非合理性の尺度

数学において、実数の無理数尺度は、実数が有理数によってどれだけ「近く」近似できるかを測る尺度です。 ${\displaystyle x}$

に対して定義された関数 が正の実数値を取り、両方の変数で厳密に減少する場合、次の不等式を考慮してください。 ${\displaystyle f(t,\lambda )}$${\displaystyle t,\lambda >0}$

${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<f(q,\lambda )}$

与えられた実数と となる有理数に対して、をと定義します。をに対して有限個しか存在せず、不等式が満たされるようなの集合として定義します。すると、 はに関するの無理数測度と呼ばれます。そのようなものが存在せず、集合 が空である場合、は無限無理数測度 を持つと言われます。 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$${\displaystyle p\in \mathbb {Z} ,q\in \mathbb {Z} ^{+}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$${\displaystyle \lambda (x)=\inf R}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f.}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle R}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \lambda (x)=\infty }$

その結果、不平等は

${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<f(q,\lambda (x)+\varepsilon )}$

は、すべてのに対してせいぜい有限個の解しか持たない。^[1]${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$${\displaystyle \epsilon >0}$

無理数指数またはリウヴィル・ロス無理数測度はと設定することで与えられる。^[1]この定義はリウヴィル数の定義を応用したものである。つまり、無理数指数は、と互いに素な無限個の整数対が満たすの集合の最大値として実数に対して定義される。^{[2] [3] : 246}${\displaystyle f(q,\mu )=q^{-\mu }}$${\displaystyle \mu (x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{\mu }}}}$${\displaystyle (p,q)}$${\displaystyle q>0}$

任意の値 に対して、上記の不等式を満たすすべての有理数の無限集合は、の良い近似値を生成します。逆に、 の場合、不等式を満たす と互いに素な数はせいぜい有限個しかありません。${\displaystyle n<\mu (x)}$${\displaystyle p/q}$${\displaystyle x}$${\displaystyle n>\mu (x)}$${\displaystyle (p,q)}$${\displaystyle q>0}$

例えば、有理近似が正確な小数桁数を生成するときは、 ${\displaystyle {\frac {p}{q}}\approx x}$${\displaystyle p,q\in \mathbb {N} }$${\displaystyle n+1}$

${\displaystyle {\frac {1}{10^{n}}}\geq \left|x-{\frac {p}{q}}\right|\geq {\frac {1}{q^{\mu (x)+\varepsilon }}}}$

最大で有限個の「幸運な」ペアを除き、任意の に対して となります。 ${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle (p,q)}$

無理数指数を持つ数はディオファントス数^[4]と呼ばれ、無理数指数を持つ数はリウヴィル数と呼ばれます。 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$${\displaystyle \mu (x)\leq 2}$${\displaystyle \mu (x)=\infty }$

有理数の無理数指数は 1 ですが、(ディリクレの近似定理の結果として) すべての無理数の無理数指数は少なくとも 2 です。

一方、ボレル・カンテリの補題を応用すると、すべての代数的無理数を含むほぼすべての数の無理数指数は2に等しいことが示される。 ^{[3] : 246}

これは実数と有理数に対して成り立ち、である。ある数に対してが成り立つ場合、 となる。^{[5] : 368}${\displaystyle \mu (x)=\mu (rx+s)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle r\neq 0}$${\displaystyle s}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mu (x)\leq \mu }$${\displaystyle \mu (x^{1/2})\leq 2\mu }$

収束する単純な連分数展開によって与えられる実数に対しては次が成り立つ: ^[1]${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},...]}$${\displaystyle p_{i}/q_{i}}$

${\displaystyle \mu (x)=1+\limsup _{n\to \infty }{\frac {\ln q_{n+1}}{\ln q_{n}}}=2+\limsup _{n\to \infty }{\frac {\ln a_{n+1}}{\ln q_{n}}}.}$

およびある正の実数に対して、の無理数指数の上限を次のように定めることができる。^{[6] [7]}${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\tfrac {1}{n}}{\ln |q_{n}|}\leq \sigma }$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\tfrac {1}{n}}{\ln |q_{n}x-p_{n}|}=-\tau }$${\displaystyle \sigma ,\tau }$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \mu (x)\leq 1+{\frac {\sigma }{\tau }}}$

ほとんどの超越数については、無理数指数の正確な値はわかっていません。^[5]以下は、既知の上限と下限の表です。

無理数基底またはソンドウ無理数測度は、 と設定することで得られる。^{[1] [6]}これはより弱い無理数測度であり、異なるリウヴィル数がどの程度近似できるかを区別することができるが、他のすべての実数に対しては次式となる。 ${\displaystyle f(q,\beta )=\beta ^{-q}}$${\displaystyle \beta (x)=1}$

