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初等幾何学において、多面体とは、平面（面）を持つ幾何学的オブジェクトのことです。多面体は、3次元多面体を任意の次元に一般化したものです。多面体は、n次元多面体またはn-多面体として、任意の一般的な次元数nで存在できます。たとえば、2次元多角形は2-多面体であり、3次元多面体は3-多面体です。この文脈では、「平面」とは、 ( k + 1) -多面体の面が、( k - 1) -多面体と共通するk-多面体から構成されていることを意味します。
いくつかの理論では、この考え方をさらに一般化して、無限アペイロトープやテセレーション、球面多面体を含む曲がった多様体の分解やタイリング、集合論的な抽象多面体などの対象を含めている。
3 次元を超える多面体は、 1853 年以前にルートヴィヒ・シュレーフリによって初めて発見され、彼はそのような図形をポリシェムと呼んだ。[ 1 ]ドイツ語のポリトップという用語は数学者のラインホルト・ホッペによって造語され、アリシア・ブール・ストットによってポリトープとしてイギリスの数学者に紹介された。
今日では、多面体という用語は幅広い種類の対象を包含する広範な用語であり、数学文献には様々な定義が見られます。これらの定義の多くは互いに等価ではなく、結果として異なる重複する対象群が多面体と呼ばれることになります。これらは、凸多面体を一般化して類似の性質を持つ他の対象を含めるための異なるアプローチを表しています。
ルートヴィヒ・シュレーフリ、トロルド・ゴセットらが広く採用した当初のアプローチは、2次元と3次元における多角形と多面体の概念を類推によって4次元以上に拡張することから始まる。[ 2 ]
多面体のオイラー標数を高次元多面体に一般化しようとする試みは、トポロジーの発展と、分解またはCW複体を多面体に類似したものとして扱うことにつながりました。[ 3 ]このアプローチでは、多面体は、ある与えられた多様体のテセレーションまたは分解とみなすことができます。このアプローチの一例として、単体分解を許容する点の集合として多面体を定義します。この定義では、多面体は有限個の単体の和集合であり、空でない交差を持つ任意の2つの単体について、それらの交差が2つの頂点、辺、または高次元の面であるという追加の性質があります。[ 4 ]しかし、この定義では内部構造を持つ星型多面体は許容されないため、数学の特定の分野に限定されます。
星型多面体やその他の珍しい構造の発見により、内部を無視して境界面としての多面体という考え方につながった。[ 5 ]この観点から、p空間の凸多面体は( p -1)球面のタイリングに相当し、他のものは他の楕円形、平面、またはトーラス状の( p -1)面のタイリングである可能性がある。楕円タイリングとトーラス状多面体を参照。多面体は面が多角形である表面として理解され、4-多面体は面(セル)が多面体である超曲面として理解される、など。
より低次元の多面体からより高次元の多面体を構築するという考え方は、次元を下方向に拡張されることもあり、(辺)は点対で囲まれた1次元多面体、点または頂点は0次元多面体とみなされます。このアプローチは、例えば抽象多面体の理論で用いられています。
数学の特定の分野では、「ポリトープ」と「多面体」という用語は異なる意味で使用されます。多面体（またはn次元多面体）は、任意の次元の一般的な（有界または非有界の）オブジェクト（この記事ではポリトープと呼ばれます）であり、ポリトープは有界多面体を意味します。[ 6 ]この用語は通常、凸多面体と凸多面体に限定されます。この用語では、凸多面体は有限個の半空間の交差であり、その辺によって定義されますが、凸多面体は有限個の点の凸包であり、その頂点によって定義されます。
次元数の少ない多面体には、標準的な名称がある。
多面体は、頂点、辺、面、セルなど、異なる次元の要素から構成されます。これらの用語は、著者によって完全には一致していません。たとえば、一部の著者は( n − 1) 次元の要素を指すのにfaceを使用しますが、他の著者は特に 2 次元の面を指すのにfaceを使用します。著者によっては、 j次元の要素を示すのにj -face またはj -facet を使用する場合があります。一部の著者は、リッジを指すのにedgeを使用しますが、 HSM Coxeter は( n − 1) 次元の要素を示すのにcellを使用します。[ 8 ]
本稿で採用する用語は、以下の表に示すとおりです。
