機能全体

複素解析において、整関数（積分関数とも呼ばれる）とは、複素平面全体で正則な複素数値関数のことです。整関数の典型的な例としては、多項式や指数関数、およびそれらの有限和、積、合成（例えば、三角関数の正弦関数と余弦関数、およびそれらの双曲線関数である正弦関数と余弦関数） 、誤差関数などの整関数の導関数や積分などが挙げられます。整関数が${\displaystyle f(z)}$ルートはにあります ${\displaystyle w}$⁠、それから⁠${\displaystyle f(z)/(zw)}$⁠、限界値を取る⁠${\displaystyle w}$は整関数です。一方、自然対数、逆数、平方根はいずれも整関数ではなく、解析的に連続して整関数にすることもできません。

超越整関数とは、多項式ではない整関数のことである。

有理関数が有理関数の一般化と見なせるのと同様に、整関数は多項式の一般化と見なせる。特に、有理関数については因数分解を単純な分数に一般化できる（有理関数の分解に関するミッターグ＝レフラーの定理）ならば、整関数についても因数分解の一般化、すなわち整関数に関するワイエルシュトラスの定理が存在する。

すべての機能${\displaystyle f(z)}$単一のべき級数として表すことができる： $${\displaystyle \ f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}\ }$$ これは複素平面上のあらゆる場所で収束し、したがってコンパクト集合上で一様に収束する。収束半径は無限大であり、これは次のことを意味する。 $$\lim_{n\to\infty}|a_{n}|^{\frac{1}{n}}=0\ }$$ または同等に、^{[ a ]}$${\displaystyle \ \lim _{n\to \infty }{\frac {\ln |a_{n}|}{n}}=-\infty ~.}$$ この基準を満たすべき級数はすべて、整関数を表す。

べき級数の係数がすべて実数である場合（かつその場合に限る）、関数は明らかに実引数に対して実数値を取り、複素共役における関数の値は${\displaystyle z}$は、 の値の複素共役になります。${\displaystyle z}$このような関数は自己共役関数（共役関数、${\displaystyle F^{*}(z)}$⁠によって与えられる⁠${\displaystyle {\bar {F}}({\bar {z}})}$⁠ ). ^{[ 1 ]}

関数全体の実部が点の（複素）近傍で分かっている場合、複素平面全体で実部と虚部の両方が虚定数を除いて分かります。例えば、実部がゼロの近傍で分かっている場合、次の係数を求めることができます。${\displaystyle n>0}$実変数に関する以下の導関数から${\displaystyle r}$⁠ : $${\displaystyle {\begin{aligned}\Re (a_{n})&={\frac {1}{n!}}\left.{\frac {{\textrm {d}}^{n}}{{\textrm {d}}r^{n}}}\ \Re (f(r))\right|_{r=0}\\\Im (a_{n})&={\frac {1}{n!}}\left.{\frac {{\textrm {d}}^{n}}{{\textrm {d}}r^{n}}}\Re {\Bigl (}f{\Bigl (}re^{-{\frac {i\pi }{2n}}}{\Bigr )}{\Bigr )}\right|_{r=0}\end{aligned}}}$$

（同様に、虚部がそのような近傍で既知であれば、関数は実定数を除いて決定されます。）実際、実部が円弧上で既知であれば、関数は虚定数を除いて決定されます。^{[ b ]} ただし、整関数は必ずしも他の曲線上の実部によって決定されるわけではないことに注意してください。特に、複素平面上の任意の曲線上で実部が与えられており、その曲線上で他の整関数の実部がゼロである場合、その関数の任意の倍数を、決定しようとしている関数に加えることができます。たとえば、実部が既知である曲線が実数直線である場合、${\displaystyle i}$任意の自己共役関数の倍数。曲線がループを形成する場合、その曲線はループ上の関数の実部によって決定されます。なぜなら、曲線上で実部がゼロになる関数は、どこでも何らかの虚数に等しい関数だけだからです。

ワイエルシュトラスの因数分解定理は、任意の整関数は、その零点（または「根」）の積によって表すことができると主張している。

複素平面上のすべての関数は、整域（実際にはプリューファー整域）を形成します。また、それらは複素数上の可換かつ単位的結合代数を形成します。

リウヴィルの定理は、有界な整関数は必ず定数関数であると述べている。^{[ c ]}

リウヴィルの定理の結果として、リーマン球面^{[ d ]}全体で整関数である関数はすべて 定数関数である。したがって、定数でない整関数は、無限遠の複素点に特異点を持つ必要があり、多項式の場合は極、超越整関数の場合は本質的特異点となる。具体的には、カソラティ・ワイエルシュトラスの定理により、任意の超越整関数に対して、${\displaystyle f}$およびあらゆる複雑な${\displaystyle w}$シーケンスがあります${\displaystyle (z_{m})_{m\in \mathbb {N} }}$そのため

