一意の因数分解領域

数学において、一意因数分解領域( UFD ) (ブルバキの用語に従って階乗環と呼ばれることもある) は、算術の基本定理に類似した命題が成り立つ環である。具体的には、UFD は整域(任意の 2 つの非ゼロ元の積が非ゼロになる非自明な可換環) であり、その中のすべての非ゼロ非単位元は、次数と単位を除いて一意に既約元の積として表すことができる。

UFD の重要な例としては、整数や、係数が整数または体から得られる 1 つ以上の変数の多項式環が挙げられます。

一意の因数分解領域は、次のクラス包含の連鎖に現れます。

乱数⊃環⊃可換環⊃ 整域⊃整閉域⊃ GCD 域⊃一意因数分解域⊃主イデアル域⊃ユークリッド域⊃体⊃代数的に閉体

正式には、一意の因数分解領域は、単位元ではないRのすべての非ゼロ元x がRの既約元p _iの有限積として表される整数領域 Rとして定義されます。

x = p ₁ p ₂ ⋅⋅⋅ p _nただしn ≥ 1

この表現は次の意味で一意である: q ₁ , ..., q _mがRの既約元で、

x = q ₁ q ₂ ⋅⋅⋅ q _mただしm ≥ 1、

するとm = nとなり、 φ  : {1, ..., n } → {1, ..., m }という全単射写像 が存在し、i ∈ {1, ..., n }に対してp _iがq _{φ ( i )}に関連付けられます。

初等数学でよく知られている環のほとんどは UFD です。

• すべての主イデアル領域、したがってすべてのユークリッド領域はUFD です。特に、整数(算術の基本定理も参照)、ガウス整数、およびアイゼンシュタイン整数は UFD です。
• RがUFD であれば、 Rに係数を持つ多項式の環であるR [ X ]も UFD です。Rが体でない限り、R [ X ] は主イデアル領域ではありません。 帰納法により、任意の UFD (特に体上または整数上) 上の任意の数の変数の多項式環は UFD です。
• 体K上(またはより一般的にはPID などの通常のUFD 上) の形式的な冪級数環K [[ X ₁ , ..., X _n ]]は UFD です。一方、UFD 上の形式的な冪級数環は、UFD が局所的であっても UFD である必要はありません。たとえば、Rがk [ x , y , z ]/( x ² + y ³ + z ⁷ )の素イデアル( x , y , z )での局所化である場合、 R はUFD である局所環ですが、 R上の形式的な冪級数環R [[ X ]] はUFD ではありません。
• アウスランダー・ブックスバウムの定理は、すべての正規局所環が UFD であることを述べています。
• ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[e^{\frac {2\pi i}{n}}\right]}$は、 1 ≤ n ≤ 22 のすべての整数に対して UFD ですが、n = 23に対しては UFD ではありません。
• 森は、ネーター局所環などのザリスキー環の完備化がUFD であれば、その環は UFD であることを示した。^[1]この逆は真ではない。UFD であるネーター局所環が存在するが、その完備化は UFD ではない。これが起こるのはいつなのかという問題はかなり微妙である。たとえば、k [ x , y , z ]/( x ² + y ³ + z ⁵ )の素イデアル( x , y , z )への局所化では、局所環とその完備化は両方とも UFD であるが、k [ x , y , z ]/( x ² + y ³ + z ⁷ )の素イデアル( x , y , z )への局所化という明らかに類似した例では、局所環は UFD であるが、その完備化は UFD ではない。
• を 2 以外の任意の標数を持つ体とします。Klein と Nagata は、QがXの非特異な 2 次形式でnが 5 以上であれば、環R [ X ₁ , ..., X _n ]/ Q はUFD になることを示しました。n = 4のとき、環は UFD である必要はありません。たとえば、R [ X , Y , Z , W ]/( XY − ZW ) はUFD ではありません。これは、元XY が元ZWに等しいため、XYとZW は同じ元を既約要素に因数分解した 2 つの異なる因数分解だからです。${\displaystyle R}$
• 環Q [ x , y ]/( x ² + 2 y ² + 1)は UFD ですが、環Q ( i )[ x , y ]/( x ² + 2 y ² + 1)は UFD ではありません。一方、環Q [ x , y ]/( x ² + y ² − 1)は UFD ではありませんが、環Q ( i )[ x , y ]/( x ² + y ² − 1)は UFDです。^[2]同様に2 次元実球面の座標環 R [ X , Y , Z ]/( X ² + Y ² + Z ² − 1)はUFD ですが、複素球面の座標環C [ X , Y , Z ]/( X ² + Y ² + Z ² − 1)は UFD ではありません。
• 変数X _{i に}重みw _iが与えられ、F ( X ₁ , ..., X _n )が重​​みwの同次多項式であるとします。このとき、c がwと互いに素であり、 R がUFD であり、R上の有限生成射影加群がすべて自由であるかcが 1 mod wである場合、環R [ X ₁ , ..., X _n , Z ]/( Z ^c − F ( X ₁ , ..., X _n ))は UFD です。^[3]

