逆ガロア問題

ガロア理論において、逆ガロア問題は、すべての有限群が有理数のガロア拡大のガロア群として現れるかどうかに関する問題である。この問題は19世紀初頭に初めて提起され、^[1]未解決である。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

汎用多項式が知られている置換群がいくつかあり、特定の群をガロア群とするすべての代数的拡張を定義します。これらの群には、次数が5以下のすべての群が含まれます。また、次数8の巡回群など、汎用多項式を持たないことが知られている群もあります。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

より一般的には、G を与えられた有限群、K を体とします。ガロア群がGと同型であるガロア拡大体L / Kが存在する場合、G はK上で実現可能であると言えます。

多くの事例が知られています。すべての有限群は、複素数上の任意の 1 変数関数体上で実現可能であり、より一般的には、特性0の任意の代数閉体上の 1 変数関数体上で実現可能であることが知られています。Igor Shafarevich は、すべての有限可解群が上で実現可能であることを示しまし た。 ^[2]また、おそらくMathieu 群M ₂₃を除くすべての単純散在群 が上で実現可能であることも知られています。^[3] ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

デイヴィト・ヒルベルトは、この問題がGの合理性の問題に関連していることを示しました。

K がの任意の拡大で、その上でG が自己同型群として作用し、不変体K ^Gが 上で有理数である場合、G は上で実現可能です。${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

ここで有理数とは、代数的に独立した集合によって生成される の純粋に超越的な拡張であることを意味します。この基準は、たとえば、すべての対称群が実現可能であることを示すために使用できます。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

この問題について多くの詳細な研究が行われてきましたが、これは一般に解決されているわけではありません。その一部は、射影直線のガロア被覆としてG を幾何学的に構築することに基づいています。代数的に言えば、不定tにおける有理関数体の拡張から始まります。その後、ヒルベルトの既約定理を適用してtを特殊化し、ガロア群を保存するようにします。 ${\displaystyle \mathbb {Q} (t)}$

16次以下のすべての置換群は 上で実現可能であることが知られている。^[4] 17次の群PSL(2,16):2は実現可能ではない可能性がある。^[5]${\displaystyle \mathbb {Q} }$

PSL(2,25)(位数7800)より小さい13個の非可換 単純群はすべて 上で実現可能であることが知られている。^[6]${\displaystyle \mathbb {Q} }$

古典的な結果を用いると、任意の正の整数nに対して、上のガロア群が巡回群Z / n Zとなるような多項式を明示的に構築することができます。これを行うには、p ≡ 1 (mod n )となる素数p を選択します。これはディリクレの定理により可能です。Q ( μ ) をμによって生成されるの円分拡大とし、μは1 の原始p乗根とします。 Q ( μ )/ Qのガロア群は、位数p − 1の巡回群です。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

n は p − 1を割り切る ので、ガロア群には( p − 1)/ nの位数の巡回部分群H があります。ガロア理論の基本定理は、対応する固定体F = Q ( μ ) ^{H が}上でガロア群Z / n Zを持つことを意味します。ガウス周期の構成に従って、μの共役を適切に和すると、上でF を生成するFの元α を見つけ、その最小多項式を計算できます。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

この方法は、すべての有限アーベル群をカバーするように拡張できます。なぜなら、そのような群はすべて、実際には の何らかの円分拡大のガロア群の商として現れるからです。(ただし、この記述は、はるかに深いところにある クロネッカー-ウェーバーの定理と混同しないでください。)${\displaystyle \mathbb {Q} }$

n = 3の場合、p = 7とすることができます。するとGal( Q ( μ )/ Q )は 6 次巡回になります。 μ をμ ³に送るこのグループの生成元ηを取ります。興味があるのは 2 次部分群H = {1, η ³ } です。元α = μ + η ³ ( μ )を考えます。構築により、α はHによって固定され、 上で 3 つの共役のみを持ちます。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

α = η ⁰ ( α ) = μ + μ ⁶、

β = η ¹ ( α ) = μ ³ + μ ⁴、

γ = η ² ( α ) = μ ² + μ ^{5 です}。

ID の使用:

1 + μ + μ ² + ⋯ + μ ⁶ = 0、

人は

α + β + γ = −1、

αβ + βγ + γα = −2、

αβγ = 1。

したがってαは多項式の 根である

( x − α )( x − β )( x − γ ) = x ³ + x ² − 2 x − 1、

結果的にガロア群Z /3 Zが存在します。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

ヒルベルトは、すべての対称群と交代群が有理係数を持つ多項式のガロア群として表されることを示しました。

多項式x ⁿ + ax + bは判別式を持つ

${\displaystyle (-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}\!\left(n^{n}b^{n-1}+(-1)^{1-n}(n-1)^{n-1}a^{n}\right)\!.}$

特別なケースを取り上げます

f ( x , s ) = xn − sx − s^です。

f ( x , s )のs を素数で置き換えると、アイゼンシュタインの基準により既約である多項式（f ( x , s )の特殊化と呼ばれる）が得られます。すると、 f ( x , s ) はに対して既約でなければなりません。さらに、 f ( x , s )は次のように書くことができます 。${\displaystyle \mathbb {Q} (s)}$

${\displaystyle x^{n}-{\tfrac {x}{2}}-{\tfrac {1}{2}}-\left(s-{\tfrac {1}{2}}\right)\!(x+1)}$

そしてf ( x ,1/2)は因数分解すると次のようになる。

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(x-1)\!\left(1+2x+2x^{2}+\cdots +2x^{n-1}\right)}$

の2番目の因数は既約である（ただしアイゼンシュタインの基準では既約ではない）。逆数多項式のみがアイゼンシュタインの基準では既約ではない。これで、群Gal( f ( x , s )/ Q ( s ))が二重推移的であることが示されました。

すると、このガロア群は転置を持つことがわかります。スケーリング(1 − n ) x = nyを使って、

${\displaystyle y^{n}-\left\{s\left({\frac {1-n}{n}}\right)^{n-1}\right\}y-​​\left\{s\left({\frac {1-n}{n}}\right)^{n}\right\}}$

そして

${\displaystyle t={\frac {s(1-n)^{n-1}}{n^{n}}},}$

我々は次の点に到達します:

g ( y , t ) = y ⁿ − nty + ( n − 1) t

手配できる

y ⁿ − y − ( n − 1)( y − 1) + ( t − 1)(− ny + n − 1)。

すると、g ( y ,1)は1を二重零点として持ち、他のn −2個の零点は単純であり、 Gal( f ( x , s )/ Q ( s ))の転置が暗示される。転置を含む 有限の二重推移的置換群は完全対称群である。

ヒルベルトの既約定理は、有理数の無限集合が、ガロア群が有理体上のS _nであるf ( x , t )の特殊化を与えることを意味します。実際、この有理数集合は において稠密です。${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

g ( y , t )の判別式は

${\displaystyle (-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}(1-t),}$

そして、これは一般に完全な正方形ではありません。

交代群の解は、奇数次と偶数次で異なる方法で処理する必要があります。

させて

${\displaystyle t=1-(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}nu^{2}}$

この置換の下では、g ( y , t )の判別式は

${\displaystyle {\begin{aligned}(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}(1-t)&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left(1-\left(1-(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}nu^{2}\right)\right)\\&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left((-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}nu^{2}\right)\\&=n^{n+1}(n-1)^{n-1}t^{n-1}u^{2}\end{aligned}}}$

nが奇数の場合には完全な平方数になります。

させて：

${\displaystyle t={\frac {1}{1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}}}$

この置換では、g ( y , t )の判別式は次のようになります。

${\displaystyle {\begin{aligned}(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}(1-t)&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left(1-{\frac {1}{1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}}\right)\\&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left({\frac {\left(1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}\right)-1}{1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}}\right)\\&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left({\frac {(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}{1+(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}}}\right)\\&=(-1)^{\frac {n(n-1)}{2}}n^{n}(n-1)^{n-1}t^{n-1}\left(t(-1)^{\tfrac {n(n-1)}{2}}(n-1)u^{2}\right)\\&=n^{n}(n-1)^{n}t^{n}u^{2}\end{aligned}}}$

nが偶数の場合には完全な平方数になります。

また、ヒルベルトの既約定理は、ガロア群が交代群であるような特殊化が無限に存在することを意味します。

C ₁ , …, C _{n が}有限群Gの共役類であり、AがGのn組( g ₁ , …, g _n )の集合で、 g _{i が}C _iに含まれ、積g ₁ … g _{n が}自明であるとします。A が空でなく、G が共役によって推移的に作用し、 Aの各要素がG を生成する場合、 Aは剛体と呼ばれます。