${\displaystyle \ \lim _{m\to \infty }|z_{m}|=\infty ,\qquad {\text{および}}\qquad \lim _{m\to \infty }f(z_{m})=w~.}$

ピカールの小定理は、より強力な結果である。定数でない整関数は、例外が1つある場合を除いて、すべての複素数を値としてとる。例外が存在する場合、それは関数の欠落値と呼ばれる。欠落値の可能性は、決して値 をとらない指数関数によって示される。${\displaystyle 0}$⁠。関数全体の対数の適切な分岐を取ると、 に決して到達しない⁠${\displaystyle 0}$⁠、したがってこれも完全関数になります（ワイエルシュトラスの因数分解定理による）。対数は、おそらく1つの数を除いてすべての複素数に当たります。これは、最初の関数が以外のすべての値に当たることを意味します。${\displaystyle 0}$無限回。同様に、定数でない関数全体は、特定の値に到達しない場合、他のすべての値に無限回到達する。

リウヴィルの定理は、次の命題の特殊な場合である。

関数全体は、任意の増加関数と同じ速さで増加する可能性があります。任意の増加関数について${\displaystyle g:[0,\infty )\to [0,\infty )}$関数全体が存在する${\displaystyle f}$そのため${\displaystyle f(x)>g(|x|)}$すべての現実のために${\displaystyle x}$⁠。そのような機能${\displaystyle f}$次のような形式で容易に見つけることができます。 $${\displaystyle f(z)=c+\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {z}{k}}\right)^{n_{k}}}$$ 定数に対して${\displaystyle c}$そして、正の整数の厳密に増加する数列${\displaystyle n_{k}}$⁠。そのようなシーケンスは、関数全体を定義します。${\displaystyle f(z)}$⁠、そして、適切なべき乗を選択すれば、不等式を満たすことができる。${\displaystyle f(x)>g(|x|)}$すべての現実のために${\displaystyle x}$⁠。（例えば、選択すれば確かに成り立つ）${\displaystyle c:=g(2)}$そして、任意の整数に対して${\displaystyle k\geq 1}$偶数指数を選択する${\displaystyle n_{k}}$そのため 、${\displaystyle \left({\frac {k+1}{k}}\right)^{n_{k}}\geq g(k+2)}$⁠ )

整関数の次数（無限大における）${\displaystyle f(z)}$上限値を用いて次のように定義されます。 $${\displaystyle \rho =\limsup _{r\to \infty }{\frac {\ln \left(\ln \|f\|_{\infty ,B_{r}}\right)}{\ln r}},}$$ どこ${\displaystyle B_{r}}$半径の円盤${\displaystyle r}$そして${\displaystyle \|f\|_{\infty ,B_{r}}}$は、の最高規範を表す。${\displaystyle f(z)}$オン⁠${\displaystyle B_{r}}$順序は非負の実数または無限大です（ただし、${\displaystyle f(z)=0}$すべての人にとって${\displaystyle z}$)言い換えれば、${\displaystyle f(z)}$すべての最小値${\displaystyle m}$すなわち、以下の通りである。 $${\displaystyle f(z)=O\left(\exp \left(|z|^{m}\right)\right),\quad {\text{as }}z\to \infty .}$$

例として${\displaystyle f(z)=\exp(2z^{2})}$これは、${\displaystyle f(z)=O(\exp(|z|^{m}))}$もし ${\displaystyle f(z)}$順序は⁠${\displaystyle m}$⁠ .

もし​${\displaystyle 0<\rho <\infty }$⁠ 、タイプを定義することもできます。 $${\displaystyle \sigma =\limsup _{r\to \infty }{\frac {\ln \|f\|_{\infty ,B_{r}}}{r^{\rho }}}.}$$

オーダーが1でタイプが⁠の場合${\displaystyle \sigma }$⁠ 、この関数は「指数型 」であると言われます。${\displaystyle \sigma }$1 未満のオーダーであれば、指数型 0 であると言われます。

もし$${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},}$$すると、数式によって順序と種類が求められる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=\limsup _{n\to \infty }{\frac {n\ln n}{-\ln |a_{n}|}}\\[6pt](e\rho \sigma )^{\frac {1}{\rho }}&=\limsup _{n\to \infty }n^{\frac {1}{\rho }}|a_{n}|^{\frac {1}{n}}\end{aligned}}}$$

させて${\displaystyle f^{(n)}}$⁠を示す${\displaystyle n}$のの階微分${\displaystyle f}$⁠。すると、これらの式を任意の点における導関数を用いて言い換えることができる。${\displaystyle z_{0}}$⁠ : $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=\limsup _{n\to \infty }{\frac {n\ln n}{n\ln n-\ln |f^{(n)}(z_{0})|}}=\left(1-\limsup _{n\to \infty }{\frac {\ln |f^{(n)}(z_{0})|}{n\ln n}}\right)^{-1}\\[6pt](\rho \sigma )^{\frac {1}{\rho }}&=e^{1-{\frac {1}{\rho }}}\limsup _{n\to \infty }{\frac {|f^{(n)}(z_{0})|^{\frac {1}{n}}}{n^{1-{\frac {1}{\rho }}}}}\end{aligned}}}$$