を無理数とする。任意の に対して、 となるような 性質を持つ実数が存在する場合、${\displaystyle x}$${\displaystyle \beta \geq 1}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle q(\varepsilon )}$

${\displaystyle \left|x-{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {1}{(\beta +\varepsilon )^{q}}}}$

となるすべての整数に対して、そのような最小のものはの無理数基数と呼ばれ、 と表されます。 ${\displaystyle p,q}$${\displaystyle q\geq q(\varepsilon )}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \beta (x)}$

そのような数が存在しない場合は、 およびは超リウヴィル数と呼ばれます。 ${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta (x)=\infty }$${\displaystyle x}$

実数が収束する単純な連分数展開によって与えられる場合、次のことが成り立ちます。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},...]}$${\displaystyle p_{i}/q_{i}}$

${\displaystyle \beta (x)=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\ln q_{n+1}}{q_{n}}}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\ln a_{n+1}}{q_{n}}}}$^[1 ]

有限の無理数指数を持つ任意の実数は無理数底を持ちますが、無理数底を持つ任意の数は無理数指数を持ち、リウヴィル数です。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle \mu (x)<\infty }$${\displaystyle \beta (x)=1}$${\displaystyle \beta (x)>1}$${\displaystyle \mu (x)=\infty }$

この数には無理数指数と無理数底があります。 ${\displaystyle L=[1;2,2^{2},2^{2^{2}},...]}$${\displaystyle \mu (L)=\infty }$${\displaystyle \beta (L)=1}$

数(はテトレーションを表します)は無理数の基数を持ちます。 ${\displaystyle \tau _{a}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{^{n}a}}=1+{\frac {1}{a}}+{\frac {1}{a^{a}}}+{\frac {1}{a^{a^{a}}}}+{\frac {1}{a^{a^{a^{a}}}}}+...}$${\displaystyle {^{n}a}}$${\displaystyle a=2,3,4...}$${\displaystyle \beta (\tau _{a})=a}$

この数は無理数基数を持つため、超リウヴィル数です。${\displaystyle S=1+{\frac {1}{2^{1}}}+{\frac {1}{4^{2^{1}}}}+{\frac {1}{8^{4^{2^{1}}}}}+{\frac {1}{16^{8^{4^{2^{1}}}}}}+{\frac {1}{32^{16^{8^{4^{2^{1}}}}}}}+\ldots }$${\displaystyle \beta (S)=\infty }$

がリウヴィル数であるかどうかは不明であるが、 ^{[32] : 20 で}あることがわかっている。^{[5] : 371}${\displaystyle e^{\pi }}$${\displaystyle \beta (e^{\pi })=1}$

を設定すると、より強い無理数の尺度、マルコフ定数が得られます。無理数の場合、これは に対するディリクレの近似定理を改善できる係数です。つまり、 が正の実数の場合、不等式 ${\displaystyle f(q,M)=(Mq^{2})^{-1}}$ ${\displaystyle M(x)}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$${\displaystyle x}$${\displaystyle c<M(x)}$

${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{cq^{2}}}}$

には無限の解があります。最大でも有限の解しかありません。 ${\displaystyle {\frac {p}{q}}\in \mathbb {Q} }$${\displaystyle c>M(x)}$

ディリクレの近似定理は を意味し、フルヴィッツの定理は無理数 に対して両方を与えます。^[33]${\displaystyle M(x)\geq 1}$${\displaystyle M(x)\geq {\sqrt {5}}}$${\displaystyle x}$

黄金比はを与えるので、これは実際、最良の一般的な下限値です。また、 でもあります。 ${\displaystyle M(\varphi )={\sqrt {5}}}$${\displaystyle M({\sqrt {2}})=2{\sqrt {2}}}$

これを単純な連分数展開すると次の式が得られる。^[34]${\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},...]}$

${\displaystyle M(x)=\limsup _{n\to \infty }{([a_{n+1};a_{n+2},a_{n+3},...]+[0;a_{n},a_{n-1},...,a_{2},a_{1}])}.}$

のマルコフ定数の境界は、で定義することもできます。^{[35]これは、}が有界でない場合、特に が2次無理数である場合に限り、 であることを意味します。さらに、 という結果が導かれます。 ${\displaystyle x=[a_{0};a_{1},a_{2},...]}$${\displaystyle {\sqrt {p^{2}+4}}\leq M(x)<p+2}$${\displaystyle p=\limsup _{n\to \infty }a_{n}}$${\displaystyle M(x)=\infty }$${\displaystyle (a_{k})}$${\displaystyle M(x)<\infty }$${\displaystyle x}$${\displaystyle M(e)=\infty }$

またはを持つ任意の数は、無限の単純連分数を持つため、 となります。 ${\displaystyle \mu (x)>2}$${\displaystyle \beta (x)>1}$${\displaystyle M(x)=\infty }$

