テイト予想

テイト予想

1993年のジョン・テイト
分野	代数幾何学と数論
推測	ジョン・テイト
推測では	1963
既知の事例	アーベル多様体上の因子
結果	代数的サイクルに関する標準的な予想

数論と代数幾何学において、テイト予想は、ジョン・テイトが1963年に提唱した予想であり、より計算しやすい不変量であるエタールコホモロジー上のガロア表現を用いて多様体上の代数的サイクルを記述するものである。この予想は、代数的サイクルの理論における中心的な問題である。これは、ホッジ予想の算術的類似物と考えることができる。

V を、その素体上有限生成である体k上の滑らかな 射影多様体とする。k _{s を}kの可分閉包とし、G をkの絶対ガロア群Gal( k _s / k )とする。kにおいて可逆な素数ℓ を固定する。 V の k s への基底拡大のℓ 進コホモロジー群（ℓ 進整数Z _ℓの係数、次にℓ 進数Q _ℓに拡張されたスカラー）を考える。これらの群はGの表現である。任意のi ≥ 0 に対して、Vの余次元 - i 部分多様体（k上で_定義されていると理解される）は、コホモロジー群の元を決定する。

${\displaystyle H^{2i}(V_{k_{s}},\mathbf {Q} _{\ell }(i))=W}$

これはGによって固定されます。ここでQ _ℓ ( i  ) はi^番目の Tate ツイストを表し、ガロア群Gのこの表現が円分指標のi^番目の累乗でテンソル化されていることを意味します。

テイト予想は、ガロア群Gによって固定されたWの部分空間W ^Gが、Q _{ℓベクトル空間として、} Vの余次元iの部分多様体の類によって張られることを述べています。代数的サイクルとは、部分多様体の有限線形結合を意味します。したがって、同等のステートメントは、 W ^Gのすべての要素が、 Q _ℓ係数を持つV上の代数的サイクルの類であるということです。

因子（余次元 1 の代数的サイクル）に対するテイト予想は、主要な未解決問題です。たとえば、f  : X → C を、有限体上の滑らかな射影面から滑らかな射影曲線への射影とします。関数体k ( C )上の曲線であるfのジェネリックファイバーFがk ( C ) 上で滑らかであるとします。すると、 X上の因子に対するテイト予想は、Fのヤコビ多様体に対するバーチとスウィナートン-ダイアーの予想と同等になります。^[1]対照的に、任意の滑らかな複素射影多様体上の因子に対するホッジ予想は知られています（レフシェッツ (1,1)-定理）。

おそらく最も重要な既知の事例は、テイト予想がアーベル多様体上の因子に対して成り立つというものである。これは有限体上のアーベル多様体に対するテイトの定理であり、数体上のアーベル多様体に対するファルティングスの定理であり、モーデル予想に対するファルティングスの解決法の一部である。ザーヒンはこれらの結果を任意の有限生成基底体に拡張した。アーベル多様体上の因子に対するテイト予想は、曲線C ₁ × ... × C _nの任意の積上の因子に対するテイト予想を意味する。^[2]

アーベル多様体上の因子に関する（既知の）テイト予想は、アーベル多様体間の準同型性に関する強力な命題と同値である。すなわち、有限生成体k上の任意のアーベル多様体AとBに対して、自然写像

${\displaystyle {\text{Hom}}(A,B)\otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {Q} _{\ell }\to {\text{Hom}}_{G}\left (H_{1}\left(A_{k_{s}},\mathbf {Q} _{\ell }\right),H_{1}\left(B_{k_{s}},\mathbf {Q} _{\ell }\right)\right)}$

は同型である。^[3] 特に、アーベル多様体Aは、そのテイト加群H ₁ ( A _{k s} , Z _ℓ )上のガロア表現によって同型性まで決定される。

テイト予想は、標数が2でない有限生成体上のK3曲面に対しても成り立つ。 ^[4]（曲面上では、予想の非自明な部分は因子に関するものである。）標数が0の場合、K3曲面に対するテイト予想はアンドレとタンキーフによって証明された。標数が2でない有限体上のK3曲面に対しては、テイト予想はナイガード、オガス、チャールズ、マダプシ・ペラ、およびマウリックによって証明された。

Totaro (2017) は、Tate 予想の既知の事例を調査しています。

X を有限生成体k上の滑らかな射影多様体とする。半単純性予想は、 Xの ℓ 進コホモロジー上のガロア群G = Gal( k _s / k ) の表現が半単純 (つまり、既約表現の直和) になることを予測する。標数 0 のkについて、Moonen (2017) は、テイト予想 (上記のように) が半単純性を意味することを示した。

${\displaystyle H^{i}\left(X\times _{k}{\overline {k}},\mathbf {Q} _{\ell }(n)\right).}$

テイトは、位数qのk有限体に対して、テイト予想と半単純性予想を組み合わせると強いテイト予想が導かれることを示した。つまり、t = q ^{− j}におけるゼータ関数Z ( X , t )の極の位数は、数値同値性を法として余次元jの代数的サイクル群の階数に等しいということである。^[5]

ホッジ予想と同様に、テイト予想は代数的サイクルに関するグロタンディークの標準的な予想のほとんどを意味する。つまり、レフシェッツの標準的な予想（レフシェッツ同型の逆は代数的対応によって定義される）、対角線のキュネス成分は代数的であること、代数的サイクルの数値的同値性とホモロジー的同値性は同じであることなどを意味する。

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• ジェームズ・ミルン、「有限体上のテイト予想」（AIM トーク）。