一様5次元多面体

幾何学において、一様5 次元多面体とは、5 次元の一様多面体です。定義により、一様 5 次元多面体は頂点推移的であり、一様 4 次元多面体の 面から構成されます。

凸一様 5 次元多面体の完全な集合は決定されていないが、対称群の小さな集合からウィトフ構成として多くを作ることができる。これらの構成操作は、コクセター図の環の順列によって表される。

• 正多面体: (凸面)
  • 1852 :ルートヴィッヒ・シュレーフリは、彼の原稿「理論理論」の中で、5次元以上の正多面体が正確に 3 つ存在することを証明しました。
• 凸半正多面体: (コクセターの均一カテゴリ以前のさまざまな定義)
  • 1900年：ソロルド・ゴセットは、著書『n次元空間における正則図形と半正則図形について』の中で、正則な面を持つ非柱状半正則凸多面体（凸正則4次元多面体）のリストを列挙した。^[1]
• 凸一様多面体:
  • 1940-1988 : この研究は、 HSM Coxeterの著書『Regular and Semi-Regular Polytopes I, II, and III』で体系的に拡張されました。
  • 1966年：ノーマン・W・ジョンソンがコクセターの指導の下、トロント大学で「均一多面体とハニカムの理論」の博士論文を完成
• 非凸一様多面体:
  • 1966年：ジョンソンは博士論文の中で5次元空間における2つの非凸均一反プリズムについて記述した。^[2]
  • 2000-2024 : ジョナサン・バウワーズと他の研究者は、他の非凸一様5次元多面体を探索しています。^[3]現在、一様4次元多面体のプリズムを除いて、無限族（凸と非凸）の外側にある一様5次元多面体は1348個知られています。リストが完全であることは証明されていません。^{[4] [5]}

正5次元多面体は、各面の周りにs個の{p,q,r}個の4次元多面体面を持つシュレーフリ記号{p,q,r,s}で表すことができます。このような正多面体は正確に3つあり、すべて凸です。

• {3,3,3,3} - 5単体
• {4,3,3,3} - 5 キューブ
• {3,3,3,4} - 5-オルソプレックス

5 次元以上では非凸正多面体は存在しません。

凸一様 5 次元多面体は 104 個知られており、さらにデュオプリズムプリズムの無限族や多角形多面体デュオプリズムも数多く存在する。グランド アンチプリズム プリズムを除くすべてのものは、コクセター群で生成される反射対称性であるウィトフ構成に基づいている。^[要出典]

5 単体はA ₅族の正規形です。5キューブと5 正複素数はB _{5族の正規形です。D 5}族の分岐グラフには、 5 正複素数のほか、交互5 キューブである5 デミキューブが含まれます。

それぞれの反射一様 5 次元多面体は、コクセター図のノードの順列の周りのリングによって表される、ウィトフ構成によって 5 次元の 1 つ以上の反射点群内に構築できます。ミラー超平面は、偶数枝で区切られた色付きノードでわかるようにグループ化できます。形式 [a,b,b,a] の対称群には拡張対称性 [[a,b,b,a]] があり、[3,3,3,3] と同様に対称順序が 2 倍になります。対称リングを持つこれらのグループの一様多面体には、この拡張対称性が含まれます。

特定の均一多面体において、特定の色のすべてのミラーがリングされていない (非アクティブ) 場合、すべての非アクティブなミラーを削除することで、対称性が低い構成になります。特定の色のすべてのノードがリングされている (アクティブ) 場合、交代操作によって、カイラル対称性を持つ新しい 5 多面体を生成できます (「空の」円で囲まれたノードとして表示されます)。ただし、ジオメトリは、均一なソリューションを作成するために調整することは通常できません。

基本家族^[7]

均一プリズム

非プリズム状の一様 4 次元多面体に基づく、有限カテゴリカル一様 プリズム状多面体族が 5 つあります。一様デュオプリズム{p}×{q}×{ }のプリズムに基づく、無限 5 次元多面体族が 1 つあります。

均一デュオプリズム

一様多面体と正多角形の直積に基づく多面体のカテゴリカル一様二 重角柱族は3 つあります: { q , r }×{ p }。

• 単純型ファミリー: A ₅ [3 ⁴ ]
  • 19 個の均一な 5 次元多面体
• ハイパーキューブ/オーソプレックスファミリー: B ₅ [4,3 ³ ]
  • 31 個の均一な 5 次元多面体
• 半超立方体D ₅ /E ₅族: [3 ^2,1,1 ]
  • 23 個の均一な 5 次元多面体 (8 個は固有)
• ポリコーラルプリズム:
  • プリズマティック族に基づく56個の均一5次元多面体（45個固有）構成：[3,3,3]×[ ]、[4,3,3]×[ ]、[5,3,3]×[ ]、[3 ^1,1,1 ]×[ ]。
  • 1 つの非ウィソフ面- 大反プリズム プリズムは、多面体プリズムで接続された 2 つの大反プリズムから構成される、唯一知られている非ウィソフ面の凸均一 5 次元多面体です。

合計は19+31+8+45+1=104となります。

さらに、次のものがあります:

