ベクトル場

同じベクトル場v ( x , y ) = − rの 2 つの表現。矢印は離散的な点における場を表していますが、場はあらゆる場所に存在します。

R ⁿの部分集合Sが与えられたとき、ベクトル場は、標準デカルト座標( x ₁ , …, x _n )におけるベクトル値関数V : S → R ⁿによって表されます。V の各成分が連続であれば、Vは連続ベクトル場です。一般的には、各成分が滑らかな関数(任意の回数微分可能) である滑らかなベクトル場に注目します。ベクトル場は、 n次元空間内の個々の点にベクトルを割り当てるものとして視覚化できます。^{[ 1 ]}

標準的な表記法の一つは、次のように書くことである。${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}}$座標方向の単位ベクトルについて。これらの用語では、すべての滑らかなベクトル場${\displaystyle V}$開集合上${\displaystyle S}$の$\displaystyle {\mathbf {R} }^{n}}$次のように書くことができます $$\displaystyle \sum _{i=1}^{n}V_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}){\frac {\partial }{\partial x_{i}}}}$$ いくつかの滑らかな関数について${\displaystyle V_{1},\ldots ,V_{n}}$の上${\displaystyle S}$[ ^{2 ]}この表記の理由は、ベクトル場が滑らかな関数の空間からそれ自身への線形写像を決定するから^である。${\displaystyle V\colon C^{\infty }(S)\to C^{\infty }(S)}$これは、ベクトル場の方向に沿って微分することによって得られる。

例：ベクトル場$${\displaystyle -x_{2}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+x_{1}{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}}$$原点を中心とした反時計回りの回転を記述します$\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$関数が${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}$回転不変である、以下を計算する： $$\displaystyle \left(-x_{2}{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+x_{1}{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\right)\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\right)=-x_{2}(2x_{1})+x_{1}(2x_{2})=0.}$$

S上で定義されたベクトル場V、WとS上で定義された滑らかな関数fが与えられたとき、スカラー乗算とベクトル加算の演算は、 $${\displaystyle {\begin{aligned}(fV)(p)&:=f(p)V(p)\\(V+W)(p)&:=V(p)+W(p),\end{aligned}}}$$ 滑らかなベクトル場を、関数の乗算が点ごとに定義される滑らかな関数の環上の加群にする。

物理学において、ベクトルは、異なる背景座標系に対して同じベクトルを測定したときにその座標がどのように変化するかによっても区別されます。ベクトルの変換特性は、ベクトルを単純なスカラーのリストや共ベクトルとは幾何学的に異なる実体として区別します。

したがって、( x ₁ , ..., x _n )はデカルト座標の選択であり、その座標に関してベクトルVの成分は次のようになる と仮定します。$${\displaystyle V_{x}=(V_{1,x},\dots ,V_{n,x})}$$ そして、( y ₁ ,..., y _n )はx _iのn 個の関数であり、異なる座標系を定義すると仮定します。このとき、新しい座標系におけるベクトルVの成分は変換法則を満たす必要があります。

このような変換法則は反変法則と呼ばれます。物理学におけるベクトル場も同様の変換法則によって特徴づけられます。具体的には、ベクトル場は、異なる座標系を関連付ける変換法則（1 ）に従う、各座標系におけるn個の関数の指定です。

したがって、ベクトル場は、空間内のすべての点に数値またはスカラーを関連付けるスカラー場とは対照的であり、また、座標変換によって変化しない単純なスカラー場のリストとも対照的である。

微分可能な多様体が与えられた場合${\displaystyle M}$上のベクトル場${\displaystyle M}$は、各点に接線ベクトルを割り当てることです。${\displaystyle M}$[ ^{2 ]より正確には}、ベクトル場${\displaystyle F}$は、​${\displaystyle M}$接線束へ${\displaystyle TM}$となることによって${\displaystyle p\circ F}$は、恒等写像です。${\displaystyle p}$は、${\displaystyle TM}$に${\displaystyle M}$言い換えれば、ベクトル場は接束の断面である。

