モジュラー表現理論

モジュラー表現論は数学の一分野であり、正の標数p（必ず素数）の体K上の有限群の線型表現を研究する表現論の一部です。群論への応用だけでなく、モジュラー表現は代数幾何学、符号理論^[要出典]、組合せ論、数論など、数学の他の分野でも自然に生じます。

有限群論においては、リチャード・ブラウアーがモジュラー表現論を用いて証明した特徴論的結果は、有限単純群の分類に向けた初期の進歩において重要な役割を果たした。特に、シロー2-部分群が適切な意味で小さすぎるために純粋に群論的な方法で特徴付けができなかった単純群において重要な役割を果たした。また、ブラウアーが開発した理論を用いてジョージ・グラウバーマンが証明した、 Z*定理と呼ばれる、位数2の要素を有限群に埋め込む一般的な結果は、分類プログラムにおいて特に有用であった。

Kの標数p が位数| G | を割り切れない場合、マシュケの定理により、 モジュラー表現は通常の(標数 0) 表現と同様に完全に簡約可能です。その他の場合、つまり | G | ≡ 0 (mod p ) の場合、マシュケの定理を証明するために必要な群の平均化のプロセスは機能せず、表現は完全に簡約可能である必要はありません。以下の議論の多くは、暗黙的に体Kが十分に大きい (たとえば、K が代数的に閉じていれば十分) ことを前提としています。そうでない場合、いくつかのステートメントを改良する必要があります。

有限体上の表現論に関する最も初期の研究は、ディクソン (1902) によるもので、彼はp が群の位数を割り切れない場合、表現論は標数 0 の場合の表現論に類似していることを示しました。彼はまた、いくつかの有限群のモジュラー不変量を研究しました。標数p が群の位数を割り切れる場合のモジュラー表現の体系的な研究は、ブラウアー (1935) によって開始され、その後数十年間にわたって継続されました。

F ₂上の2つの要素の巡回群の表現を見つけることは、平方が単位行列である行列を見つける問題と同等です。2以外のすべての特性体上では、常に、対角線上に1または-1のみが発生する 対角行列として表される基底があります。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}.}$

F ₂上では、他にも多くの可能な行列が存在する。例えば、

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}.}$

正特性の代数的に閉じた体上では、有限巡回群の表現論はジョルダン標準形の理論によって完全に説明されます。非対角ジョルダン形式は、特性が群の位数を割り切るときに発生します。

体Kと有限群Gが与えられたとき、群代数 K [ G ] (これはGの元からなる K 基底を持つKベクトル空間で、Gの乗法を線型性で拡張することで代数乗法が備わっている) はアルティン環である。

Gの位数がKの標数で割り切れる場合、群代数は半単純ではなく、したがって非ゼロのヤコブソン根基を持ちます。その場合、群代数には射影加群ではない有限次元加群が存在します。対照的に、標数が 0 の場合、すべての既約表現は正規表現の直和であるため、射影的です。

モジュラー表現理論は、特性p表現理論、通常の特性理論、およびGの構造の関係をより深く研究するために、1940 年頃からリチャード ブラウアーによって開発されました。特に、後者はp部分群の埋め込みと部分群間の関係に関連しています。このような結果は、表現で直接表現されない問題に 群論で適用できます。

Brauer は現在Brauer 指標として知られる概念を導入しました。K が正の標数 p で代数的に閉じている場合、Kの単位根とpと互いに素な位数の複素単位根の間には一対一の関係があります。このような一対一の関係の選択が決まると、表現の Brauer 指標は、与えられた表現におけるその要素の固有値 (重複度を含む) に対応する複素単位根の和を、 pと互いに素な位数の群の各要素に割り当てます。

表現の Brauer 指標は、その構成因子を決定しますが、一般に同値型は決定しません。既約 Brauer 指標は、単純モジュールによって提供される指標です。これらは、通常の既約指標の p と互いに素な順序の要素への制限の整数 (ただし、必ずしも非負ではありません) の組み合わせです。逆に、各通常の既約指標のpと互いに素な順序の要素への制限は、既約Brauer指標の非負の整数の組み合わせとして一意に表現できます。

Brauer によって最初に開発された理論では、通常の表現理論とモジュラー表現理論の間のつながりは、 正の標数pの剰余体Kと標数 0 の分数体F (たとえばp進整数)を持つ完全な離散付値環R上の群Gの群代数を考えることによって最もよく例示されます。R [ G ]の構造は、群代数K [ G ] の構造と半単純群代数F [ G ]の構造の 両方に密接に関連しており、3 つの代数のモジュール理論の間には多くの相互作用があります。