• デュオプリズムプリズム族に基づく無限の数の均一な 5 次元多面体構成: [ p ]×[ q ]×[ ]。
• デュオプリスマティック族に基づく無限の数の均一な 5 次元多面体構成: [3,3]×[ p ]、[4,3]×[ p ]、[5,3]×[ p ]。

1 つ以上の環を持つ Coxeter 図のすべての順列に基づく 19 の形式があります。(16+4-1 ケース)

これらは、通常の 5 単体 (ヘキサテロン) に対する Wythoff の構築操作から Norman Johnsonによって命名されました。

A ₅族は、順序720 (6 の階乗) の対称性を持ちます。対称的に環状の Coxeter 図を持つ 19 個の図のうち 7 個は、順序 1440 の二重対称性を持ちます。

5 次元単体対称性を持つ均一な 5 次元多面体の座標は、すべて法線ベクトル (1,1,1,1,1,1) を持つ超平面内の 6 次元空間の単純な整数の順列として生成できます。

B ₅ファミリーは、3840 (5! × 2 ⁵ ) の対称性を持っています。

この族には、コクセター図の1つ以上のノードをマークすることによって生成された2 ⁵ −1=31のウィソフ一様多面体があります。また、半分の対称性を持つ交代として生成された8つの一様多面体が追加され、D ₅族の完全な複製を形成します。... =.....（繰り返しだけを生成するためリストに載っていない代替が他にもある。... =.... そして... =.... これらは、対称性が半分に破れた、20 から 34 までの番号が付けられた均一な 5 次元多面体の完全な複製になります。

簡単にするために、2 つのサブグループに分けられ、それぞれに 12 のフォームがあり、両方に等しく属する 7 つの「中間」フォームがあります。

5 次元多面体の 5 次元立方体族は、次の表にリストされている基点の凸包によって与えられ、座標と符号のすべての順列が取られます。各基点は、異​​なる一様 5 次元多面体を生成します。すべての座標は、辺の長さが 2 の一様 5 次元多面体に対応します。

D ₅族は1920 次 (5! x 2 ^{4 ) の対称性を持ち}ます。

このファミリーには、 1 つ以上のリングを持つD ₅コクセター図の3×8-1順列から、23 個のウィソフ一様多面体があります。15 個 (2×8-1) は B ₅ファミリーから繰り返され、8 個はこのファミリーに固有ですが、その 8 個も B ₅ファミリーからの交替を複製します。

15回の繰り返しでは、長さ1の枝を終わらせるノードは両方ともリング状になっているので、要素は同一であり、対称性は2倍である。関係は... =.... そして... =...、上記の一様5次元多面体20から34の完全な複製を作成します。8つの新しい形式には、1つのノードがリング状で、もう1つはリング状ではないため、関係は... =...上記の均一な 5 次元多面体 51 から 58 を複製します。

非プリズマティックな一様4 次元多面体に基づく、有限カテゴリカル一様 プリズマティック多面体族が5 つあります。簡単にするために、ほとんどの交替は示されていません。

このプリズマティックファミリーには9 つの形式があります。

A ₁ x A ₄ファミリーは、 240 次 (2*5!) の対称性を持ちます。

このプリズマティックファミリーには16のフォームがあります。（3つは[3,4,3]×[ ]ファミリーと共有されます）

A ₁ × B ₄ファミリーは、768 次 (2 ⁵ 4!) の対称性を持ちます。

最後の 3 つのスナブは、等しい長さのエッジで実現できますが、4 面の一部が均一な 4 次元多面体ではないため、結局は非均一になります。

このプリズマティックファミリーには10 の形式があります。

A ₁ x F ₄ファミリーは、2304 次 (2*1152) の対称性を持ちます。3 つの多面体 85、86、89 (緑の背景) は、二重対称性 [[3,4,3],2]、順序 4608 を持ちます。最後の 1 つであるスナブ 24 セル プリズム (青い背景) は、[3 + ^, 4,3,2] 対称性、順序 1152 を持ちます。

このプリズマティックファミリーには15 の形式があります。

A ₁ x H ₄ファミリーは、 28800 (2*14400) の順序の対称性を持ちます。

均一なデュオプリズムプリズム、{ p }×{ q }×{ }は、すべての整数p、q >2に対して無限クラスを形成します。{4}×{4}×{ }は、5次元立方体の対称性の低い形式になります。

{ p }×{ q }×{ } の拡張f ベクトルは、( p , p , 1 )*( q , q , 1 )*(2, 1 ) = (2 pq ,5 pq ,4 pq +2 p +2 q ,3 pq +3 p +3 q , p + q +2, 1 ) として計算されます。

大反プリズム プリズムは、唯一知られている凸非ウィソフ一様 5 次元多面体です。頂点は 200 個、辺は 1100 個、面は 1940 個 (五角形 40 個、正方形 500 個、三角形 1400 個)、セルは 1360 個 (四面体600 個、五角形反プリズム40 個、三角柱700 個、五角柱20 個)、ハイパーセルは 322 個 (大反プリズム2 個) あります。 、20個の五角形の反プリズムプリズム、300個の四面体柱 ）。