別の定義：滑らかなベクトル場${\displaystyle X}$多様体上${\displaystyle M}$線形マップ${\displaystyle X:C^{\infty }(M)\to C^{\infty }(M)}$そのため${\displaystyle X}$派生形です:${\displaystyle X(fg)=fX(g)+X(f)g}$すべての人々のために${\displaystyle f,g\in C^{\infty }(M)}$[ ^{3 ]​}

多様体の場合${\displaystyle M}$ が滑らかまたは解析的である、つまり座標変換が滑らか（解析的）であるならば、滑らかな（解析的）ベクトル場の概念を理解できる。滑らかな多様体上のすべての滑らかなベクトル場の集合は、${\displaystyle M}$はしばしば次のように表される${\displaystyle \Gamma (TM)}$または${\displaystyle C^{\infty }(M,TM)}$（特にベクトル場を断面として考える場合）すべての滑らかなベクトル場の集合は、で表されます。${\textstyle {\mathfrak {X}}(M)}$（フラクトゥール体の「X」）

ベクトル場は、勾配演算子（del : ∇で表される）を使用してスカラー場から構築することができる。^{[ 4 ]}

開集合S上で定義されたベクトル場Vは、 S上に実数値関数 (スカラー場) fが存在し、以下の条件を満たす 場合、勾配場または保存場と呼ばれる。$${\displaystyle V=\nabla f=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial f}{\partial x_{2}}},{\frac {\partial f}{\partial x_{3}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right).}$$

関連する流れは勾配流であり、勾配降下法で使用される。

保存場における 任意の閉曲線γ（γ（0）＝γ （1））に沿った経路積分はゼロである。$${\displaystyle \oint _{\gamma }V(\mathbf {x} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} =\oint _{\gamma }\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} =f(\gamma (1))-f(\gamma (0)).}$$

R ⁿ \ {0}上のC ∞ -ベクトル場は、以下^の条件を満たす場合に 中心場と呼ばれる。$${\displaystyle V(T(p))=T(V(p))\qquad (T\in \mathrm {O} (n,\mathbb {R} ))}$$ ここで、O( n , R )は直交群です。中心場は、0 の周りの直交変換に対して不変であると言います。

点0はフィールドの中心と呼ばれます。

直交変換は実際には回転と鏡映であるため、不変性条件は中心場のベクトルが常に0に向かうか、0から離れる方向を向いていることを意味します。これは別の（そしてより単純な）定義です。中心場は常に勾配場です。なぜなら、それを1つの半軸上で定義し、積分すると反勾配が得られるからです。

物理学でよく用いられる手法の一つに、曲線に沿ってベクトル場を積分する、すなわち線積分を求める方法があります。直感的に言えば、これは曲線の接線に沿ったすべてのベクトル成分を、それらのスカラー積として合計することです。例えば、力場（重力など）中の粒子を考えます。空間のある点における各ベクトルは、その点に作用する力を粒子に表しています。ある経路に沿った線積分は、粒子がその経路に沿って移動する際に粒子に対して行われる仕事です。直感的に言えば、これは曲線に沿った各点における力ベクトルと小さな接線ベクトルのスカラー積の合計です。

線積分はリーマン積分と同様の方法で構成され、曲線が可測（有限長）であり、ベクトル場が連続である場合に存在します。

ベクトル場Vと曲線γが与えられ、tが[ a , b ]内のパラメータとして与えられている場合 ( aとbは実数)、線積分は次のように定義されます。 $${\displaystyle \int _{\gamma }V(\mathbf {x} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} =\int _{a}^{b}V(\gamma (t))\cdot {\dot {\gamma }}(t)\,\mathrm {d} t.}$$

ベクトル場の位相構造を示すには、線積分畳み込みを用いることができる。

ユークリッド空間上のベクトル場の発散は関数（またはスカラー場）である。3次元では、発散は次のように定義される。 $${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial F_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{3}}{\partial z}},}$$

任意の次元への明らかな一般化を伴う。ある点における発散は、その点の周囲の小さな体積がベクトル流のソースまたはシンクとなる度合いを表し、この結果は発散定理によって厳密に定義される。

