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数学の歴史は、数学における発見の起源と、過去の数学的方法および記法を扱っています。近代および知識の世界的な普及以前は、数学の新たな発展の記録例は、ごく一部の地域でしか発見されていませんでした。紀元前3000年から、メソポタミアのシュメール、アッカド、アッシリアの国々 、それに続いて古代エジプト、レヴァント王国のエブラが、課税、商業、貿易、および天文学の分野で時間の記録や暦の作成のために算術、代数、幾何学を使い始めました。
入手可能な最も古い数学のテキストは、メソポタミアとエジプトのものである-プリンプトン322（バビロニア 紀元前 2000年- 1900年頃）[2] 、リンド数学パピルス（エジプト紀元前1800年頃）[3]、モスクワ数学パピルス（エジプト紀元前1890年頃）である。これらのテキストはすべて、いわゆるピタゴラスの三つ組について言及しているため、推測すると、ピタゴラスの定理は、基本的な算術と幾何学に次いで最も古く、広く普及した数学の発展であると思われる。
「論証的な学問」としての数学の研究は、紀元前6世紀にピタゴラス学派によって始まりました。彼らは「数学」という用語を、古代ギリシャ語の「教授の対象」を意味する μάθημα ( mathema ) から作りました。[4] ギリシャ数学は、 （特に演繹的推論と証明における数学的厳密さの導入を通じて）方法を大幅に洗練させ、数学の対象を拡大しました。[5]古代ローマ人は、測量、構造工学、機械工学、簿記、太陰暦と太陽暦の作成、さらには芸術や工芸に応用数学を使用しました。中国の数学は、位取り記数法や負の数の最初の使用など、初期の貢献をしました。[6] [7]現在世界中で使用されているヒンドゥー・アラビア数字システムとその演算の使用規則は、紀元後1千年紀の間にインドで発展し、ムハンマド・イブン・ムーサ・アル・フワーリズミーの著作を通じてイスラム数学を介して西洋世界に伝わりました。[8] [9]イスラム数学は、今度はこれらの文明に知られている数学を発展させ、拡張しました。[10]これらの伝統と同時期に、しかし独立して、メキシコと中央アメリカのマヤ文明によって開発された数学があり、ゼロの概念はマヤ数字の標準記号として与えられました。
12世紀以降、ギリシャ語やアラビア語の数学に関する文献の多くがラテン語に翻訳され、中世ヨーロッパにおける数学のさらなる発展につながった。古代から中世にかけて、数学的な発見の後には何世紀にもわたる停滞が続くことが多かった。[11] 15世紀のルネサンス期の イタリアから、新しい数学の発展が新しい科学的発見と相互作用しながら、今日まで続くペースで進められている。これには、 17世紀を通してアイザック・ニュートンとゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツによる微積分学の画期的な発展と、それに続くドイツの数学者カール・フリードリヒ・ガウスやダフィト・ヒルベルトの発見が含まれる。
先史時代
数学的思考の起源は、数、自然界のパターン、大きさ、形の概念にあります。[12]動物の認知に関する現代の研究では、これらの概念は人間に特有のものではないことが示されています。このような概念は、狩猟採集社会では日常生活の一部であったでしょう。「数」の概念が時間の経過とともに徐々に進化したという考えは、「1」、「2」、「多数」の区別は保持しているが、2より大きい数の区別は保持していない言語の存在によって裏付けられています。[12]
ナイル川の源流近く（コンゴ北東部）で発見されたイシャンゴ骨は、 2万年以上前のものとみられ、骨の全長にわたって3列に刻まれた一連のマークで構成されている。一般的な解釈では、イシャンゴ骨は、素数の列の最も古い既知のデモンストレーションの集計[13] [検証失敗]または6か月の太陰暦[14]のいずれかを示しているとされている。ピーター・ラドマンは、素数の概念の発達は、除算の概念の出現より後にしか起こらなかったと主張しており、除算の概念の出現は紀元前1万年以降とされており、素数は紀元前500年頃まで理解されていなかった可能性が高い。彼はまた、「何かの集計が2の倍数、10から20までの素数、およびほぼ10の倍数であるいくつかの数を示す理由を説明する試みはなされていない」と書いている。[15]学者アレクサンダー・マーシャックによれば、イシャンゴ骨は、エジプトの算術でも2倍の計算が使われていたことから、エジプトの数学のその後の発展に影響を与えた可能性があるという。しかし、これには異論もある。[16]
紀元前5千年紀のエジプト先王朝人は幾何学模様を絵画で表現した。紀元前3千年紀のイングランドとスコットランドの巨石記念碑には、円、楕円、ピタゴラスの三つ組などの幾何学的な概念がデザインに取り入れられていると主張されている。[17]しかし、上記のすべては議論の余地があり、現在最も古い議論の余地のない数学文書は、バビロニアとエジプト王朝の資料からのものである。[18]
バビロニア
バビロニア数学とは、初期シュメール人の時代からヘレニズム時代、そしてキリスト教の夜明けに至るまでのメソポタミア（現在のイラク）の人々が行った数学のすべてを指します。[19]バビロニアの数学著作の大部分は、大きく離れた2つの時期に遡ります。紀元前2千年紀の最初の数百年間（古バビロニア時代）と、紀元前1千年紀の最後の数世紀（セレウコス朝時代）です。[20]バビロンが研究の場として中心的な役割を果たしたことから、バビロニア数学と呼ばれています。後にアラブ帝国の支配下で、メソポタミア、特にバグダッドは再びイスラム数学の重要な研究中心地となりました。
エジプトの数学の資料が乏しいのとは対照的に、バビロニアの数学の知識は1850年代以降に発掘された400枚以上の粘土板から得られている。[21]粘土板は楔形文字で書かれており、粘土が湿っている間に刻まれ、オーブンや太陽熱で固められた。これらの中には採点された宿題と思われるものもある。[22]
数学の書き言葉の最も古い証拠は、メソポタミアで最古の文明を築いた古代シュメール人にまで遡ります。彼らは紀元前3000年から複雑な計量システムを発達させましたが、これは主に穀物の割り当て、労働者、銀の重さ、さらには液体など、行政/財務上の計算に関係していました。[23]紀元前2500年頃から、シュメール人は粘土板に掛け算表を書き、幾何学の問題や割り算の問題を扱っていました。バビロニア数字の最も古い痕跡もこの時代に遡ります。[24]