有理数の場合はと定義されます。 ${\displaystyle r}$${\displaystyle M(r)=0}$

およびの値は、不等式 はすべてに対して無限個の解を持つのに対し、不等式 はすべてに対してせいぜい有限個の解しか持たないことを意味します。これにより、最適な上限は何かという疑問が生じます。答えは次のように与えられます。^[36]${\displaystyle M(e)=\infty }$${\displaystyle \mu (e)=2}$${\displaystyle 0<\left|e-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{cq^{2}}}}$${\displaystyle c\in \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle {\frac {p}{q}}\in \mathbb {Q} }$${\displaystyle 0<\left|e-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2+\varepsilon }}}}$${\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle {\frac {p}{q}}\in \mathbb {Q} }$

${\displaystyle 0<\left|e-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {c\ln \ln q}{q^{2}\ln q}}}$

これは、については無限に満たされますが、 については満たされません。 ${\displaystyle {\frac {p}{q}}\in \mathbb {Q} }$${\displaystyle c>{\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle c<{\tfrac {1}{2}}}$

これにより、有理数や二次無理数${\displaystyle e}$と並んで、ほぼすべての実数に対して以下の不等式が無限に多くの解を持つという事実の例外となる: ^[5] (キンチンの定理を参照) ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$${\displaystyle {\frac {p}{q}}\in \mathbb {Q} }$

${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}\ln q}}}$

クルト・マーラーは無理数測度の概念を拡張し、リウヴィル数の考え方を利用して超越数を3つの異なるクラスに分割し、いわゆる超越測度を定義しました。 ^[3]

与えられた実数についてとの差をとる代わりに、 と の項、およびとの項に注目することができます。次の不等式を考えてみましょう。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle |x-p/q|}$${\displaystyle p/q\in \mathbb {Q} }$${\displaystyle |qx-p|=|L(x)|}$${\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle L\in \mathbb {Z} [x]}$${\displaystyle \deg L=1}$

${\displaystyle 0<|qx-p|\leq \max(|p|,|q|)^{-\omega }}$およびと。 ${\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} _{0}^{+}}$

を、不等式を満たすような無限個の解が存在する集合として定義します。すると、はマーラーの無理数測度になります。これは、有理数に対して 、代数的無理数に対して 、一般にを与えます。ここで、 は無理数指数を表します。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} _{0}^{+}}$${\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \omega _{1}(x)=\sup M}$${\displaystyle \omega _{1}(p/q)=0}$${\displaystyle \omega _{1}(\alpha )=1}$${\displaystyle \omega _{1}(x)=\mu (x)-1}$${\displaystyle \mu (x)}$

マーラーの無理数測度は次のように一般化できる: ^{[2] [3] を}整数係数の多項式とする。次に高さ関数を定義し、複素数について不等式を考える: ${\displaystyle P}$${\displaystyle \deg P\leq n\in \mathbb {Z} ^{+}}$${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle H(P)=\max(|a_{0}|,|a_{1}|,...,|a_{n}|)}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle 0<|P(z)|\leq H(P)^{-\omega }}$と。 ${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} _{0}^{+}}$

を、不等式を満たすような多項式が無限に存在するすべての集合と設定します。さらに、すべての に対して、が上記の無理数測度、が非二次数測度、など と定義します。${\displaystyle R}$${\displaystyle \omega \in \mathbb {R} _{0}^{+}}$${\displaystyle \omega _{n}(z)=\sup R}$${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$${\displaystyle \omega _{1}(z)}$${\displaystyle \omega _{2}(z)}$

すると、マーラーの超越度は次のように表される。

${\displaystyle \omega (z)=\limsup _{n\to \infty }\omega _{n}(z).}$

超越数は現在、次の 3 つのクラスに分類できます。

すべての に対しての値が有限であり、も有限である場合、 はS 数( 型) と呼ばれます。${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$${\displaystyle \omega _{n}(z)}$${\displaystyle \omega (z)}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \omega (z)}$

すべての に対しての値が有限であるのに が無限である場合、はT 数と呼ばれます。 ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$${\displaystyle \omega _{n}(z)}$${\displaystyle \omega (z)}$${\displaystyle z}$

すべての に対してが無限大となるような最小の正の整数が存在する場合、はU 数(次数) と呼ばれます。${\displaystyle N}$${\displaystyle n\geq N}$${\displaystyle \omega _{n}(z)}$${\displaystyle z}$${\displaystyle N}$

