可換代数におけるホモロジー予想

数学において、ホモロジー予想は1960年代初頭から可換代数の研究活動の中心となってきた。これらは、可換環の様々なホモロジー的性質と、その内部環構造、特にクルル次元と深さとの関係を示す、相互に関連した（時には意外なほど関連している）予想の数々に関するものである。

メルビン・ホックスタ―が提示した以下のリストは、この分野における決定版とみなされている。続編では、${\displaystyle A,R}$、 そして${\displaystyle S}$ネーター可換環を参照する。${\displaystyle R}$最大理想値を持つ局所環になります${\displaystyle m_{R}}$、 そして${\displaystyle M}$そして${\displaystyle N}$有限生成である${\displaystyle R}$-モジュール。

1. 零因子定理。${\displaystyle M\neq 0}$有限の射影次元を持ち、${\displaystyle r\in R}$は零除数ではない${\displaystyle M}$、 それから${\displaystyle r}$は零除数ではない${\displaystyle R}$。
2. バスの質問。もし${\displaystyle M\neq 0}$有限な単射分解を持つ場合、${\displaystyle R}$これはコーエン・マコーレー環である。
3. 交差定理。${\displaystyle M\otimes _{R}N\neq 0}$有限長を持つ場合、Nのクルル次元(すなわち、 Nの零化行列を法とするRの次元) は、 Mの射影次元以下である。
4. 新しい交差定理。${\displaystyle 0\to G_{n}\to \cdots \to G_{0}\to 0}$は、以下の自由R加群の有限複体を表す。${\displaystyle \bigoplus \nolimits _{i}H_{i}(G_{\bullet })}$有限の長さを持つが、0ではない。すると（クルル次元）${\displaystyle \dim R\leq n}$。
5. 改良された新しい交点予想。${\displaystyle 0\to G_{n}\to \cdots \to G_{0}\to 0}$は、以下の自由R加群の有限複体を表す。${\displaystyle H_{i}(G_{\bullet })}$有限の長さを持つ${\displaystyle i>0}$そして${\displaystyle H_{0}(G_{\bullet })}$Rの最大イデアルのべき乗によって殺される最小生成子を持つ。${\displaystyle \dim R\leq n}$。
6. 直接和の予想。もし${\displaystyle R\subseteq S}$がRが正則なモジュール有限環拡大である場合(ここで、R は局所的である必要はありませんが、問題はすぐに局所的な場合に帰着します)、RはRモジュールとしてSの直和因子です。この予想は、完全空間の理論を用いてYves Andréによって証明されました。^{[ 1 ]}
7. 正準要素予想。${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{d}}$Rのパラメータのシステムとする。${\displaystyle F_{\bullet }}$Rの残余場の自由なR分解である。${\displaystyle F_{0}=R}$、そして$\displaystyle K_{\bullet }}$RのKoszul 複体をで表す${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{d}}$アイデンティティマップを持ち上げます${\displaystyle R=K_{0}\to F_{0}=R}$複合体のマップへ。そして、パラメータのシステムやリフティングの選択に関係なく、最後のマップは${\displaystyle R=K_{d}\to F_{d}}$0ではありません。
8. バランスのとれた大きなコーエン・マコーレー加群の存在予想。m R _W ≠ Wであり、 Rのすべてのパラメータ系がW上の正則列となるような(必ずしも有限生成ではない) R加群Wが存在する。
9. 直和因子のコーエン・マコーレー性予想。Rが正則環SのR加群としての直和因子であるならば、Rはコーエン・マコーレーである ( Rは局所的である必要はないが、結果はRが局所的である場合にすぐに帰着する)。
10. Tor のマップに関する消失予想。${\displaystyle A\subseteq R\to S}$Rが必ずしも局所的ではない準同型写像(ただし、その場合まで還元できる) であり、A、S は正則で、R はA加群として有限生成である。Wを任意のA加群とする。このとき写像は${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{A}(W,R)\to \operatorname {Tor} _{i}^{A}(W,S)}$すべての${\displaystyle i\geq 1}$。
11. 強い直接和の予想。${\displaystyle R\subseteq S}$を完全局所領域のマップとし、Q をSの高さ 1 の素イデアルとする。${\displaystyle xR}$ここで、Rと${\displaystyle R/xR}$どちらも普通です。${\displaystyle xR}$これは、 R加群として考えた場合のQの直和因子である。
12. 弱関数的ビッグコーエン・マコーレー代数の存在予想。${\displaystyle R\to S}$は、完全局所領域の局所準同型写像である。このとき、 Rの平衡ビッグ コーエン・マコーレー代数であるR代数B _Rが存在し、S代数${\displaystyle B_{S}}$これはSのバランスのとれた大きな Cohen-Macaulay 代数であり、これらの写像によって与えられる自然平方が可換となるような準同型写像B _R → B _Sです。
13. セルの多重度予想。（セルの多重度予想を参照。 ） Rが次元dの正則であり、${\displaystyle M\otimes _{R}N}$有限の長さを持つ。${\displaystyle \chi (M,N)}$モジュールの長さの交代和として定義される${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(M,N)}$0の場合${\displaystyle \dim M+\dim N<d}$、そして、合計がdに等しい場合は正の値となる。（注：ジャン＝ピエール・セールは、合計がd を超えることはないことを証明した。）
14. 小さなコーエン・マコーレー加群予想。Rが完備ならば、有限生成のR加群が存在する。${\displaystyle M\neq 0}$Rのパラメータの何らかの（あるいはすべての）システムがM上の正則列となるように。

• ホモロジー予想、古いものと新しいもの、メルビン・ホックスタ―、イリノイ数学ジャーナル第51巻第1号（2007年）、151-169頁。
• Bhargav Bhattによる直接項予想とその派生形について。