バビロニアの数学は、 60進法（基数60）を使用して書かれていました。[21]ここから、1分間に60秒、1時間に60分、円周に360（60×6）度という現代の用法が派生し、度の分数を示すために秒と分の弧が使用されています。60は、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30で割り切れるため、60進法が最初にシュメールの書記によって使用されたと考えられています。[21]また、書記（前述の穀物の割り当てを分配したり、銀の重さを記録したり）にとって、手で簡単に計算できることは不可欠であり、そのため、60進法は実用的に手計算が簡単です。しかし、60進法の使用は民族言語学的現象であり（それが知られることは決してないかもしれない）、数学的/実用的な決定ではなかった可能性がある。[25]また、エジプト人、ギリシャ人、ローマ人とは異なり、バビロニア人は位取り記数法を採用しており、左の列に書かれた数字は10進法のように大きな値を表す。バビロニアの記数法の強みは、分数を整数と同じくらい簡単に表すことができることにあった。したがって、分数を含む2つの数を掛け合わせることは、現代の記数法と同様に、整数を掛け合わせることと何ら変わりなかった。バビロニア人の記数法は、ルネッサンスまでどの文明よりも優れており、その力により驚くべき計算精度を達成することができた。たとえば、バビロニアの粘土板YBC 7289は、√2の近似値を小数点以下5桁まで正確に示している。[26]しかし、バビロニア人には小数点に相当するものがなかったため、記号の位取りは文脈から推測しなければならないことが多かった。[20]セレウコス朝時代までに、バビロニア人は空の位置を表すためのゼロ記号を開発していたが、それは中間の位置にしか使われなかった。[20]このゼロ記号は終端には現れないため、バビロニア人は真の位取りシステムに近づいたものの、それを開発することはなかった。[20]
バビロニア数学で扱われるその他のトピックには、分数、代数、二次方程式と三次方程式、正数とその逆数の計算などがある。[27] 粘土板には掛け算の表や、一 次方程式、二次方程式、三次方程式を解く方法も含まれており、当時としては驚くべき成果であった。[28]古バビロニア時代の粘土板には、ピタゴラスの定理に関する最古の記述も含まれている。[29]しかし、エジプトの数学と同様に、バビロニアの数学では、厳密な解と近似解の違いや問題の解決可能性について認識されておらず、最も重要なことに、証明や論理原理の必要性について明示的に述べられていない。[22]
エジプト
エジプト数学とは、エジプト語で書かれた数学のことである。ヘレニズム時代から、エジプト学者の書き言葉はエジプト語に代わりギリシャ語になった。エジプトでの数学研究は後にアラブ帝国の統治下でもイスラム数学の一部として継続され、アラビア語がエジプト学者の書き言葉となった。考古学的証拠は、古代エジプトの数え方はサハラ以南のアフリカに起源があると示唆している。[30]また、サハラ以南のアフリカ文化に広く見られるフラクタル幾何学のデザインは、エジプトの建築や宇宙観の記号にも見られる。[31]
エジプトで最も広範囲にわたる数学のテキストは、紀元前1650年頃のリンド・パピルス（著者にちなんでアハメス・パピルスとも呼ばれる）であるが、紀元前2000年から1800年頃の中王国時代の古い文書のコピーである可能性が高い。[ 32 ]これは算術と幾何学の学生向けの指導書である。面積の公式や乗算、除算、単位分数の扱い方が示されているほか、合成数と素数、算術平均、幾何平均、調和平均、エラトステネスの篩と完全数論（つまり、数6）の単純な理解など、他の数学的知識の証拠も含まれている。 [ 33]また、一次線形方程式[35]や等差級数、幾何級数の解き方も示されている。[36]
もう一つの重要なエジプトの数学テキストはモスクワ・パピルスで、これも中王国時代のもので、紀元前1890年頃のものである。[37]これは今日では文章問題や物語問題と呼ばれるもので、明らかに娯楽として意図されていた。ある問題は、錐台（切頂角錐） の体積を求める方法を示しているため、特に重要であると考えられている。
最後に、ベルリン・パピルス6619（紀元前1800年頃）は、古代エジプト人が2次代数方程式を解くことができたことを示している。[38]
ギリシャ語
ギリシャ数学は、ミレトスのタレスの時代（紀元前600年頃）からアテネアカデミーが閉鎖された西暦529年まで、ギリシャ語で書かれた数学を指します。 [39]ギリシャの数学者はイタリアから北アフリカまで東地中海全域に広がる都市に住んでいましたが、文化と言語によって団結していました。アレクサンダー大王の後の時代のギリシャ数学は、ヘレニズム数学と呼ばれることもあります。[40]
ギリシャの数学は、それ以前の文化で発達した数学よりもはるかに洗練されていました。ギリシャ以前の数学の現存する記録はすべて、帰納的推論、つまり経験則を確立するために繰り返し観察が行われたことを示しています。対照的に、ギリシャの数学者は演繹的推論を使用しました。ギリシャ人は定義と公理から結論を導き出すために論理を使用し、それを証明するために数学的厳密さを使用しました。[41]
ギリシャの数学は、ミレトスのタレス（紀元前624年頃～紀元前546年頃）とサモス島のピタゴラス（紀元前582年頃～紀元前507年頃）から始まったと考えられています。影響の程度については議論がありますが、彼らはおそらくエジプトとバビロニアの数学に触発されたのでしょう。伝説によると、ピタゴラスはエジプトに渡り、エジプトの司祭から数学、幾何学、天文学を学びました。
タレスは幾何学を用いてピラミッドの高さや船と海岸の距離を計算するなどの問題を解決した。タレスの定理の4つの系を導き出すことにより、演繹的推論を幾何学に初めて応用したとされている。その結果、彼は最初の真の数学者、および数学的発見の功績が認められた最初の人物として称賛されている。[42]ピタゴラスはピタゴラス学派を設立し、その教義は数学が宇宙を支配し、「すべては数である」であった。[43]「数学」という用語を作り出したのはピタゴラス派であり、数学そのものの研究は彼らから始まった。ピタゴラス派はピタゴラスの定理の最初の証明[ 44]、および無理数の存在の証明を行ったとされている。[45] [46]バビロニア人、インド人、中国人が先にいたものの、[47]新ピタゴラス派の数学者ニコマコス（紀元60年 - 120年）は、最古のギリシャ・ローマ時代の 掛け算表の一つを提供した。一方、現存する最古のギリシャの掛け算表は、紀元1世紀の蝋板に書かれたものである（現在は大英博物館に所蔵）。[48]新ピタゴラス派と西洋における掛け算表の発明との関連は、中世になってその名前が「メンサ・ピタゴリカ」となったことからも明らかである。[49]
プラトン（紀元前428/427年 - 紀元前348/347年）は、数学の歴史において、他の人々に刺激を与え、導いた重要な人物である。[50]アテネにあった彼のプラトンアカデミーは、紀元前4世紀に世界の数学の中心地となり、この学校から、クニドスのエウドクソス（紀元前390年頃 - 紀元前340年頃）など、当時の一流数学者が輩出された。[51]プラトンはまた、数学の基礎についても論じ、[52]いくつかの定義（例えば、直線を「幅のない長さ」とする定義）を明確にし、仮定を再編成した。[53]解析的手法はプラトンに帰せられており、ピタゴラスの三つ組を得るための公式は彼の名前を冠している。[51]