各R [ G ] 加群は自然にF [ G ] 加群を生じ、非公式にはしばしば縮約 (mod p )として知られるプロセスによってK [ G ] 加群を生じます。一方、Rは主イデアル領域であるため、各有限次元F [ G ] 加群はR [ G ] 加群からのスカラーの拡張によって生じます。 ^[要出典]ただし、一般に、すべてのK [ G ] 加群がR [ G ] 加群の 縮約 (mod p ) として生じるわけではありません。生じるものは持ち上げ可能です。

通常の表現論では、単純加群の個数k ( G ) はGの共役類の個数に等しい。加群の場合、単純加群の個数l ( G ) は、その元が関連する素数pと互いに素な位数を持つ共役類、いわゆるp正則類の個数に等しい。

モジュラー表現理論では、特性が群の順序を割り切る場合にはマシュケの定理は成り立たないが、群代数はブロックと呼ばれる両面イデアルの最大の集合の直和として分解できる。体Fが特性 0 を持つ場合、または特性が群の順序と互いに素である場合、群代数F [ G ] をブロック（単純モジュールの同型タイプごとに 1 つ）の和として分解することは依然として可能であるが、 Fが十分に大きい場合、状況は比較的透明である。つまり、各ブロックは、関連する単純モジュールの基礎となるベクトル空間の自己準同型環である F上の完全な行列代数である。

ブロックを得るために、群Gの単位元は、 Fの最大位数R上の群代数の中心であるZ ( R [G] ) の原始冪等元の和として分解される。原始冪等元 eに対応するブロックは、両側イデアルe R [ G ] である。各分解不可能なR [ G ] 加群に対して、それを消滅させない原始冪等元は 1 つだけ存在し、加群は対応するブロックに属する (またはその中にある) と言われる (その場合、その加群のすべての構成因子もそのブロックに属する)。特に、各単純加群は一意のブロックに属する。各通常既約文字も、既約 Brauer 文字の和としての分解に従って一意のブロックに割り当てられることがある。自明な加群を含むブロックは主ブロックと呼ばれる。

通常の表現論では、すべての分解不可能なモジュールは既約であり、したがってすべてのモジュールは射影的です。ただし、群の順序を分割する特性を持つ単純なモジュールが射影的になることはほとんどありません。実際、単純なモジュールが射影的である場合、それはそのブロック内の唯一の単純なモジュールであり、そのブロックは基礎となるベクトル空間の自己準同型代数、つまり完全な行列代数と同型です。その場合、ブロックは「欠陥 0」を持つと言われます。一般に、射影モジュールの構造を決定することは困難です。

有限群の群代数では、射影的分解不能なモジュールの（同型タイプ）は単純モジュールの（同型タイプ）と一対一に対応しています。つまり、各射影的分解不能なモジュールの基底は単純（かつ上面と同型）であり、これにより一対一が可能になります。これは、非同型射影的分解不能なモジュールが非同型基底を持つためです。群代数の加数としての射影的分解不能なモジュールの重複度（正則モジュールとして見たもの）は、その基底の次元です（標数ゼロの十分に大きい体の場合、これにより、各単純モジュールが、正則モジュールの直接の加数としてその次元に等しい重複度で発生するという事実が再現されます）。

正特性pの各射影的分解不可能な加群 (したがって各射影的加群) は、特性 0 の加群に持ち上げられる。上記のように、剰余体K を持つ環R を使用すると、 Gの単位元は、K [ G ] の相互に直交する原始冪等元(必ずしも中心ではない)の和として分解される。各射影的分解不可能なK [ G ] 加群は 、この分解で発生する原始冪等元eに対してe . K [ G ] と同型である。冪等元e はR [ G ]の原始冪等元、たとえばEに持ち上げられ、左加群E . R [ G ] はe . K [ G ] と同型の縮約 (mod p )を持つ。

射影加群が持ち上げられると、関連付けられた特性はpで割り切れる位数の元すべてで消え、（一貫した単位根の選択により）p正則元上の元の特性p加群の Brauer 特性と一致する。したがって、射影不可分数の Brauer 特性と他の任意の Brauer 特性との（通常の特性環の）内積を定義できる。これは、2 番目の Brauer 特性が非同型射影不可分数の基底の Brauer 特性である場合は 0、2 番目の Brauer 特性がそれ自身の基底の Brauer 特性である場合は 1 である。射影不可分数の持ち上げの特性における通常の既約特性の重複度は、通常の特性のp正則元への制限が既約 Brauer 特性の和として表現されるとき、射影不可分数の基底の Brauer 特性の出現回数に等しい。