• 形式 のすべての複素数の二次整数環 （aとbは整数）は UFD ではありません。これは、6 が 2×3 と の両方に因数分解されるためです。これらは実際には異なる因数分解です。この環の唯一の単位は 1 と −1 であるためです。したがって、2、3、、のいずれも と関連していません。4 つの因数すべてが既約であることを示すのは難しくありませんが、これは明らかではないかもしれません。^[4]代数的整数も参照してください。${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]}$${\displaystyle a+b{\sqrt {-5}}}$${\displaystyle \left(1+{\sqrt {-5}}\right)\left(1-{\sqrt {-5}}\right)}$${\displaystyle 1+{\sqrt {-5}}}$${\displaystyle 1-{\sqrt {-5}}}$
• 平方でない正の整数 dの場合、dがHeegner 数でない限り、の整数環はUFD になりません。${\displaystyle \mathbb {Q} [{\sqrt {-d}}]}$
• 複素数上の形式的な冪級数の環は UFD ですが、どこでも収束するそれらの部分環、つまり単一の複素変数内の関数全体の環はUFD ではありません。これは、ゼロが無限にある関数全体が存在するため、既約因子が無限にあるのに対し、UFD 因数分解は有限でなければならないためです。例:

  ${\displaystyle \sin \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{{z^{2}} \over {n^{2}}}\right).}$

整数に対して定義されたいくつかの概念は、UFD に一般化できます。

• UFD では、すべての既約元は素数です。(どの整域でも、すべての素数は既約ですが、その逆は必ずしも成り立ちません。たとえば、要素z ∈ K [ x , y , z ]/( z ² − xy )は既約ですが、素数ではありません。) これには部分的な逆があることに注意してください。つまり、ACCP を満たす領域が UFD である場合、すべての既約元は素数です。
• UFD の任意の 2 つの要素には、最大公約数と最小公倍数があります。ここで、 aとbの最大公約数は、aとb の両方を割り切る要素d であり、 a と b の他のすべての公約数は d を割り切る要素です。aとbのすべての最大公約数は関連付けられています。
• 任意のUFD は整閉です。言い換えると、R が商体 Kを持つ UFD であり、Kの元k がRに係数を持つ単項多項式の根である場合、k はRの元です。
• S をUFD Aの乗法的に閉じた部分集合とします。すると、局所化S ⁻¹ Aは UFD になります。これの部分的な逆も成り立ちます。以下を参照してください。

ネーター整域は、高さ1の素イデアルがすべて主イデアルである場合に限り、 UFD です(証明は最後に示します)。また、デデキント整域は、そのイデアル類群が自明である場合に限り、UFD です。この場合、それは実際には主イデアル整域です。

一般に、積分領域Aの場合、次の条件は同等です。

1. A はUFD です。
2. Aの非ゼロ素イデアルには必ず素元が含まれる。^[5]
3. A は主イデアルの昇順連鎖条件(ACCP)を満たし、局所化 S ⁻¹ Aは UFD である。ここでS は素元によって生成されるAの乗法的に閉じた部分集合である。(永田基準)
4. A はACCP を満たし、すべての既約数は素数です。
5. A は原子であり、すべての既約数は素数です。
6. A はACCP を満たすGCD ドメインです。
7. Aはシュライア領域であり^[6]、原子である。
8. A はプレシュライアー領域であり、原子です。
9. A には、すべての約数が主約数となる約数理論があります。
10. A は、すべての除数イデアルが主であるクルル領域です(実際、これは Bourbaki における UFD の定義です)。
11. Aはクルル整域であり、高さ1のすべての素イデアルは主イデアルである。^[7]

実際には、(2)と(3)が最も有用な条件です。たとえば、すべての素イデアルはPIDの素元によって生成されるため、(2)からPIDはUFDであることが直ちにわかります。

別の例として、高さ 1 の素イデアルがすべて主イデアルであるノイマン整域を考えます。すべての素イデアルは有限の高さを持つため、高さ 1 の素イデアル (高さの帰納法) が主イデアルとして含まれます。(2) により、環は UFD です。

• パラファクタル局所環
• 非可換な一意因数分解領域