エウドクソスは、現代の積分の先駆けとなる消尽法[54]と、通約不可能な大きさの問題を回避する比の理論[55]を考案した。前者は曲線図形の面積と体積の計算を可能にし、[56]後者は後続の幾何学者が幾何学を大きく進歩させることを可能にした。アリストテレス（紀元前384年-紀元前 322年頃）は、数学的な技術的な発見はしなかったが、論理学の基礎を築くことで数学の発展に大きく貢献した。[57]
紀元前3世紀、数学の教育と研究の最高中心地はアレクサンドリア博物館でした。[ 59 ]ユークリッド（紀元前 300年頃）はそこで教え、史上最も成功し影響力のある教科書と広く考えられている『原論』を執筆しました。[ 1 ]『原論』は公理的方法を通じて数学の厳密さを導入し、定義、公理、定理、証明という、今日でも数学で使用されている形式の最も古い例です。『原論』の内容のほとんどはすでに知られていましたが、ユークリッドはそれを単一の首尾一貫した論理的枠組みにまとめました。[60]『原論』は20世紀半ばまで西洋の知識人なら誰でも知っていて、その内容は今日でも幾何学の授業で教えられています。[61]ユークリッド幾何学のよく知られた定理に加えて、『原論』は数論、代数学、立体幾何学など当時のあらゆる数学の入門書として意図されており、[60] 2の平方根は無理数であることや素数は無限にあることの証明も含まれている。ユークリッドは円錐曲線、光学、球面幾何学、力学など他の主題についても広範囲に著作を残したが、彼の著作のうち現存するのは半分程度である。[62]
古代最大の数学者と広く考えられているシラクサのアルキメデス（紀元前 287年頃-212年）[63]は、現代の微積分学とあまり変わらない方法で、無限級数の和で放物線の弧の下の面積を計算するために枯渇法を使用しました。 [64]彼はまた、枯渇法を使用してπの値を必要なだけ正確に計算できることを示し、当時知られているπの最も正確な値である3+ 10/71 < π < 3+ 10/70 [65]彼はまた、自身の名を冠した螺旋を研究し、回転面（放物面、楕円面、双曲面）の体積の公式を導き出し、[ 64]非常に大きな数を表すための巧妙な累乗法を編み出した。 [66]彼は物理学やいくつかの先進的な機械装置への貢献でも知られているが、アルキメデス自身は自身の思想と一般的な数学的原理の産物にはるかに大きな価値を置いていた。 [67]彼は球の表面積と体積の発見を最大の功績とみなしており、これは球に外接する円筒の表面積と体積の2/3であることを証明することによって得た。 [68]
ペルガのアポロニウス（紀元前 262年頃-190年）は円錐曲線の研究に大きな進歩をもたらし、二重起毛円錐を切る平面の角度を変えることで3種類の円錐曲線すべてが得られることを示した。[69]彼はまた、今日円錐曲線を表すために使われている用語、すなわち放物線（「隣に置く」または「比較」）、「楕円」（「不足」）、「双曲線」（「投げる」）を作った。[70]彼の著書『円錐曲線』は、古代から最もよく知られ、保存されている数学書の1つであり、その中で彼は円錐曲線に関する多くの定理を導き出しており、それらはアイザック・ニュートンのような惑星の運動を研究する後の数学者や天文学者にとって非常に貴重であることがわかった。[71]アポロニウスも他のギリシャの数学者も座標幾何学に飛躍することはなかったが、アポロニウスの曲線の扱い方はある意味で現代の扱い方と似ており、彼の研究の一部は1800年後のデカルトによる解析幾何学の発展を予見しているように思われる。[72]
同じ頃、キュレネのエラトステネス（紀元前 276年頃-194年頃）は素数を見つけるためのエラトステネスの篩を考案した。[73]紀元前3世紀は一般にギリシャ数学の「黄金時代」と見なされており、それ以降、純粋数学の進歩は相対的に衰退した。[74]しかし、その後の数世紀で応用数学、特に三角法は大きく進歩し、主に天文学者の要求に応えた。[74]ニカイアのヒッパルコス（紀元前 190年頃-120年頃）は、最初の三角関数表を編纂した三角法の創始者とみなされており、360度円の体系的な使用も彼のおかげである。[75]アレクサンドリアのヘロン（紀元 10年頃-70年頃）は、不等辺三角形の面積を求めるヘロンの公式を考案し、負の数に平方根がある可能性を初めて認識した人物とされている。 [76]アレクサンドリアのメネラオス（紀元 100年頃）は、メネラウスの定理によって球面三角法を開拓した。[77]古代の最も完全で影響力のある三角法の著作は、プトレマイオス（紀元 90年頃-168年）の『アルマゲスト』である。これは画期的な天文学論文であり、その三角関数表はその後千年にわたって天文学者によって使用されることになる。[78]プトレマイオスはまた、三角関数の量を導くプトレマイオスの定理と、中世まで中国以外で最も正確なπの値である3.1416を考案した人物とされている。[79]
プトレマイオスの治世後の停滞期に続いて、紀元250年から350年までの期間は、ギリシャ数学の「銀の時代」と呼ばれることもあります。[80]この時期に、ディオファントスは代数学、特に「ディオファントス解析」としても知られる不定解析において大きな進歩を遂げました。 [81]ディオファントス方程式とディオファントス近似の研究は、今日でも重要な研究分野です。彼の主な業績は、確定方程式と不確定方程式の正確な解を扱う150の代数問題を集めた『算術』です。[82]『算術』は、ピエール・ド・フェルマーなどの後の数学者に大きな影響を与えました。フェルマーは、『算術』で読んだ問題（正方形を2つの正方形に分割する問題）を一般化しようとした後、有名な最終定理にたどり着きました。 [83]ディオファントスは記譜法においても大きな進歩を遂げており、その代表作は代数記号とシンコペーションを初めて取り入れた『算術書』である。[82]
最後の偉大なギリシャ数学者の一人に、アレクサンドリアのパップス（紀元4世紀）がいる。彼は六角形定理と重心定理、パップス配置とパップスグラフで知られている。彼のコレクションは、そのほとんどが現存しており、ギリシャ数学に関する主要な知識源となっている。[84]パップスはギリシャ数学の最後の主要な革新者と考えられており、その後の作品は主に以前の作品の注釈で構成されている。
歴史上記録に残る最初の女性数学者はアレクサンドリアのヒュパティア（350年 - 415年）である。彼女は父（アレクサンドリアのテオン）の後を継いで大図書館の司書となり[要出典]、応用数学に関する多くの著作を書いた。政治的な争いのため、アレクサンドリアのキリスト教徒コミュニティは彼女を公開処刑した。[85]彼女の死はアレクサンドリアのギリシア数学の時代の終わりとされることもあるが、アテネではプロクロス、シンプリキウス、エウトキウスらによってさらに1世紀にわたって研究が続けられた。[86]プロクロスとシンプリキウスは数学者というよりは哲学者であったが、彼女らが書いた初期の著作への注釈はギリシア数学に関する貴重な情報源である。 529年にユスティニアヌス帝がアテネの新プラトンアカデミーを閉鎖したことは、伝統的にギリシャ数学の時代の終わりを告げるものとされているが、ギリシャの伝統はビザンチン帝国でも途切れることなく続き、アヤソフィアを設計したトラレスのアンテミウスやミレトスのイシドールスなどの数学者がいた。[87]しかし、ビザンチン数学は注釈が中心で、革新性はほとんどなく、数学の革新の中心はこの時までに他の場所に移っていた。[88]