反射 5 次元均一多面体の構築は、 Wythoff 構築プロセスによって行われ、各ノードがミラーを表すCoxeter ダイアグラムで表されます。ノードは、どのミラーがアクティブであるかを示すためにリング化されます。生成される均一多面体の完全なセットは、リング化されたノードの一意の順列に基づいています。均一 5 多面体は、各ファミリの正多面体に関連して名前が付けられます。一部のファミリには 2 つの正多面体コンストラクタがあり、そのため命名方法が 2 つある場合があります。

ここでは、均一な 5 次元多面体を構築して名前を付けるために使用できる主要な演算子を示します。

最後の操作であるスナブ、およびより一般的にはオルタネーションは、非反射フォームを作成できる操作です。これらは、ノードに「中空のリング」で描画されます。

プリズマティック形式と分岐グラフでは同じ切り捨てインデックス表記を使用できますが、わかりやすくするためにノードに明示的な番号付けシステムが必要です。

ユークリッド4次元空間に規則的かつ一様なモザイクを生成する基本的なアフィンコクセター群は5つあり、プリズマティック群は13個ある。 ^{[11] [12]}

ユークリッド 4 次元空間には 3 つの正則ハニカムがあります。

• テッセラティックハニカム、記号は{4,3,3,4}、=この科には均一なハニカムが 19 個あります。
• 24セルハニカム、記号は{3,4,3,3}、この科には、反射性の均一なハニカムが 31 個あり、交互形態が 1 個あります。
  • シンボルt{3,4,3,3}を持つ切り詰められた24セルのハニカム、
  • スナブ24セルハニカム、記号s{3,4,3,3}、そして各頂点に4 つのスナブ 24 セル、1 つの16 セル、および 5 つの5 セルで構成されます。
• 16セルのハニカム、記号は{3,3,4,3}、

均一なハニカムを生成する他のファミリ:

• 23のユニークな環状構造があり、そのうち8つは16細胞ハニカムファミリーに新しく加わったものである。記号h{4,3 ^{2 ,4}は}16細胞ハニカムと幾何学的に同一である。=
• には7つの独特な環状形態がある。${\displaystyle {\tilde {A}}_{4}}$ファミリー、すべて新しいもの、以下を含む:
  • 4単体ハニカム
  • 切断された4単体ハニカム
  • 全切形4単体ハニカム
• には9つの独特な環状構造がある: [3 ^1,1,1,1 ]${\displaystyle {\チルダ {D}}_{4}}$ファミリー、四分の一テッセラティックハニカムを含む2つの新しいもの、=、および二分円錐台形ハニカム、=。

これらの反射形式からの伸長 (層の挿入) と回転 (層の回転) によって、4 次元空間における 非ウィソフの均一なタイル張りも存在します。

双曲コンパクト群

ランク 5 のコンパクトな双曲型 Coxeter 群が 5 つあり、それぞれ Coxeter 図の環の順列として双曲型 4 次元空間に均一なハニカムを生成します。

^H4空間には5つ​​の正則コンパクト凸双曲型ハニカムが存在する: ^[13]

^{H 4}空間には 4 つの規則的なコンパクトな双曲型星型ハニカムも存在します。

双曲型パラコンパクト群

階数 5 のパラコンパクト双曲型コクセター群は9 個あり、それぞれがコクセター図の環の順列として 4 次元空間に均一なハニカムを生成します。パラコンパクト群は、無限の面または頂点図形を持つハニカムを生成します。

• T. ゴセット：n 次元空間の正則図形と半正則図形について、数学のメッセンジャー、マクミラン、1900 年（正則 4 次元多面体 3 つと半正則 4 次元多面体 1 つ）
• A. ブール・ストット:正多面体と空間充填からの準正則の幾何学的演繹、コーニンククライケ アカデミー ファン ヴェテンシャッペン幅ユニット アムステルダムのフェルハンデリンゲン、エアステ セクション 11,1、アムステルダム、1910
• HSMコクセター:
  • HSM Coxeter、Regular Polytopes、第 3 版、Dover New York、1973 年 (p. 297 反射によって生成される既約群の基本領域、球面およびユークリッド)
  • HSM コクセター、『幾何学の美：12 のエッセイ』（第 10 章：双曲空間における正則ハニカム、要約表 IV、p213）
• 万華鏡：HSMコクセター選集、F.アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイヴィック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6 [1]  
  • (論文22) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
  • (論文 23) HSM Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II、[Math. Zeit. 188 (1985) 559-591] (p. 287 5D Euclidean groups、p. 298 Four-dimensionsal honeycombs)
  • (論文 24) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体 III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• NW ジョンソン：均一多面体とハニカムの理論、博士論文、トロント大学、1966 年
• ジェームズ・E・ハンフリーズ、「反射群とコクセター群」、ケンブリッジ高等数学研究、29（1990）（141ページ、6.9双曲コクセター群の一覧、図2）[2]

• Klitzing、Richard。「5D 均一多面体 (ポリテラ)」。– 非凸フォームと、B ₅および D ₅ファミリーからの重複構造が含まれます