イデアルは、の要素の2倍によって構成されるすべての多項式からなります。${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$そしてそれを別の多項式のX倍に加える${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$（これにより、後者の多項式の定数係数が線形係数に変換されます。）したがって、結果として得られるイデアルは、定数係数が偶数であるすべての多項式から構成されます。
• 任意の環Rにおいて、極大イデアルMは、Rのすべての真イデアルの集合の中で極大であるイデアルM のことである。すなわち、 MはRのちょうど 2 つのイデアル、つまりM自身と環R全体に含まれる。すべての極大イデアルは実際には素イデアルである。主イデアル整域では、すべての非零素イデアルは極大イデアルであるが、これは一般には当てはまらない。UFD の場合${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ヒルベルトのヌルシュテレンザッツによれば、すべての極大イデアルは次の形式である。${\displaystyle (x_{1}-\alpha _{1},\ldots ,x_{n}-\alpha _{n}).}$
• Mが滑らかな多様体であり、RがM上の滑らかな実関数の環であり、x がM内の点である場合、 f ( x ) = 0を満たすすべての滑らかな関数fの集合は、 R内の素イデアル (極大イデアル) を形成します。

• 次の2つの商の合成について考えてみましょう。

${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]\to {\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x^{2}+y^{2}-1)}}\to {\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x^{2}+y^{2}-1,x)}}}$

最初の2つの環は整域であるが（実際、最初の環はUFDである）、最後の環は整域ではない。なぜならそれは

$\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x^{2}+y^{2}-1,x)}}\cong {\frac {\mathbb {C} [y]}{(y^{2}-1)}}\cong \mathbb {C} \times \mathbb {C} }$

以来${\displaystyle (y^{2}-1)}$要因${\displaystyle (y-1)(y+1)}$これは、商環に零因子が存在することを意味し、商環が同型になることを妨げます。${\displaystyle \mathbb {C} }$そして代わりに非整数領域へ$\displaystyle \mathbb{C} \times \mathbb{C} }$（中国剰余定理による）。

これは理想的な${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-1,x)\subset \mathbb {C} [x,y]}$素数ではない。（下記に挙げた最初の性質を参照。）

• もう一つの非例は理想である${\displaystyle (2,x^{2}+5)\subset \mathbb {Z} [x]}$なぜなら私たちは

${\displaystyle x^{2}+5-2\cdot 3=(x-1)(x+1)\in (2,x^{2}+5)}$

しかしどちらも${\displaystyle x-1}$または${\displaystyle x+1}$理想を構成する要素である。

• 環R (単位元を持つ)におけるイデアルI が素イデアルであるのは、因子環R / Iが整域である場合に限る。特に、可換環 (単位元を持つ) が整域であるのは、(0)が素イデアルである場合に限る。(零環には素イデアルは存在しない。なぜなら、イデアル (0) は環全体だからである。)
• イデアルIが素であるのは、その集合論的補集合が乗法的に閉じている場合に限る。^{[ 3 ]}
• すべての非零環は少なくとも１つの素イデアルを含み（実際には少なくとも１つの極大イデアルを含む）、これはクルルの定理の直接的な帰結である。
• より一般的には、S がR内の任意の乗法的に閉じた集合である場合、クルルによる補題により、Sと互いに素であることに関してRの極大イデアルが存在し、さらにそのイデアルは素でなければならないことが示される。これは非可換環にもさらに一般化できる（下記参照）。^{[ 4 ]} S = {1}の場合、クルルの定理があり、これによりRの極大イデアルが復元される。もう 1 つの典型的な m システムは、冪零でない元のすべての正のべき乗の集合{ x、x ²、x ³、x ⁴、 ...}である。
• 環準同型による素イデアルの逆像は素イデアルである。この類似の事実は極大イデアルについては必ずしも当てはまらない。これが、代数幾何学者が環のスペクトルを極大イデアルではなく素イデアルの集合として定義する理由の一つである。環の準同型が、それらのスペクトル間の写像を与えることを望むからである。
• すべての素イデアルの集合（環のスペクトルと呼ばれる）には、最小要素（最小素イデアルと呼ばれる）が含まれる。幾何学的には、これらはスペクトルの既約成分に対応する。
• 2つの素イデアルの和は必ずしも素数とは限らない。例として、環を考えてみよう。${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$素イデアルP = ( x ² + y ² − 1)およびQ = ( x ) (それぞれx ² + y ² − 1およびxによって生成されるイデアル) を持つ。しかし、それらの和P + Q = ( x ² + y ² − 1, x ) = ( y ² − 1, x )は素数ではない。y ² − 1 = ( y − 1)( y + 1) ∈ P + Qであるが、その 2 つの因数は素数ではない。あるいは、商環は零因子を持つため整域ではなく、したがってP + Q は素数にはなり得ない。
• 2つのイデアルに因数分解できないイデアルがすべて素イデアルであるとは限らない。例：${\displaystyle (x,y^{2})\subset \mathbb {R} [x,y]}$因数分解できないが、素数ではない。
• 少なくとも2つの元を持つ可換環Rにおいて、すべての真イデアルが素イデアルであるならば、その環は体である。（イデアル(0)が素イデアルであるならば、環Rは整域である。qがRの任意の非零元であり、イデアル( ^q² )が素イデアルであるならば、( q² )はqを含み、qは可逆である。）
• 非零の主イデアルは、素元によって生成される場合に限り素イデアルである。UFDにおいては、すべての非零の素イデアルは素元を含む。

素イデアルの用途の一つは代数幾何学にあり、多項式環におけるイデアルの零集合として多様体が定義されます。既約多様体は素イデアルに対応することがわかっています。現代の抽象的なアプローチでは、任意の可換環から出発し、その素イデアルの集合（スペクトルとも呼ばれる）を位相空間に変換することで、スキームと呼ばれる多様体の一般化を定義できます。スキームは幾何学だけでなく、数論にも応用されています。

代数的整数論における素イデアルの導入は大きな進歩でした。算術の基本定理で表現される一意因数分解という重要な性質が、すべての代数的整数環で成り立つわけではないことが認識されましたが、リヒャルト・デデキントが要素をイデアルに、素要素を素イデアルに置き換えることで代替が見つかりました（デデキント領域を参照）。

• 原始イデアルはすべて素数である。
• 可換環と同様に、極大イデアルは素イデアルであり、また素イデアルは極小素イデアルを含む。
• 環が素環であるのは、零イデアルが素イデアルである場合に限る。さらに、環が整域であるのは、零イデアルが完全素イデアルである場合に限る。
• 可換理論から非可換理論に反映されるもう一つの事実は、A が非零のR加群であり、P がAの部分加群の零化イデアルの順序集合における極大元である場合、Pは素元であるということである。