ローマ
ギリシャ民族の数学者は後期共和政ローマとそれに続くローマ帝国の支配下でも存続したが、それに比べてラテン系数学者で注目すべき者はいなかった。 [89] [90]ギリシャで数学を学んだ影響力のあるローマの政治家 キケロ（紀元前106年 - 紀元前43年）などの古代ローマ人は、ローマの測量士や計算者は、ギリシャ人が重視する理論数学や幾何学よりも応用数学にずっと興味を持っていたと考えていた。 [91]ローマ人が最初に数値システムをギリシャの前例から直接導き出したのか、それとも現在のイタリア中部トスカーナ地方を中心とするエトルリア文明で使用されていたエトルリア数字から導き出したのかは不明である。[92]
ローマ人は計算を使って、財務詐欺を扇動したり発見したり、国庫の税金を管理したりすることに長けていました。[93]ローマの測量士（土地測量士）の一人であるシケリア・フラックスは、土地の分類を著しました。これは、ローマの測量士が割り当てられた土地や領土の表面積を測定するのに役立ちました。 [94]ローマ人は、貿易と税金の管理とは別に、橋などの建築物の建設、道路建設、軍事作戦の準備など、工学上の問題を解決するために定期的に数学を適用しました。[95]以前のギリシャのデザインに触発されたローマのモザイクなどの芸術と工芸品は、各テッセラタイルの正確な測定を必要とする幻想的な幾何学模様と豊かで詳細なシーンを生み出しました。オプス・テッセラトゥムのピースは平均8ミリメートル四方で、より細かいオプス・バーミキュラトゥムのピースは平均4ミリメートル四方の表面積でした。[96] [97]
ローマ暦の創設にも基礎的な数学が必要だった。最初の暦はローマ王国時代の紀元前8世紀に遡るとされており、1年が356日で、1年おきに閏年があった。[98]対照的に、共和政ローマ時代の太陰暦は355日で、太陽年よりも約10と4分の1日短かったが、この矛盾は2月23日の後に1か月を追加することで解決された。[99]この暦は、ユリウス暦に取って代わられた。ユリウス暦は、ユリウス・カエサル（紀元前100年 - 紀元前44年）が制定し、アレクサンドリアのソシゲネスが考案した太陽暦で、365日周期で4年ごとに閏日を含むものであった。 [100]この暦には11分14秒の誤差があったが、後にグレゴリウス13世（在位 1572-1585 ）が制定したグレゴリオ暦によって修正された。これは実質的に現代の国際標準暦と同じ太陽暦である。[101]
ほぼ同時期に、漢民族とローマ人はともに、移動距離を計測する車輪付きの走行距離計を発明した。このローマのモデルを最初に記述したのは、ローマの土木技師で建築家のウィトルウィウス（紀元前 80年頃 ～紀元前 15年頃）である。[102]この装置は少なくともコモドゥス帝（在位 177年～192年）の治世までは使われていたが、15世紀に西ヨーロッパで実験が行われるまでその設計は失われていたようである。[103]ウィトルウィウスの走行距離計は、アンティキティラ島の機械に見られる同様の歯車機構と技術を参考にしていたのかもしれないが、直径4フィート（1.2メートル）の戦車の車輪が1ローママイル（約4590フィート/1400メートル）で400回転するという特徴があった。回転するごとに、ピンと車軸の装置が400歯の歯車と噛み合い、2番目の歯車を回して箱の中に小石を落とします。各小石は1マイルの移動を表します。[104]
中国語
初期の中国数学の分析により、世界の他の地域と比較して独自の発展を遂げたことが実証されており、学者たちは完全に独自の発展を遂げたと推測している。[105]中国で現存する最古の数学書は周髀算経（周髀算経）で、紀元前1200年から紀元前100年までと様々に年代が付けられているが、紀元前300年頃の戦国時代が妥当と思われる。[106]しかし、紀元前305年頃の清華竹簡には、知られている中で最も古い10進法の 掛け算表（古代バビロニア人は60を底とする掛け算表を持っていた）が含まれており、おそらく中国で現存する最古の数学書である。[47]
特筆すべきは、中国の数学で十進法の位置表記法、いわゆる「棒数字」が使われていたことである。棒数字では、1から10までの数字には異なる暗号が使われ、10の累乗には追加の暗号が使われていた。[107]したがって、123という数字は、「1」の記号、続いて「100」の記号、次に「2」の記号、続いて「10」の記号、最後に「3」の記号で書かれる。これは当時世界で最も進んだ数体系であり、紀元前数世紀、インドの数体系が開発されるずっと前から使われていたと思われる。[108] 棒数字では、必要なだけ大きな数字を表現でき、算盤、つまり中国のそろばんで計算を行うことができた。算盤の発明の日付は定かではないが、最も古い文献は西暦190年の徐悦の『数字術補遺』に記載されている。
中国で現存する最古の幾何学の書物は、紀元前330年頃、墨子（紀元前470-390年）の信奉者によって編纂された哲学書『墨経』である。 『墨経』は、物理科学に関連する多くの分野のさまざまな側面を説明し、いくつかの幾何学定理も提供した。[109]また、円周、直径、半径、体積の概念も定義した。[110]
紀元前212年、秦の始皇帝は秦帝国において、公式に認可されたもの以外のすべての書籍を焚書するよう命じた。この勅令は普遍的に守られたわけではなかったが、この命令の結果として、この日付以前の古代中国の数学についてはほとんど知られていない。紀元前212年の焚書の後、漢王朝（紀元前202年-紀元後220年）は、現在失われた作品をおそらく拡張した数学の作品を著した。これらの中で最も重要なのは『九章算術』であり、その完全な題名は紀元後179年までに現れたが、それ以前にも部分的に別の題名で存在していた。それは、農業、ビジネス、幾何学を用いて中国の仏塔の高さのスパンと寸法比を計算すること、工学、測量に関する246の文章題で構成されており、直角三角形に関する内容も含まれている。[106]ピタゴラスの定理の数学的証明、[111]とガウスの消去法の数学的公式を生み出した。[112]この論文では円周率のπの値も提示している。[106]中国の数学者はこれを当初3と近似していたが、劉鑫（23年没）が3.1457という数字を提示し、続いて張衡（78-139）が円周率を3.1724と近似し、[113] 10の平方根をとって3.162とも近似した。 [114] [115] 劉徽は3世紀に『九章経』について注釈し、 πの値を小数点以下5桁（つまり3.14159）まで正確に示した。[116] [117]理論的洞察力というよりも計算力の問題ではあるが、西暦5世紀に祖崇志はπの値を小数点以下7桁（3.1415926から3.1415927の間）まで計算し、それはその後ほぼ1000年間πの最も正確な値であり続けた。[116] [118]彼はまた、球の体積を求めるために後にカヴァリエリの原理と呼ばれる方法を確立した。[119]