発散はリーマン多様体、すなわちベクトルの長さを測るリーマン計量を持つ多様体上でも定義できる。

回転は、ベクトル場を入力として別のベクトル場を生成する演算です。回転は3次元でのみ定義されますが、回転のいくつかの性質は外微分によって高次元でも捉えることができます。3次元では、回転は次のように定義されます。 $${\displaystyle \operatorname {curl} \mathbf {F} =\nabla \times \mathbf {F} =\left({\frac {\partial F_{3}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{2}}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{1}-\left({\frac {\partial F_{3}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{2}+\left({\frac {\partial F_{2}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial y}}\right)\mathbf {e} _{3}.}$$

回転は、ある点におけるベクトル流の角運動量の密度、すなわち、流れが固定軸の周りをどれだけ回転するかを示す指標です。この直感的な説明は、ストークスの定理によってより正確に表現されます。

ベクトル場の指数は、孤立した零点（すなわち、ベクトル場の孤立した特異点）の周りでの挙動を記述するのに役立つ整数です。平面上では、指数は鞍点特異点では-1、ソース特異点またはシンク特異点では+1の値をとります。

ベクトル場が定義されている多様体の次元をn とする。 零点の周りに、他の零点が S の内部に存在しないような閉曲面 ((n-1) 次元球面と同相) S を取る。この球面から次元n  −  1 の単位球面への写像は、この球面上の各ベクトルをその長さで割って単位長さベクトルを形成することによって構成できる。この単位長さベクトルは、単位球面 S ^{n −1上の点である。これにより、S から S n −1}への連続写像が定義される。この点におけるベクトル場の指数は、この写像の次数である。この整数は S の選択に依存せず、したがってベクトル場自体のみに依存することが示される。

このインデックスは、非特異点（つまり、ベクトルがゼロでない点）では定義されません。ソースの周りでは+1に等しく、より一般的には、k個の収縮次元とn - k個の拡張次元を持つ鞍点の周りでは(-1) ^{kに等しくなります。}

ベクトル場全体の指数は、零点が有限個しかない場合に定義されます。この場合、すべての零点は孤立しており、ベクトル場の指数はすべての零点における指数の合計として定義されます。

3次元空間における通常の（2次元）球面の場合、球面上の任意のベクトル場の指数は2でなければならないことが示せる。これは、そのようなベクトル場はすべて零点を持つ必要があることを示している。これは毛玉定理を意味する。

有限個の零点を持つコンパクト多様体上のベクトル場について、ポアンカレ・ホップの定理によれば、ベクトル場の指数は多様体のオイラー標数である。

定義により、上のベクトル場${\displaystyle M}$は、その各流れ曲線が常に存在する場合に完全であると呼ばれる。 ^{[ 6 ]}特に、多様体上の コンパクト台を持つベクトル場は完全である。${\displaystyle X}$は完全ベクトル場である${\displaystyle M}$すると、流れに沿って生成される微分同相写像の1 パラメータ群${\displaystyle X}$常に存在し、滑らかな写像によって記述される。 $${\displaystyle \mathbf {R} \times M\to M.}$$境界のないコンパクト多様体上では、すべての滑らかなベクトル場は完全である。不完全なベクトル場 の例${\displaystyle V}$実際の路線で${\displaystyle \mathbb {R} }$は${\displaystyle V(x)=x^{2}}$微分方程式${\textstyle x'(t)=x^{2}}$初期条件付き${\displaystyle x(0)=x_{0}}$独自の解決策として${\textstyle x(t)={\frac {x_{0}}{1-tx_{0}}}}$もし${\displaystyle x_{0}\neq 0}$（そして${\displaystyle x(t)=0}$すべての人々のために${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$もし ${\displaystyle x_{0}=0}$)したがって${\displaystyle x_{0}\neq 0}$、${\displaystyle x(t)}$未定義です${\textstyle t={\frac {1}{x_{0}}}}$したがって、すべての値に対して定義することはできません${\displaystyle t}$。

2つのベクトル場に関連する流れは、必ずしも互いに可換であるとは限りません。これらの流れが可換でないことは、2つのベクトル場のリー括弧によって記述され、リー括弧自体もまたベクトル場です。リー括弧は、滑らかな関数に対するベクトル場の作用という観点から簡単に定義できます。${\displaystyle f}$: $${\displaystyle [X,Y](f):=X(Y(f))-Y(X(f)).}$$