臍帯点

臍の分類は、実際の立方体の分類と密接に関連している。${\displaystyle ax^{3}+3bx^{2}y+3cxy^{2}+dy^{3}}$立方体には複数の根号が存在する。${\displaystyle \lambda (x,y)}$すべての実数に対して三次形式がゼロとなる${\displaystyle \lambda }$考えられる可能性はいくつかあります。

• 3つの異なるライン：楕円形の立方体形状、標準モデル${\displaystyle x^{2}yy^{3}}$。
• 3本の線（うち2本は一致）：放物線状の立方体形状、標準モデル${\displaystyle x^{2}y}$。
• 単一の実数直線：双曲三次形式、標準モデル${\displaystyle x^{2}y+y^{3}}$。
• 3本の線が重なり合う、標準モデル${\displaystyle x^{3}}$[ ^{7 ]​}

均一スケーリングの下で​​のこのような立方体の同値類は、3次元実射影空間を形成し、放物線状の部分集合は、クリストファー・ジーマンによって「臍帯ブレスレット」と呼ばれる曲面を定義する。^{[ 7 ]}座標系の回転の下で同値類を取ると、さらに1つのパラメータが取り除かれ、立方体の形状は複素立方体の形状で表すことができる。${\displaystyle z^{3}+3{\overline {\beta }}z^{2}{\overline {z}}+3\beta z{\overline {z}}^{2}+{\overline {z}}^{3}}$単一の複素パラメータを持つ${\displaystyle \beta }$放物線状の形状は、${\displaystyle \beta ={\tfrac {1}{3}}(2e^{i\theta }+e^{-2i\theta })}$内側の三角筋では、楕円形が三角筋の内側にあり、双曲線形が外側にあります。${\displaystyle \left|\beta \right|=1}$そして${\displaystyle \beta }$が1の立方根でない場合、立方体形式は直角立方体形式であり、臍帯に特別な役割を果たします。$\displaystyle \left|\beta \right|={\tfrac {1}{3}}}$すると、2つの根線は直交する。^{[ 8 ]}

2番目の3次形式であるヤコビアンは、ベクトル値関数のヤコビ行列式を取ることによって形成される。${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$、${\displaystyle F(x,y)=(x^{2}+y^{2},ax^{3}+3bx^{2}y+3cxy^{2}+dy^{3})}$定数倍を除いて、これは3次形式です${\displaystyle bx^{3}+(2c-a)x^{2}y+(d-2b)xy^{2}-cy^{3}}$複素数を用いると、ヤコビアンは次の場合に放物線状の3次形式となる。${\displaystyle \beta =-2e^{i\theta }-e^{-2i\theta }}$分類図の外側三角筋。^{[ 8 ]}

原点に孤立した臍点を持つ任意の曲面は、モンジュ形式のパラメータ化として表現できる。${\displaystyle z={\tfrac {1}{2}}\kappa (x^{2}+y^{2})+{\tfrac {1}{3}}(ax^{3}+3bx^{2}y+3cxy^{2}+dy^{3})+\ldots }$、 どこ${\displaystyle \kappa }$は固有の主曲率です。臍部のタイプは、立方体部分からの立方体の形状と対応するヤコビアン立方体の形状によって分類されます。臍部では主方向が一意に定義されませんが、表面の隆起に沿って主方向の限界を見つけることができ、これらは立方体の形状の根線に対応します。曲率線のパターンはヤコビアンによって決定されます。^{[ 8 ]}

臍点の分類は以下のとおりです。^{[ 8 ]}

• 内側三角筋の内側 - 楕円形の臍
  • 内側の円では、2本の稜線が接している。
• 内側三角筋 - 放物線状の臍
• 外側三角筋内側 - 双曲線臍
  • 外側の円の内側 - 星模様
  • 外側の円には、臍帯の誕生が描かれている。
  • 外側の円と外側の三角筋の間 - モンスターパターン
  • 外側三角筋 - レモン模様
• 内側三角筋の尖端- 立方体（象徴的）臍
• 対角線と水平線上には、鏡面対称の対称的な臍帯線が描かれている。

一般的な曲面の族では、臍帯線はペアで生成または消滅します。臍帯線の生成遷移です。両方の臍帯線は双曲型で、一方は星型パターン、もう一方はモンスター型パターンになります。図の外側の円、直角立方体の形状は、これらの遷移ケースを示します。記号的な臍帯線は、この特殊なケースです。^{[ 8 ]}