中国数学の最高潮は、宋代（960-1279）の後半の13世紀に、中国代数学の発展とともに訪れた。この時代の最も重要な文献は、朱世傑（1249-1314）による『四元素宝鏡』であり、ホーナー法に似た方法を用いた高次代数方程式の同時解法を扱っている。[116]『宝鏡』には、8乗までの二項展開の係数を持つパスカルの三角形の図も含まれているが、どちらも1100年には中国の著作に登場している。[120]中国人はまた、古代に記述され、楊暉（1238-1298）によって完成された、魔方陣と魔方陣として知られる複雑な組み合わせ図も利用した。[120]
ルネサンス期にヨーロッパの数学が栄え始めた後も、ヨーロッパと中国の数学は別々の伝統であり、13世紀以降、中国の数学の成果は大幅に減少しました。マテオ・リッチなどのイエズス会宣教師は16世紀から18世紀にかけて、2つの文化の間で数学的なアイデアを行き来させましたが、この時点では中国から入ってくる数学的なアイデアが中国から出ていくアイデアよりもはるかに多かったのです。[120]
日本の数学、韓国の数学、ベトナムの数学は伝統的に中国の数学に由来し、儒教に基づく東アジア文化圏に属すると考えられてきました。[121]韓国と日本の数学は中国の宋王朝時代に制作された代数学の著作の影響を強く受けていましたが、ベトナムの数学は中国の明王朝（1368-1644）の人気のある著作に大きく影響を受けています。[122]たとえば、ベトナムの数学論文は中国語またはベトナム固有のChữ Nôm文字で書かれていましたが、それらはすべて、一連の問題とそれらを解くアルゴリズムを提示し、数値的な答えを付けるという中国の形式に従っていました。[123]ベトナムと韓国の数学は主に数学者や天文学者などの専門的な宮廷官僚と関連付けられていましたが、日本では私立学校の領域でより一般的でした。[124]
日本
江戸時代（1603-1887）に日本で発展した数学は、西洋の数学とは独立しています。この時代には、和算（伝統的な日本の数学）の発展などに大きな影響を与えた数学者関孝和がおり、彼の発見（積分法などの分野）は、ゴットフリート・ライプニッツなどの同時代のヨーロッパの数学者とほぼ同時期でした。
この時代の日本の数学は中国の数学に影響を受けており、本質的に幾何学的な問題に向いています。算額と呼ばれる木の板には「幾何学的な謎」が提示され、解かれています。たとえば、ソディの六角定理はそこから来ています。
インド人
インド亜大陸最古の文明は、インダス川流域で栄えたインダス文明（成熟期第2期：紀元前2600年から1900年）である。都市は幾何学的に規則的に配置されていたが、この文明に関する数学的な文書は現存していない。[126]
インドで現存する最古の数学記録はスルバ・スートラ（紀元前8世紀から紀元後2世紀までの様々な年代）である[127] 。これは宗教テキストの付録で、正方形、長方形、平行四辺形などの様々な形の祭壇を造るための簡単な規則を示している。[128]エジプトと同様に、寺院の機能への関心は、宗教儀式に数学の起源があることを示している。[127]スルバ・スートラは、与えられた正方形とほぼ同じ面積の円を造る方法を示しており、これはπの値のいくつかの異なる近似値を示唆している。[129] [130] [a]さらに、 2の平方根を小数点以下数桁まで計算し、ピタゴラスの三つ組を列挙し、ピタゴラスの定理を述べている。[130]これらの結果はすべてバビロニアの数学に存在し、メソポタミアの影響を示している。 [ 127]スルバ・スートラが後のインドの数学者にどの程度影響を与えたかは不明である。中国と同様に、インドの数学には継続性が欠けており、大きな進歩は長い不活発な期間によって隔てられている。[127]
パーニニ（紀元前5世紀頃）はサンスクリットの文法規則を定式化した。[131]彼の記法は現代の数学記法に似ており、メタルール、変換、再帰を使用していた。[132] ピンガラ（紀元前3世紀から1世紀頃）は韻律に関する論文で二進法に相当する手法を用いている。[133] [134]彼が論じた韻律の組み合わせ論は二項定理の初歩的なバージョンに相当する。ピンガラの著作にはフィボナッチ数列（mātrāmeruと呼ばれる）の基本的な考え方も含まれている。 [135]
インドにおけるスルバ・スートラに次ぐ重要な数学文献は、4世紀と5世紀（グプタ朝時代）の天文学論文であるシッダーンタであり、ヘレニズムの影響が強く見られる。 [136]これらの論文が重要なのは、プトレマイオス朝の三角法のように完全な弦ではなく、現代の三角法のように半弦に基づく三角法関係の最初の例が含まれているからである。 [ 137]一連の翻訳ミスにより、「サイン」と「コサイン」という言葉はサンスクリット語の「ジヤ」と「コジヤ」に由来している。[137]
紀元後500年頃、アーリヤバータは『アーリヤバーティヤ』を著した。これは詩で書かれた薄い書物で、天文学や数学の計測に使われる計算規則を補足することを目的としていたが、論理や演繹的方法論に対する感覚はなかった。[138]十進法の位取り法が初めて登場するのは『アーリヤバーティヤ』である。数世紀後、イスラムの数学者 アブ・ライハン・ビールニーは『アーリヤバーティヤ』を「ありふれた小石と高価な水晶の混合物」と表現した。 [139]
7世紀、ブラフマグプタはブラフマグプタの定理、ブラフマグプタの恒等式、ブラフマグプタの公式を特定し、ブラフマ・スプタ・シッダーンタで初めて、ゼロをプレースホルダーとしても小数点としても使用することを明快に説明し、ヒンドゥー・アラビア数字システムを解説した。[140]このインドの数学テキストの翻訳（770年頃）から、イスラムの数学者にこの記数システムが紹介され、彼らはそれをアラビア数字として採用した。イスラムの学者たちは12世紀までにこの記数システムの知識をヨーロッパに持ち込み、現在では世界中で古い記数システムをすべて置き換えている。ヒンドゥー・アラビア数字システムでは、数字を表すためにさまざまな記号セットが使用されているが、これらはすべてブラーフミー数字から発展したものである。インドには約12の主要な文字があり、それぞれに数字グリフがある。 10 世紀、ピンガラの著作に対するハラユダの注釈には、フィボナッチ数列とパスカルの三角形の研究が含まれており、行列の形成について説明されている。[要出典]
12世紀、南インドに住んでいたバースカラ2世[141]は、当時知られていた数学のあらゆる分野について広範囲に著作を残した。彼の著作には、無限小、平均値の定理、正弦関数の微分など、同等またはほぼ同等の数学的対象が含まれているが、微分の概念は発展させなかった。[142] [143] 14世紀には、ナラヤナ・パンディタが『ガニタ・カウムディ』を完成させた。[144]
