3つの立方体の合計

べき乗の和の数学において、正の立方数と負の立方数の両方を許し、3つの整数の立方数の和として表せる数を特徴付けることは未解決の問題である。ある整数がそのような和に等しくなるための必要条件は、9を法として4または5に等しくならないということである。これは、9を法として算定される立方数は0、1、-1であり、これらの数のうち3つを足しても9を法として4または5にはならないからである。 ^[1]この必要条件が十分であるかどうかは不明である。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

この問題のバリエーションには、非負の立方数の和と有理数の立方数の和があります。すべての整数は有理数の立方数の和として表現できますが、非負の立方数の和が自然密度がゼロでない集合を形成するかどうかは不明です。

0を3つの立方体の和として表す非自明な表現は、指数3に対するフェルマーの最終定理の反例となる。3つの立方体のうち1つは他の2つと反対の符号を持ち、その否定は他の2つの和に等しいからである。したがって、フェルマーの最終定理のその場合のレオンハルト・オイラーの証明によれば、 ^[2]自明な解は

${\displaystyle a^{3}+(-a)^{3}+0^{3}=0.}$

1と2の表現には、無限の解の族が存在する。

${\displaystyle (9b^{4})^{3}+(3b-9b^{4})^{3}+(1-9b^{3})^{3}=1}$（ 1936年にK.マーラーによって 発見^{[3] ）}

そして

${\displaystyle (1+6c^{3})^{3}+(1-6c^{3})^{3}+(-6c^{2})^{3}=2}$（1908年にAS Verebrusovによって発見^[4]され、LJ Mordell ^[5]によって引用された）。

これらをスケールすることで、任意の立方体や立方体の2倍の数の表現を得ることができます。^[5] これらの無限族では与えられない2の表現も知られています。^[6]

${\displaystyle 1\ 214\ 928^{3}+3\ 480\ 205^{3}+(-3\ 528\ 875)^{3}=2,}$

${\displaystyle 37\ 404\ 275\ 617^{3}+(-25\ 282\ 289\ 375)^{3}+(-33\ 071\ 554\ 596)^{3}=2,}$

${\displaystyle 3\ 737\ 830\ 626\ 090^{3}+1\ 490\ 220\ 318\ 001^{3}+(-3\ 815\ 176\ 160\ 999)^{3}=2。 }$

しかし、1と2は、上記のように4次多項式でパラメータ化できる表現を持つ唯一の数である。^[5] 3の表現の場合でも、ルイス・J・モーデルは1953年に「私はその小さな解以外は何も知らない」と書いている。

${\displaystyle 1^{3}+1^{3}+1^{3}=4^{3}+4^{3}+(-5)^{3}=3}$

そして、3つの3乗された数字はそれぞれ9を法として等しくなければならないという事実。^{[7] [8]}

1955年以来、モーデルの提唱に始まり、多くの著者がこれらの表現の計算探索を実施してきた。^{[9] [10] [6] [11] [12] [13] [14] [15] [16 ] [17]エルセンハンスとヤーネル（2009）は、}格子縮小を含むノアム・エルキーズ （2000） の方法を使用して、ディオファントス方程式のすべての解を探索した。

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=n}$

が最大で1000の正数で、が であり、^[16] 2009年に について未解決の問題として残ったのは33、42、74、114、165、390、579、627、633、732、795、906、921、975のみであり、192、375、600は原始解がない（すなわち）ままである。Timothy Browningが2016年にNumberphileでこの問題を取り上げた後、Huisman (2016)はこれらの探索を74の場合 まで拡張し、解は${\displaystyle n}$${\displaystyle \max(|x|,|y|,|z|)<10^{14}}$${\displaystyle n\leq 1000}$${\displaystyle \gcd(x,y,z)=1}$${\displaystyle \max(|x|,|y|,|z|)<10^{15}}$

${\displaystyle 74=(-284\ 650\ 292\ 555\ 885)^{3}+66\ 229\ 832\ 190\ 556^{3}+283\ 450\ 105\ 697\ 727^{3}。 }$