射影的不可分加群の合成因子は、次のように計算できる。特定の有限群の通常の既約および既約 Brauer 指標が与えられれば、既約通常の指標は、既約 Brauer 指標の非負整数の組み合わせとして分解できる。関係する整数は、通常の既約指標に行を割り当て、既約 Brauer 指標に列を割り当てた行列に配置できる。これは分解行列と呼ばれ、しばしばDとラベル付けされる。自明な通常の指標と Brauer 指標をそれぞれ最初の行と列に配置するのが通例である。 DとD自体の転置の積は、通常Cと表記されるカルタン行列になる。これは対称行列であり、 j番目の行のエントリは、j番目の射影的不可分加群の合成因子としてのそれぞれの単純加群の重複度である。カルタン行列は非特異である。実際、その行列式はKの標数の累乗です。

特定のブロック内の射影的不可分モジュールは、そのすべての構成因子が同じブロック内にあるため、各ブロックには独自のカルタン行列が存在します。

群代数K [ G ] の各ブロックBに、ブラウアーはあるp部分群を関連付けました。これは欠陥群と呼ばれます(ここでp はKの特性です)。正式には、これは、部分群 に対するBのブラウアー対応が存在するGの最大のp部分群 Dであり、 はGにおけるDの中心化です。 ${\displaystyle DC_{G}(D)}$${\displaystyle C_{G}(D)}$

ブロックの欠陥群は共役性を除いて一意であり、ブロックの構造に強い影響を及ぼします。たとえば、欠陥群が自明である場合、ブロックには単純モジュールが 1 つだけ、通常の指標が 1 つだけ含まれ、通常の指標と Brauer の既約指標は、関連する特性pと素の位数の要素で一致し、単純モジュールは射影的です。反対に、K が特性p を持つ場合、有限群GのSylow p部分群は、 K [ G ]の主ブロックの欠陥群です。

ブロックの欠陥群の順序には、表現論に関連する多くの算術的特徴があります。これは、ブロックのカルタン行列の最大の不変因子であり、重複度 1 で発生します。また、ブロックの欠陥群のインデックスをp で割る累乗は、そのブロック内の単純モジュールの次元をpで割る累乗の最大公約数であり、これは、そのブロック内の通常の既約指標の次数をpで割る累乗の最大公約数と一致します。

ブロックの欠陥群と特性理論との間のその他の関係には、与えられたブロックの欠陥群に群元gのp部分の共役がない場合、そのブロック内の各既約特性はgで消滅するという Brauer の結果が含まれます。これは Brauer の第二主定理の多くの結果の 1 つです。

ブロックの欠陥群は、 JA Greenの研究に基づく、ブロック理論へのよりモジュール理論的アプローチにおいてもいくつかの特徴付けがあり、頂点と呼ばれるp部分群を、モジュールの相対射影性の観点から定義される分解不可能なモジュールに関連付けます。たとえば、ブロック内の各分解不可能なモジュールの頂点は、ブロックの欠陥群に含まれます (共役性を除く)。また、欠陥群の適切な部分群にはその特性はありません。

ブラウアーの第一主定理は、欠陥群として与えられたpサブグループを持つ有限群のブロックの数は、そのpサブグループの群内の正規化子の対応する数と同じであることを述べています。

非自明な欠陥群で解析する最も簡単なブロック構造は、非自明な欠陥群が巡回的である場合です。その場合、ブロックには分解不可能なモジュールの同型型が有限個しか存在せず、ブロックの構造は、とりわけ Brauer、EC Dade、JA Green、JG Thompsonらの研究により、今では十分に理解されています。その他の場合は、ブロックには分解不可能なモジュールの同型型が無限個存在します。

欠陥群が巡回しないブロックは、tame と wild の 2 種類に分けられます。tame ブロック (素数 2 の場合のみに出現) は、欠陥群として二面体群、半二面体群、または (一般化)四元数群を持ち、その構造はKarin Erdmannによる一連の論文で大まかに決定されています。wild ブロック内の分解不可能なモジュールは、原理的にも分類が非常に困難です。

• Brauer, R. (1935)、ガロワシェン フェルダーンの「Über die Darstellung von Gruppen」、Actualités Scientifiques et Industrielles、vol. 195、パリ: Hermann et cie、pp. 1–15、レビュー
• ディクソン、レナード・ユージーン(1902)、「任意の有限群の乗算表によって任意の体に対して定義される群について」、アメリカ数学会誌、3 (3)、プロビデンス、RI:アメリカ数学会: 285–301、doi : 10.2307/1986379、ISSN  0002-9947、JSTOR  1986379
• ジャン＝ピエール・セール（1977年）。有限群の線形表現。スプリンガー・フェルラーグ。ISBN 0-387-90190-6。
• ウォルター・フェイト(1982)。有限群の表現理論。ノースホランド数学図書館。第25巻。アムステルダム-ニューヨーク:ノースホランド出版。ISBN 0-444-86155-6。