同じく14世紀には、ケーララ数学学派の創始者であるサンガマグラマのマドハヴァがマドハヴァ・ライプニッツ級数を発見し、そこから変換された級数を得て、その最初の21項を使ってπの値を3.14159265359と計算した。マドハヴァはまた、逆正接を決定するマドハヴァ・グレゴリー級数、正弦と余弦を決定するマドハヴァ・ニュートンべき級数、正弦関数と余弦関数のテイラー近似を発見した。 [145] 16世紀には、ジェシュタデーヴァがケーララ学派の発展と定理の多くを『ユクティ・バーシャ』に統合した。[146] [147]無限級数やいくつかの三角関数のテイラー級数のような微積分学の特定のアイデアは、当時古代の港町ムジリス周辺で活動していたイエズス会の宣教師や貿易商を通じて16世紀にヨーロッパに伝わり、その結果、ヨーロッパの解析学と微積分学の発展に直接影響を与えたと主張されてきた。[ 148]しかし、他の学者は、ケーララ学派は微分積分の体系的な理論を策定しておらず、彼らの研究結果がケーララ州外に伝わったという直接的な証拠はないと主張している。[149] [150] [151] [152]
イスラム帝国
8世紀に中東、中央アジア、北アフリカ、イベリア半島、インドの一部に築かれたイスラム帝国は、数学に多大な貢献をした。イスラムの数学に関するテキストのほとんどはアラビア語で書かれているが、それらはすべてアラブ人によって書かれたわけではない。なぜなら、ヘレニズム世界におけるギリシャ人の地位と同様に、アラビア語は当時イスラム世界全体で非アラブの学者の書き言葉として使用されていたからである。[153]
9世紀、ペルシャの数学者ムハンマド・イブン・ムーサー・アル＝フワーリズミーは、ヒンドゥー・アラビア数字に関する重要な本と方程式を解く方法に関する本を著した。825年頃に書かれた彼の著書『ヒンドゥー数字による計算について』は、アル＝キンディーの著作とともに、インドの数学と数字を西洋に広める上で重要な役割を果たした。 「アルゴリズム」という言葉は、彼の名前「アルゴリトミ」のラテン語化に由来し、「代数」という言葉は彼の著作の一つ「アル・キターブ・アル・ムクタサル・フィー・ヒサーブ・アル・ガブル・ワル・ムカバラ（補完と平衡による計算に関する簡潔な書）」のタイトルに由来している。彼は正の根を持つ二次方程式の代数解法について徹底的な説明を与えた。 [154 ] また、代数を初歩的な形で、また代数そのもののために教えた最初の人物でもあった。 [155]また、彼は「減算」と「バランス」という基本的な方法についても論じた。これは、減算された項を方程式の反対側に移す、つまり方程式の反対側にある同類の項を相殺することを意味する。これは、アル・フワーリズミーがもともとアル・ジャブルと表現した操作である。[156]また、彼の代数はもはや「解決すべき一連の問題ではなく、基本項から始まる説明であり、その組み合わせは方程式のあらゆる可能な原型を与えなければならない。そして、それが今後、研究の真の目的を明示的に構成する」ものであった。彼はまた、方程式をそれ自体のために、「問題を解く過程で単に現れるのではなく、無限のクラスの問題を定義するために特に求められる限りにおいて、一般的な方法で」研究した。[157]
エジプトでは、アブ・カミルが代数学を無理数集合に拡張し、平方根と4乗根を二次方程式の解と係数として受け入れた。また、3つの未知変数を持つ3つの非線形連立方程式を解くための手法も開発した。彼の研究のユニークな点は、いくつかの問題に対してすべての可能な解を見つけようとしたことで、その中には2676通りの解を見つけた問題もあった。[158]彼の研究は代数学の発展にとって重要な基礎を築き、アル・カラジやフィボナッチなどの後の数学者に影響を与えた。
代数学のさらなる発展は、アル＝カラージーの論文『アル＝ファクリー』でなされ、そこで彼はその方法論を拡張して、未知数の整数乗と整数根を組み込んだ。数学的帰納法による証明に近いものが、紀元1000年頃にアル＝カラージーが書いた本に登場し、彼はそれを使って二項定理、パスカルの三角形、および整数立方体の和を証明した。[159]数学の歴史家F.ヴォエプケ[160]は、アル＝カラージーを「代数微積分理論を導入した最初の人物」として称賛した。また、10世紀には、アブル・ワファがディオファントスの著作をアラビア語に翻訳した。イブン・アル＝ハイサムは、あらゆる整数乗の和の一般式を決定するために容易に一般化できる方法を使用して、4乗の和の公式を導出した最初の数学者である。彼は放物面の体積を求めるために積分を行い、その結果を4次までの多項式の積分に一般化することができた。こうして彼は多項式の積分の一般的な公式を見つけることに近づいたが、4次以上の多項式については考慮していなかった。[161]
11世紀後半、オマル・ハイヤームは『ユークリッドの難点についての議論』を著した。これは彼がユークリッドの『原論』の欠陥、特に平行線公準について考察した本である。彼はまた、三次方程式の一般的な幾何学的解法を初めて発見した人物でもある。彼は暦の改革にも大きな影響を与えた。[162]
13 世紀には、ナスィルッディーン・トゥースィー(ナシレッディーン) が球面三角法を進歩させました。彼はまた、ユークリッドの平行線公理に関する影響力のある著作も執筆しました。15 世紀には、ギヤス・アル・カーシーが円周率の値を小数点第 16 位まで計算しました。カーシーはn乗根を計算するアルゴリズムも持っていましたが、これは何世紀も後にルフィニとホーナーによって与えられた方法の特殊なケースでした。
この時期のイスラム数学者のその他の業績としては、アラビア数字への小数点表記の追加、正弦以外のすべての現代三角関数の発見、アル＝キンディーによる暗号解読法と周波数解析の導入、イブン・アル＝ハイサムによる解析幾何学の発展、オマル・ハイヤームによる代数幾何学の始まり、アル＝カラサーディーによる代数記法の発展などがある。[163]
15 世紀からのオスマン帝国とサファヴィー朝の時代には、イスラム数学の発展は停滞しました。
マヤ
プレコロンブス期のアメリカ大陸では、紀元1千年紀にメキシコと中央アメリカで栄えたマヤ文明が、その地理的孤立により、既存のヨーロッパ、エジプト、アジアの数学から完全に独立した独自の数学の伝統を生み出した。 [164]マヤの数字は、ほとんどの現代文化で使用されている十進法の基礎となっている10進法ではなく、20進法である20進法を使用していた。 [164]マヤ人は、マヤ暦を作成するためだけでなく、土着のマヤ天文学で天文現象を予測するためにも数学を使用した。[164]多くの同時代文化の数学ではゼロの概念を推測する必要があったが、マヤ人はゼロの標準的な記号を開発した。[164]
中世ヨーロッパ
中世ヨーロッパの数学への関心は、現代の数学者とは全く異なる関心によって推進された。その推進力の一つは、数学が自然の創造秩序を理解する鍵を提供するという信念であり、これはプラトンの『ティマイオス』や、神がすべてのものを寸法、数、重さで秩序づけたという聖書の一節（知恵の書）によってしばしば正当化された。[165]