これらの探索を通じて、 9を法として4または5と等しくないものはすべて解を持つが、最大で33と42の2つの例外しかないことが発見された。^[17]${\displaystyle n<100}$

しかし、2019年にアンドリュー・ブッカーは、 ${\displaystyle n=33}$

${\displaystyle 33=8\ 866\ 128\ 975\ 287\ 528^{3}+(-8\ 778\ 405\ 442\ 862\ 239)^{3}+(-2\ 736\ 111\ 468\ 807\ 040)^{3}.}$

これを達成するために、ブッカーは実行時間を最大値ではなく最大値に比例させる代替探索戦略を採用した^[18] 。これは元々ヒース・ブラウンら^[19]によって提案されたアプローチである。彼はまた、 ${\displaystyle \min(|x|,|y|,|z|)}$

${\displaystyle 795=(-14\ 219\ 049\ 725\ 358\ 227)^{3}+14\ 197\ 965\ 759\ 741\ 571^{3}+2\ 337\ 348\ 783\ 323\ 923^{3},}$

および、またはその他の未解決の問題に対する解決策は存在しないことが判明しました。 ${\displaystyle n=42}$${\displaystyle n\leq 1000}$${\displaystyle |z|\leq 10^{16}}$

その後まもなく、2019年9月にブッカーとアンドリュー・サザーランドは、チャリティエンジンのグローバルグリッド で130万時間の計算を行い、最終的にこの訴訟を解決しました。${\displaystyle n=42}$

${\displaystyle 42=(-80\ 538\ 738\ 812\ 075\ 974)^{3}+80\ 435\ 758\ 145\ 817\ 515^{3}+12\ 602\ 123\ 297\ 335\ 631^{3},}$

およびを含むこれまで知られていなかったいくつかの他のケースの解決策も示した。^[20]${\displaystyle n=165}$${\displaystyle 579}$${\displaystyle n\leq 1000}$

Booker と Sutherland は、Charity Engine でさらに 400 万時間の計算を行って、3 の 3 番目の表現も発見しました。

${\displaystyle 3=569\ 936\ 821\ 221\ 962\ 380\ 720^{3}+(-569\ 936\ 821\ 113\ 563\ 493\ 509)^{3}+(-472\ 715\ 493\ 453\ 327\ 032)^{3}.}$^{[20] [21]}

この発見により、ルイス・J・モーデルの65年来の疑問が解決され、この問題に関する研究の多くに刺激を与えた。^[7]

ブッカー氏は、YouTubeチャンネルNumberphileの動画に出演した際に3の3番目の表現を紹介したほか、906の表現も紹介した。

${\displaystyle 906=(-74\ 924\ 259\ 395\ 610\ 397)^{3}+72\ 054\ 089\ 679\ 353\ 378^{3}+35\ 961\ 979\ 615\ 356\ 503^{3}.}$^[22]

1,000までの未解決の問題は、114、390、627、633、732、921、975の7つの数字のみであり、192、375、600については原始的な解（すなわち）は知られていない。 ^{[20] [23]}${\displaystyle \gcd(x,y,z)=1}$

3つの立方体の和の問題は、 YouTubeチャンネルNumberphileの制作者であるブレイディ・ハランによって近年普及しており、2015年の動画「33の解明されていない問題」ではティモシー・ブラウニングへのインタビューが取り上げられている。^[24] その6か月後には、ブラウニングとの動画「74が解明された」が続き、2016年にフイスマンが発見した74の解法について議論している。^[25] 2019年、Numberphileは33、42の解法の発見、および3の新しい解法の発見を記念して、「42は新しい33」、「42の謎が解けた」、「3は3つの立方体の和」という3つの関連動画を公開した。^{[26] [27] [22]}