数が代数的である（A 数と呼ばれる）のは、 の場合のみです。 ${\displaystyle z}$${\displaystyle \omega (z)=0}$

ほとんどすべての数は S 数です。実際、ほとんどすべての実数は を与え、ほとんどすべての複素数は を与えます。^{[37] : 86}数eは となる S 数です。数πは S 数か T 数のいずれかです。^{[37] : 86} U 数は測度 0 でありながらも不可算な集合です。^[38]これらには、まさに次数 1 の U 数であるリウヴィル数が含まれます。 ${\displaystyle \omega (x)=1}$${\displaystyle \omega (z)={\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle \omega (e)=1}$

マーラーの無理数測度の別の一般化は線形独立測度を与える。^{[2] [13]}実数の場合、不等式を考える。 ${\displaystyle x_{1},...,x_{n}\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle 0<|c_{1}x_{1}+...+c_{n}x_{n}|\leq \max(|c_{1}|,...,|c_{n}|)^{-\nu }}$およびと。 ${\displaystyle c_{1},...,c_{n}\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \nu \in \mathbb {R} _{0}^{+}}$

を、不等式を満たすような無限の解が存在するすべての集合として定義します。これが線形独立測度です。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle \nu \in \mathbb {R} _{0}^{+}}$${\displaystyle c_{1},...c_{n}\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle \nu (x_{1},...,x_{n})=\sup R}$

がに対して線形従属である場合、 となります。 ${\displaystyle x_{1},...,x_{n}}$${\displaystyle \mathbb {\mathbb {Q} } }$${\displaystyle \nu (x_{1},...,x_{n})=0}$

が 上で線型独立な代数的数であるならば となる。^[32]${\displaystyle 1,x_{1},...,x_{n}}$${\displaystyle \mathbb {\mathbb {Q} } }$${\displaystyle \nu (1,x_{1},...,x_{n})\leq n}$

それはさらにです。 ${\displaystyle \nu (1,x)=\omega _{1}(x)=\mu (x)-1}$

1939年にユルジェン・コクスマは、複素数を代数的数で近似することに基づいた、マーラーの一般化に似た別の一般化を提案した。^{[3] [37]}

与えられた複素数に対して、最大 次数の代数数を考えます。高さ関数 を定義します。ここで はの特性多項式であり、次の不等式を考えます。 ${\displaystyle z}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle n}$${\displaystyle H(\alpha )=H(P)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle 0<|z-\alpha |\leq H(\alpha )^{-\omega ^{*}-1}}$と。 ${\displaystyle \omega ^{*}\in \mathbb {R} _{0}^{+}}$

を、不等式を満たすような代数的数が無限に存在するすべての集合と設定する。さらに、すべてのに対して、が無理数測度、が非2乗測度、^[17]など として定義する。${\displaystyle R}$${\displaystyle \omega ^{*}\in \mathbb {R} _{0}^{+}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \omega _{n}^{*}(z)=\sup R}$${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}$${\displaystyle \omega _{1}^{*}(z)}$${\displaystyle \omega _{2}^{*}(z)}$

Koksma の超越度は次のように与えられます。

${\displaystyle \omega ^{*}(z)=\limsup _{n\to \infty }\omega _{n}^{*}(z)}$。

複素数は再びA*、S*、T*、U*の4つのクラスに分割できる。しかし、これらのクラスは、まったく同じ分割を生成するという意味で、マーラーによって与えられたクラスと同等であることが判明した。^{[37] : 87}

実数 が与えられた場合、 の無理数度は、分母 を持つ有理数によってどれだけ近似できるかを定量化します。が無理数でもある代数的数であるとすると、不等式 ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$${\displaystyle q\in \mathbb {Z} ^{+}}$${\displaystyle x=\alpha }$

${\displaystyle 0<\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{\mu }}}}$

には最大でも有限個の解しかありません。これはロスの定理として知られています。 ${\displaystyle {\frac {p}{q}}\in \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mu >2}$

これは一般化できる。実数の集合が与えられたとき、それらが同じ分母を持つ有理数によって同時にどの程度近似できるかを定量化できる。 が有理数に対して線形独立であるような代数数であるとすると、不等式は ${\displaystyle x_{1},...,x_{n}\in \mathbb {R} }$${\displaystyle {\frac {p_{1}}{q}},...,{\frac {p_{n}}{q}}}$${\displaystyle q\in \mathbb {Z} ^{+}}$${\displaystyle x_{i}=\alpha _{i}}$${\displaystyle 1,\alpha _{1},...,\alpha _{n}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle 0<\left|\alpha _{i}-{\frac {p_{i}}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{\mu }}},\forall i\in \{1,...,n\}}$

に対してはせいぜい有限個の解しか存在しない。この結果はWolfgang M. Schmidtによるものである。^{[39] [40]}${\displaystyle \left({\frac {p_{1}}{q}},...,{\frac {p_{n}}{q}}\right)\in \mathbb {Q} ^{n}}$${\displaystyle \mu >1+{\frac {1}{n}}}$

• ディオファントス近似
• 超越数
• 連分数
• ブルジュノ数