ボエティウスは6世紀に算術、幾何学、天文学、音楽の研究を記述するために「quadrinium」という用語を造り出し、カリキュラムの中に数学を位置づけた。彼はニコマコスの『算術入門』のギリシア語からの自由翻訳である『De institutionse arithmetica』、同じくギリシア語の文献から派生した『De institutionse musica』 、そしてユークリッドの『原論』からの一連の抜粋を著した。彼の著作は実践的というよりは理論的なものであり、ギリシア語とアラビア語の数学書が復活するまで数学研究の基礎となった。[166] [167]
12世紀には、ヨーロッパの学者たちが科学的なアラビア語の文献を求めてスペインやシチリア島を旅したが、その中にはロバート・オブ・チェスターがラテン語に翻訳したアル・フワーリズミーの『計算の簡約書』 （数学者ロバート・オブ・チェスターがラテン語に翻訳）や、アデラード・オブ・バース、ヘルマン・オブ・ケルンテン、ジェラルド・オブ・クレモナらが様々な版で翻訳したユークリッドの『原論』の全文が含まれていた。[168] [169]これらやその他の新しい文献が数学の刷新を引き起こした。
現在フィボナッチとして知られるピサのレオナルドは、商人の父親と現在のアルジェリアのベジャイアを旅行した際、偶然にヒンドゥーアラビア数字について知りました。（ヨーロッパではまだローマ数字が使用されていました。）そこで彼は、ヒンドゥーアラビア数字の位置表記のおかげではるかに効率的で商業を大幅に促進する算術システム（特にアルゴリズム）を観察しました。レオナルドは1202年に『算盤の書』（1254年に改訂）を執筆し、この手法をヨーロッパに紹介し、長く普及させ始めました。この本はまた、現在フィボナッチ数列として知られているもの（それより数百年も前からインドの数学者に知られていた）[170]をヨーロッパにもたらし、フィボナッチはこれを目立たない例として使用しました。
14世紀には、幅広い問題を調査するための新しい数学的概念が開発されました。[171]重要な貢献の一つは、局所運動の数学の発展でした。
トーマス・ブラッドワーディンは、力 (F) と抵抗 (R) の比が幾何比で増加すると、速度 (V) は算術比で増加すると提唱した。ブラッドワーディンは一連の具体的な例を挙げてこれを表現したが、対数はまだ考えられていなかったため、彼の結論を時代錯誤的に次のように書くことができる。V = log (F/R)。[172]ブラッドワーディンの分析は、アル・キンディーとヴィラノバ大学のアルナルドが複合薬の性質を定量化するために使用した数学的手法を、異なる物理的問題に転用した例である。[173]
14世紀のオックスフォード大学の計算学者の一人、ウィリアム・ヘイツベリーは、微分積分学と極限の概念を持たなかったが、瞬間速度を「その瞬間に物体が動くのと同じ速度で均一に動かされた場合に物体が描く経路」で測定することを提案した。[176]
ヘイツベリーらは、等加速度運動する物体が移動する距離を数学的に決定し（今日では積分によって解かれる）、次のように述べている。「[速度の]増分を均一に獲得または失う運動物体は、ある一定の時間内に、平均[速度]度で同じ時間連続的に移動した場合に移動する距離と完全に等しい[距離]を移動する。」[177]
パリ大学のニコル・オレームとイタリア人のジョヴァンニ・ディ・カザーリはそれぞれ独立してこの関係をグラフで示し、一定の加速度を示す線の下の面積が移動した総距離を表すと主張した。[178]ユークリッドの『原論』に対する後の数学的注釈でオレームはより詳細な一般分析を行い、物体は時間の経過ごとに奇数に比例する質を獲得することを実証した。ユークリッドは奇数の合計が平方数であることを実証していたので、物体が獲得する総質は時間の平方に比例して増加する。[179]
ルネッサンス
ルネサンス期には、数学と会計学の発展は絡み合っていた。[180]代数学と会計学には直接的な関係はないが、代数学の教えや出版された本は、多くの場合、商人の子弟を対象としており、彼らは会計学校（フランドルとドイツ）やそろばん学校（イタリアではアバコとして知られている）に通い、貿易や商業に役立つ技術を学んだ。簿記の業務を行う上で代数学はおそらく必要ではないが、複雑な物々交換や複利の計算には算術の基礎知識が必須であり、代数学の知識は非常に役立った。
Piero della Francesca (c. 1415–1492) は、De Prospectiva Pingendi (絵画の遠近法について)、Trattato d'Abaco (そろばん論)、De quinque corporibus Regularibus (5 つの正立体について)など、立体幾何学と線遠近法に関する本を執筆しました。 ）。[181] [182] [183]
ルカ・パチョーリの『算術、幾何学、比率、比例の大全』（イタリア語：「算術、幾何学、比率、比例の概要」）は、1494年にヴェネツィアで初めて印刷、出版された。この本には、簿記に関する27ページの論文「Particularis de Computis et Scripturis」 （イタリア語：「計算と記録の詳細」）が含まれていた。この本は主に商人向けに書かれ、販売されたが、商人たちはこの本を参考書として、また本書に含まれる数学パズルを楽しむため、また息子たちの教育に役立てていた。[184] 『算術大全』で、パチョーリは印刷本で初めてプラスとマイナスの記号を導入した。この記号は、イタリアのルネサンス数学の標準表記法となった。 『算術大全』は、代数を含んだイタリアで印刷された最初の本としても知られている。パチョーリはピエロ・デラ・フランチェスカから多くのアイデアを得たが、それを盗作した。
16世紀前半のイタリアでは、シピオーネ・デル・フェロとニッコロ・フォンターナ・タルタリアが三次方程式の解を発見した。ジェロラモ・カルダーノは1545年に著書『アルス・マグナ』で、弟子のロドヴィコ・フェラーリが発見した四次方程式の解とともにそれを発表した。1572年にラファエル・ボンベッリは『代数学』を出版し、その中で三次方程式を解くカルダーノの公式に現れる虚数の扱い方を示した。
1585年にオランダ語で初めて出版されたシモン・ステヴィンの『デ・ティエンデ（10分の1の技術）』には、ヨーロッパで初めて体系的に10進法を扱った内容が含まれており、その後の実数体系に関する研究すべてに影響を与えた。[185] [186]
航海の需要と、広い地域の正確な地図に対する需要の高まりに押されて、三角法は数学の主要分野に成長しました。この言葉を初めて使ったのはバルトロメウス・ピティスクスで、1595年に『三角法』を出版しました。レギオモンタヌスの正弦と余弦の表は1533年に出版されました。[187]
ルネサンス期には、自然界をリアルに表現したいという芸術家の願望と、ギリシャ哲学の再発見が相まって、芸術家たちは数学を学ぶようになりました。当時の芸術家たちは技術者や建築家でもあったため、いずれにせよ数学が必要でした。遠近法による絵画の芸術と、それに伴う幾何学の発展が熱心に研究されました。[188]
科学革命時代の数学
17世紀