ブッカーによる33の解法は、Quanta Magazine ^[28]やNew Scientist ^[29]に掲載された記事や、Newsweek誌の記事で取り上げられ、その中でブッカーとサザーランドの共同研究が発表された。「…この数学者は現在、MITのアンドリュー・サザーランドと協力して、100未満の最後の未解決の数字である42の解法を見つけようとしている」^[30] 。42 という数字は、1979年のダグラス・アダムスのSF小説『銀河ヒッチハイク・ガイド』で「生命、宇宙、そして万物についての究極の質問」の答えとして登場したため、さらに一般の関心を集めている。

ブッカーとサザーランドによる42の解法の発表^{[31] [32]}は、New Scientist、^[33] Scientific American、^[34] Popular Mechanics、^[35] The Register、^[36] Die Zeit、^[37] Der Tagesspiegel、^[38] Helsingin Sanomat、^[39] Der Spiegel、^[40] New Zealand Herald、^[41] Indian Express、^[42] Der Standard、^[43] Las Provincias、^[44] Nettavisen、^[45] Digi24、^[46] BBC World Serviceなどの記事を含む国際的な報道を受けました。^[47] Popular Mechanicsは、42の解法を「2019年の10大数学ブレークスルー」の1つに挙げました。^[48]

数週間後、ブッカーとサザーランドがモーデルの疑問を解決したことで、新たな報道が巻き起こった。^{[21] [49] [50] [51] [52] [53] [54]}

ブッカーは第14回アルゴリズム数論シンポジウムでの招待講演で、この問題に対する一般の関心と、33と42の解の発表に対する一般の反応について議論した。^[55]

1992年、ロジャー・ヒース＝ブラウンは、9を法として4または5と等しくない数はすべて、3つの立方数の和として表現できる方法が無限にあると予想した。 ^[56]この問題の 例は、ビョルン・プーネンによって数論における決定不能な問題に関する概論の最初の例として使用され、その中で最も有名な例はヒルベルトの第10問題である。 ^[57]この特定の例はその後解決されているが、数を立方数の和として表現することが決定可能かどうかは不明である。つまり、アルゴリズムが、あらゆる入力に対して、与えられた数がそのような表現を持つかどうかを有限時間でテストできるかどうかは不明である。ヒース＝ブラウンの予想が正しい場合、問題は決定可能である。この場合、アルゴリズムは、9を法として計算し、これが4または5の場合はfalseを返し、それ以外の場合はtrueを返すことで、問題を正しく解くことができる。ヒース・ブラウンの研究には、明示的な表現が存在するかどうかを判断するだけでなく、アルゴリズムが明示的な表現を見つけるためにどの程度まで検索する必要があるかについてのより正確な推測も含まれています。^[56]${\displaystyle n}$${\displaystyle n=33}$${\displaystyle n}$

この問題の変形で、ワーリングの問題に関連するものは、非負整数の3つの立方体の和として表現することを求めるものである。19世紀に、カール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビと協力者はこの問題の解表をまとめた。^{[58]表現可能な数は正の}自然密度を持つと推測される。^{[59] [60]}これはまだ不明であるが、トレバー・ウーリーはからの数がそのような表現を持つことを示した。^{[61] [62] [63]}密度は最大 である。^[1]${\displaystyle \Omega (n^{0.917})}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \Gamma (4/3)^{3}/6\approx 0.119}$

すべての整数は、有理数の3つの立方体の和として表すことができます（整数の3乗の和としてではなく）。^{[64] [65]}

• 4 つの立方体の和の問題、すべての整数が 4 つの立方体の和であるかどうか
• オイラーの累乗和予想 § k = 3、3つの正の累乗の和として表される累乗に関する
• プラトンの数、おそらく 3 ³ + 4 ³ + 5 ³ = 6 ³という方程式を論じた古代のテキスト
• タクシー数、2つの正の整数の立方体の和としてn通りの方法で表現できる最小の整数

• 0 ≤ n ≤ 99 における n = x3 + y3 + z3 の解、三島久典
• threecubes、ダニエル・J・バーンスタイン
• 3 つの立方体の合計、Mathpages