n次元多面体は、 ( n - 1) 次元の面によって囲まれています。これらの面はそれ自体が多面体であり、その面は元の多面体の ( n - 2) 次元の稜線です。すべての稜線は 2 つの面の交点として生じます (ただし、2 つの面の交点は必ずしも稜線である必要はありません)。稜線は再び多面体であり、その面は元の多面体の ( n - 3) 次元の境界を生み出し、以下同様です。これらの境界となる部分多面体は、面、特にj次元面またはj面と呼ばれることがあります。0 次元面は頂点と呼ばれ、1 つの点から構成されます。1 次元面は辺と呼ばれ、線分から構成されます。2 次元面は多角形から構成され、3 次元面 (セルと呼ばれることもあります) は多面体から構成されます。
多面体は凸多面体である場合がある。凸多面体は最も単純な種類の多面体であり、多面体の概念のさまざまな一般化の基礎を形成する。凸多面体は、半空間の集合の交差として定義されることもある。この定義により、多面体は有界でも有限でもないものとなる。多面体は、例えば線形計画法においてこのように定義される。多面体は、それを包含する有限半径の球が存在する場合、有界である。多面体は、少なくとも1つの頂点を含む場合、点付きであると言われる。有界で空でない多面体はすべて点付きである。点のない多面体の例としては、集合 がある。多面体は、有限個のオブジェクトによって定義される場合、例えば有限個の半平面の交点として定義される場合、有限多面体である。すべての頂点の座標が整数である場合、それは整数多面体である。
ある種の凸多面体は反射多面体である。-多面体ある整数行列に対して反射的である、、 どこはすべて1からなるベクトルを表し、不等式は成分ごとに成り立つ。この定義から、反射的であるのは、すべての人々のために言い換えれば、-拡張する整数格子点に関して、-拡張する境界上で得られた格子点のみによって。言い換えれば、反射的であるのは、その双対多面体が反射的である場合に限る。は整数多面体である。[ 9 ]
正多面体は、すべての多面体の中で最も高い対称性を持つ。正多面体の対称群は、そのフラグに対して推移的に作用する。したがって、正多面体の双対多面体もまた正多面体である。
正多面体には、次元数に関わらず存在する3つの主要なクラスがあります。
2次元、3次元、4次元には、5重対称性を持つ正多面体が含まれており、その中には非凸星形もあります。2次元には、n重対称性を持つ正多角形が無限に存在し、凸多角形と（n ≧5の場合）星形の両方があります。しかし、より高次元には、他の正多面体は存在しません。[ 2 ]
3次元空間における凸プラトン立体には、5回対称性を持つ正十二面体と正二十面体が含まれる。さらに、5回対称性を持つ星型ケプラー・ポアンソ多面体も4つあり、合計で9つの正多面体となる。
4次元空間では、正4次元多面体には、4回対称性を持つ凸多面体が1つと、5回対称性を持つ凸多面体が2つ含まれる。星型シュレーフリ・ヘス4次元多面体はすべて5回対称性を持ち、合計で16個の正4次元多面体が存在する。
非凸多面体は自己交差する可能性がある。このクラスの多面体には星型多面体が含まれる。正多面体の中には星型多面体もある。[ 2 ]
（塗りつぶされた）凸多面体Pは次元は一点に縮約可能であり、オイラー標数はその境界∂Pの交代和は次のように表される。
これは多面体に対するオイラーの公式を一般化したものである。[ 10 ]
グラム・オイラーの定理は、同様に内角の交代和を一般化したものである。凸多面体から高次元多面体へ: [ 10 ]
すべての多様体が有限であるとは限りません。多様体のタイリングまたは分解としてポリトープが理解される場合、この考え方は無限多様体にも拡張できます。平面タイリング、空間充填（ハニカム）、双曲タイリングは、この意味でポリトープであり、無限個のセルを持つことからアペイロトープと呼ばれることもあります。
これらの中には、正多面体や、正アペイロゴン、正方形タイリング、立方体ハニカムなどで表される無限のタイリング系列といった、規則的な形状が含まれる。
抽象多面体の理論は、多面体をそれらを含む空間から切り離し、純粋に組み合わせ論的な性質を考察しようとするものである。これにより、11胞体のように直感的な基礎空間を定義するのが難しい対象にも、この用語の定義を拡張することができる。
抽象多面体は、特定の規則に従う要素またはメンバーの半順序集合です。これは純粋に代数的な構造であり、この理論は、さまざまな幾何学的クラスを一貫した数学的枠組みの中で調和させることを困難にするいくつかの問題を回避するために開発されました。幾何学的多面体は、関連する抽象多面体の実空間における実現であると言われています。[ 11 ]
複素ヒルベルト空間には、多面体に類似した構造が存在する。ここで、n個の実次元にn個の虚次元が伴います。正則複素多面体は、構成として扱う方がより適切です。[ 12 ]
すべてのn次元多面体は、頂点をファセットに、辺をリッジに交換するなどして得られる双対構造を持ち、一般に ( j − 1) 次元要素を ( n − j ) 次元要素 ( j = 1 からn − 1) に交換し、要素間の接続性または関連性を維持します。