型は、逆ガンマ関数の場合のように無限大の場合もあれば、ゼロの場合もある（ §  1 の項の例を参照）。

次数と種類を調べるもう一つの方法は、マツァエフの定理です。

有限位数の完全関数は、アダマールの標準表現を持つ（アダマール分解定理）： $${\displaystyle f(z)=z^{m}e^{P(z)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{z_{n}}}\right)\exp \left({\frac {z}{z_{n}}}+\cdots +{\frac {1}{p}}\left({\frac {z}{z_{n}}}\right)^{p}\right),}$$ どこ${\displaystyle z_{k}}$それらの根は${\displaystyle f}$ゼロではないもの（${\displaystyle z_{k}\neq 0}$⁠ )${\displaystyle m}$はゼロの位数です${\displaystyle f}$で${\displaystyle z=0}$（ケース）${\displaystyle m=0}$と解釈される⁠${\displaystyle f(0)\neq 0}$⁠ )${\displaystyle P}$多項式（その次数を${\displaystyle q}$）、 そして${\displaystyle p}$は、次の数列を満たす最小の非負整数である。 $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{|z_{n}|^{p+1}}}}$$ 収束する。非負整数${\displaystyle g=\max\{p,q\}}$全体関数の種数と呼ばれる。${\displaystyle f}$⁠ .

注文が${\displaystyle \rho }$整数でない場合、${\displaystyle g=\lfloor \rho \rfloor }$はの整数部分です${\displaystyle \rho }$順序が正の整数である場合、2つの可能性があります。${\displaystyle g=\rho -1}$または⁠${\displaystyle g=\rho }$⁠ .

例えば、${\displaystyle \sin }$⁠、${\displaystyle \cos }$そして${\displaystyle \exp }$属の完全な機能である${\displaystyle g=\rho =1}$⁠ .

JE Littlewoodによれば、ワイエルシュトラスのシグマ関数は「典型的な」整関数である。この記述は、ランダム整関数の理論においてより正確に表現できる。すなわち、ほとんどすべての整関数の漸近挙動はシグマ関数の漸近挙動と類似している。その他の例としては、フレネル積分、ヤコビのシータ関数、逆ガンマ関数などが挙げられる。指数関数と誤差関数は、ミッタッグ＝レフラー関数の特殊な場合である。ペイリーとウィーナーの基本定理によれば、有界な台を持つ関数（または分布）のフーリエ変換は、次数nの整関数である。${\displaystyle 1}$そして有限型。

その他の例としては、多項式係数を持つ線形微分方程式の解が挙げられます。最高階微分係数が定数である場合、そのような方程式のすべての解は整関数となります。例えば、指数関数、正弦関数、余弦関数、エアリー関数、放物線円筒関数などがこれに該当します。整関数のクラスは合成に関して閉じています。これにより、整関数のダイナミクスを研究することが可能になります。

複素数の平方根の整関数は、元の関数が偶関数である場合に整関数となります。例えば、${\displaystyle \cos({\sqrt {z}})}$⁠ .

根がすべて実数である多項式の列が、原点の近傍で恒等的にゼロに等しくない極限に収束する場合、この極限は整関数である。このような整関数はラゲール・ポリアクラスを形成し、これはアダマール積によって特徴付けられる。すなわち、${\displaystyle f}$このクラスに属するのは、アダマール表現においてすべてが${\displaystyle z_{n}}$本当です、${\displaystyle \rho \leq 1}$⁠、そして ⁠${\displaystyle P(z)=a+bz+cz^{2}}$⁠、そこで${\displaystyle b}$そして${\displaystyle c}$現実であり、${\displaystyle c\leq 0}$例えば、多項式の列 $${\displaystyle \left(1-{\frac {(z-d)^{2}}{n}}\right)^{n}}$$ 収束する、${\displaystyle n}$増加し、${\displaystyle \exp(-(z-d)^{2})}$多項式​ $${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(\left(1+{\frac {iz}{n}}\right)^{n}+\left(1-{\frac {iz}{n}}\right)^{n}\right)}$$ すべて実根を持ち、収束する⁠${\displaystyle \cos(z)}$多項式​ $${\displaystyle \prod _{m=1}^{n}\left(1-{\frac {z^{2}}{\left(\left(m-{\frac {1}{2}}\right)\pi \right)^{2}}}\right)}$$ また、以下のように収束する。${\displaystyle \cos(z)}$⁠、これはコサインのアダマール積の計算過程を示しています。

• ジェンセンの公式
• カールソンの定理
• 指数型
• ペイリー・ウィーナーの定理
• ウィマン・ヴァリロン理論