トンプソン (1984) は、有限群Gが剛体集合を持つ場合、その有限群は有理数の円分拡大上のガロア群として実現できることが多いことを示した。(より正確には、共役類C _i上のGの既約指標の値によって生成される有理数の円分拡大上。)

これを使って、モンスター群を含む多くの有限単純群が有理数の拡大のガロア群であることを示すことができます。モンスター群は、位数2、3、29の 3 つの要素によって生成されます。このような 3 つの要素はすべて共役です。

剛性のプロトタイプは対称群S _nであり、これはnサイクルと、積が( n − 1)サイクルである転置によって生成されます。前のセクションの構成では、これらの生成子を使用して多項式のガロア群を確立しました。

n > 1 を任意の整数とする。周期比τの複素平面上の格子Λには、周期比nτの部分格子Λ′がある。後者の格子は、 Λの基底変換に基づくモジュラー群PSL(2, Z )によって並べ替えられた部分格子の有限集合の 1 つである。j をFelix Kleinの楕円モジュラー関数とする。多項式φ _{n を}共役部分格子上の差( X − j (Λ _i ))の積として定義する。 Xの多項式として、φ _{n は}j ( τ )上の多項式である係数を持つ。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

共役格子上では、モジュラー群はPGL(2, Z / n Z )として作用する。従って、φ _{n は}上でPGL(2, Z / n Z )と同型のガロア群を持つ。 ${\displaystyle \mathbb {Q} (\mathrm {J} (\tau ))}$

ヒルベルトの既約定理を使用すると、 上のガロア群PGL(2, Z / n Z ) を持つ多項式に φ n を特殊化した有理数の無限（かつ稠密）集合が得られます。群 PGL(2, Z / n Z )には、_無限に多くの解けない群が含まれます。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

• 半アーベル群（ガロア理論）

• _{MacBeath, AM (1969). 「ガロア群 PGL(2,Z n} )による有理数の拡張」.ロンドン数学会報. 1 (3): 332–338. doi :10.1112/BLMS/1.3.332.
• トンプソン、ジョン G. (1984)、「K ⊆ Q(μ _n )の Gal L/K として現れるいくつかの有限群」、代数ジャーナル、89 (2): 437–499、doi : 10.1016/0021-8693(84)90228-X、MR  0751155
• ヘルムート・フォルクライン『ガロア群としての群、入門』ケンブリッジ大学出版局、1996年。ISBN 978-0521065030。
• セール、ジャン＝ピエール（1992）。ガロア理論の話題。数学研究ノート。第1巻。ジョーンズとバートレット。ISBN 0-86720-210-6.ZBL0746.12001  。​
• Gunter Malle、Heinrich Matzat、『逆ガロア理論』、Springer-Verlag、1999 年、ISBN 3-540-62890-8。 
• Gunter Malle、Heinrich Matzat、『逆ガロア理論』、第 2 版、Springer-Verlag、2018 年。
• Alexander Schmidt、Kay Wingberg、ガロア群としての可解群に関する Safarevic の定理( Neukirch, Jürgen ; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000)、Cohomology of Number Fields、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften、vol. 323、Berlin: Springer-も参照フェルラーグ、ISBN  978-3-540-66671-4、MR  1737196、Zbl  0948.11001）
• Christian U. Jensen、Arne Ledet、Noriko Yui、「一般多項式、逆ガロア問題の構成的側面」、Cambridge University Press、2002年。

• 「逆ガロア問題 PCMI 2021 大学院サマースクールプログラム - 計算に基づく数論 - 2021 年 7 月 26 ～ 30 日」。2023 年 2 月 16 日時点のオリジナルよりアーカイブ。