抽象多面体の場合、これは単に集合の順序を反転させるだけです。この反転は、正多面体のシュレーフリ記号に見られ、双対多面体の記号は元の記号の反転になります。例えば、{4, 3, 3} は{3, 3, 4} の双対です。
幾何学的多面体の場合、双対化のための何らかの幾何学的規則が必要となる。例えば、双対多面体について説明されている規則を参照のこと。状況によっては、双対図形は別の幾何学的多面体である場合もあれば、そうでない場合もある。[ 13 ]
双対を反転させると、元の多面体が復元される。したがって、多面体は双対のペアで存在する。
多面体の頂点の数と面の数、辺の数と稜線の数などが等しく、かつ接続性も同じであれば、双対図形は元の図形と相似になり、その多面体は自己双対である。
一般的な自己双対多面体には以下のようなものがある。
多角形や多面体は古代から知られていた。
高次元の概念を示唆する初期の兆候は、1827年にアウグスト・フェルディナント・メビウスが、鏡像関係にある2つの立体を、一方を第4の数学的次元だけ回転させることで重ね合わせることができることを発見した時に現れた。1850年代までには、アーサー・ケイリーやヘルマン・グラスマンといった他の数学者たちも、高次元について考察していた。
ルートヴィヒ・シュレーフリは、これらの高次元空間における多角形や多面体の類似物を最初に考察した人物である。彼は1852年に6つの凸正4次元多面体を記述したが、その研究成果は彼の死後6年後の1901年まで出版されなかった。1854年までに、ベルンハルト・リーマンの教授資格論文によって高次元幾何学が確立され、 n次元多面体の概念が受け入れられるようになった。シュレーフリの多面体は、彼の生前も含め、その後数十年の間に何度も再発見された。
1882年、ラインホルト・ホッペはドイツ語で、多角形と多面体のより一般的な概念を指すために「ポリトップ」という言葉を作り出した。やがて、論理学者ジョージ・ブールの娘であるアリシア・ブール・ストットが、英語化された「ポリトープ」を英語に導入した。 [ 2 ]： vi
1895年、トロルド・ゴセットはシュレーフリの正多面体を再発見しただけでなく、半正多面体や高次元空間における空間充填テセレーションの概念も研究した。多面体は双曲空間のような非ユークリッド空間でも研究され始めた。
1948年には、 HSM コクセターの著書『正多面体』によって重要な節目が達成された。この本は、それまでの研究を要約し、彼自身の新たな発見を加えたものである。
一方、フランスの数学者アンリ・ポアンカレは、多様体の区分的分解（例えばCW複体）として多面体という位相幾何学的な概念を発展させた。ブランコ・グリュンバウムは、 1967年に凸多面体に関する影響力のある研究を発表した。
1952年、ジェフリー・コリン・シェパードはこの考え方を複素空間における複素多面体として一般化し、各実次元にはそれぞれ対応する虚次元が存在するとした。コクセターはこの理論をさらに発展させた。
複雑な多面体、非凸性、双対性などの現象によって提起された概念的な問題は、グリュンバウムらを、頂点、辺、面などを関連付ける抽象的な組み合わせ的性質のより一般的な研究へと導いた。関連するアイデアとして、様々な要素間の接続や関連性を研究する接続複体の概念があった。これらの発展は最終的に、そのような要素の半順序集合（poset）としての抽象多面体の理論へとつながった。ピーター・マクマレンとエゴン・シュルテは、 2002年に『抽象正則多面体』という著書を出版した。
4 次元以上の凸多面体と非凸多面体の列挙は、未解決の問題として残っています。凸一様 4 次元多面体は、1965 年にジョン・コンウェイとマイケル・ガイによってコンピュータを使用して完全に列挙されました。 [ 14 ] [ 15 ]より高次元では、この問題は 1997 年時点でも未解決でした。[ 16 ] 2008 年時点では、非凸一様多面体の完全な列挙は、4 次元以上では知られていません。[ 17 ]
現代において、多面体および関連概念は、コンピュータグラフィックス、最適化、検索エンジン、宇宙論、量子力学など、多岐にわたる分野で重要な応用例を見出している。2013年には、理論物理学における特定の計算を簡略化する構成要素として、アンプリチュードロンが発見された。
最適化の分野において、線形計画法は線形関数の最大値と最小値を研究します。これらの最大値と最小値は、 n次元多面体の境界上に存在します。線形計画法では、多面体は一般化重心座標とスラック変数の使用において用いられます。
理論物理学の一分野であるツイスター理論では 、亜原子粒子が衝突する際の散乱振幅を計算するために、振幅多面体と呼ばれる多面体が使用されます。この構造は純粋に理論上のものであり、既知の物理的発現はありませんが、特定の計算を大幅に簡略化すると言われています。[ 18 ]
