凸体

数学において、次元ユークリッド空間の凸体は、内部が空でないコンパクトな凸集合である。著者によっては、内部が空でないことは要求せず、集合が空でないだけでよいとする人もいる。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

凸体は、原点に関して中心対称である場合に対称的と呼ばれる。つまり、点がにある場合、その反対点も にある場合のみである。対称凸体は、上のノルムの単位球と1対1に対応する。${\displaystyle K}$${\displaystyle x}$${\displaystyle K}$ ${\displaystyle -x}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

凸体のよく知られた例としては、ユークリッド球、超立方体、交差多面体などがあります。

の凸体の集合について と書く。すると は距離 を持つ 完全な距離空間となる。${\displaystyle {\mathcal {K}}^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {K}}^{n}}$

${\displaystyle d(K,L):=\inf\{\epsilon \geq 0:K\subset L+B^{n}(\epsilon ),L\subset K+B^{n}(\epsilon )\}}$^[1 ]

さらに、ブラシュケ選択定理によれば、任意のd境界列には収束する部分列が存在する。^[1]${\displaystyle {\mathcal {K}}^{n}}$

が内部に原点を含む有界凸体である場合、極体は です。極体には、 、有界、である場合など、いくつかの優れた特性があります。極体は双対関係の一種です。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle O}$ ${\displaystyle K^{*}}$${\displaystyle \{u:\langle u,v\rangle \leq 1,\forall v\in K\}}$${\displaystyle (K^{*})^{*}=K}$${\displaystyle K^{*}}$${\displaystyle K_{1}\subset K_{2}}$${\displaystyle K_{2}^{*}\subset K_{1}^{*}}$

• 凸凹トピックのリスト
• ジョン楕円体 – n次元の凸型物体に最も近い楕円体、またはn次元の凸型物体に含まれる楕円体
• ブルン・ミンコフスキーの定理は、凸体の幾何学に関連する多くの意味を持っています。

• ヒリアルト・ウルティ、ジャン・バティスト。ルマレシャル、クロード (2001)。凸分析の基礎。土井：10.1007/978-3-642-56468-0。ISBN 978-3-540-42205-1。
• ロッカフェラー、 R . ティレル (1997 年 1 月 12 日)。凸解析。プリンストン大学出版局。ISBN 978-0-691-01586-6。
• Arya, Sunil; Mount, David M. ( 2023). 「多面体近似の最適な体積感度境界」。第39回国際計算幾何学シンポジウム (SoCG 2023)。258 : 9:1–9:16。doi : 10.4230/ LIPIcs.SoCG.2023.9。
• ガードナー、リチャード J. (2002)。「ブルン・ミンコフスキー不等式」。アメリカ数学会誌 (NS) 39 ( 3): 355–405 (電子版)。doi : 10.1090 /S0273-0979-02-00941-2。