17世紀には、ヨーロッパ全土で数学的、科学的アイデアがかつてないほど増加した。ガリレオはハンス・リッペルハイの望遠鏡を使って木星の衛星が木星の周りを回っているのを観察した。ティコ・ブラーエは天空の惑星の位置を記述する大量の数学的データを集めていた。ブラーエの助手として働いていたヨハネス・ケプラーは、惑星の運動というテーマに初めて触れ、真剣に取り組むことになった。ケプラーの計算は、同時期にジョン・ネイピアとヨスト・ビュルギが対数を発明したことにより、より単純化された。ケプラーは惑星の運動に関する数学的法則を定式化することに成功した。[189]ルネ・デカルト（1596–1650）が開発した解析幾何学 により、それらの軌道を直交座標のグラフ上にプロットすることが可能になった。
アイザック・ニュートンは、多くの先人たちの研究を基に、ケプラーの法則を説明する物理法則を発見し、現在微積分として知られる概念をまとめた。ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツは独立して微積分と、現在でも使用されている微積分記法の多くを開発した。彼はまた、20世紀後半から21世紀にかけて採用された標準的な設計パラダイム、つまり「コンピュータアーキテクチャ」であるフォン・ノイマンアーキテクチャを含む、ほぼすべてのデジタル（電子、ソリッドステート、離散論理）コンピュータの基礎である2進数システムを改良した。ライプニッツは「コンピュータサイエンスの創始者」と呼ばれている。[190]
科学と数学は国際的な取り組みとなり、すぐに全世界に広まりました。[191]
天体の研究への数学の応用に加えて、応用数学はピエール・ド・フェルマーとブレーズ・パスカルの書簡によって新しい分野に広がり始めました。パスカルとフェルマーは、賭博のゲームをめぐる議論の中で、確率論とそれに対応する組合せ論の規則の研究の基礎を築きました。パスカルは、賭け金を賭けて、新しく発展した確率論を用いて、成功の確率が小さくても報酬は無限であるという理由で、宗教に捧げられた人生を主張しようとしました。ある意味で、これは18世紀と19世紀の 効用理論の発展を予見していました。
18世紀
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18 世紀で最も影響力のあった数学者は、おそらくレオンハルト オイラー(1707–1783) でしょう。彼の貢献は、ケーニヒスベルクの 7 つの橋問題でグラフ理論の研究を創設したことから、多くの現代の数学用語や表記法の標準化まで多岐にわたります。たとえば、マイナス 1 の平方根に記号iを付け、円周と直径の比を表すギリシャ文字の使用を普及させました。位相幾何学、グラフ理論、微積分、組合せ論、複素解析の研究に多大な貢献をしました。これは、彼にちなんで名付けられた定理や表記法が数多くあることからも明らかです。
18 世紀の他の重要なヨーロッパの数学者には、数論、代数学、微分積分、変分法の分野で先駆的な研究を行ったジョゼフ・ルイ・ラグランジュや、ナポレオンの時代に天体力学の基礎と統計学に関して重要な研究を行ったピエール＝シモン・ラプラスなどがいます。
モダンな
19世紀
19世紀を通じて、数学はますます抽象的になっていった。[192] カール・フリードリヒ・ガウス（1777-1855）はこの傾向の典型である。[要出典]彼は科学への多くの貢献とは別に、複素変数の関数、幾何学、級数の収束に関する革命的な研究を行った。 また、代数の基本定理と二次の相互法則の最初の満足のいく証明も与えた。[要出典]
この世紀には、ユークリッド幾何学の平行線公準がもはや成り立たない、2つの形式の非ユークリッド幾何学が発展した。ロシアの数学者ニコライ・イワノビッチ・ロバチェフスキーと彼のライバルであるハンガリーの数学者ヤーノシュ・ボヤイは、平行線の一意性がもはや成り立たない双曲幾何学を独立に定義し研究した。この幾何学では、三角形の角度の合計は180°未満になる。楕円幾何学は、 19世紀後半にドイツの数学者ベルンハルト・リーマンによって開発された。ここでは平行線は見つからず、三角形の角度の合計は180°を超える。リーマンはまた、3種類の幾何学を統合して大幅に一般化するリーマン幾何学を開発し、曲線と曲面の考え方を一般化する多様体の概念を定義し、一般相対性理論の数学的基礎を築いた。[193]
19 世紀には、抽象代数学の大きな幕開けがありました。ドイツのヘルマン・グラスマンはベクトル空間の最初のバージョンを提示し、アイルランドのウィリアム・ローワン・ハミルトンは非可換代数学を開発しました。[引用が必要]イギリスの数学者ジョージ・ブールは、すぐに現在ブール代数と呼ばれるものに進化する代数を考案しました。ブール代数では、数値は 0 と 1 のみでした。ブール代数は数学的論理の出発点であり、電気工学やコンピューター サイエンスで重要な用途があります。[引用が必要] オーギュスタン＝ルイ・コーシー、ベルンハルト・リーマン、カール・ワイエルシュトラスは、より厳密な方法で微積分を再定式化しました。[引用が必要]
また、初めて数学の限界が探求された。ノルウェーのニールス・ヘンリク・アーベルとフランスのエヴァリスト・ガロワは、4次以上の多項式方程式を解くための一般的な代数的方法は存在しないことを証明した（アーベル・ルフィニの定理）。[194] 19世紀の他の数学者たちは、定規とコンパスだけでは、任意の角度を三等分したり、与えられた立方体の2倍の体積の立方体の側面を作ったり、与えられた円と面積が等しい正方形を作ったりするのに十分ではないことを証明する際にこれを利用しました。[要出典]数学者は、古代ギリシャの時代から、これらすべての問題を解こうと無駄な努力を続けてきました。[要出典]一方、幾何学における3次元の限界は、パラメータ空間と超複素数の考慮を通じて19世紀に克服されました。[要出典]
アーベルとガロアによるさまざまな多項式方程式の解に関する研究は、群論とそれに関連する抽象代数学の分野のさらなる発展の基礎を築きました。20 世紀には、物理学者やその他の科学者は群論を対称性を研究する理想的な方法と見なしました。[要出典]
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19 世紀後半、ゲオルク・カントールは集合論の最初の基礎を確立しました。これにより、無限の概念を厳密に扱うことが可能になり、ほぼすべての数学の共通言語となりました。カントールの集合論と、ペアノ、LEJ ブラウワー、デイヴィッド・ヒルベルト、バートランド・ラッセル、AN ホワイトヘッドによる数学的論理の台頭により、数学の基礎に関する長きにわたる議論が始まりました。[要出典]
19世紀には、数多くの国内数学協会が設立された。 1865年のロンドン数学会、[195] 1872年のフランス数学会、[ 196] 1884年のパレルモ数学会、[197] [198] 1883年のエディンバラ数学会、[199] 1888年のアメリカ数学会などである。 [200]最初の国際的な専門学会である四元数協会は、ベクトル論争を背景に1899年に設立された。[201]
20世紀
20世紀には数学が主要な職業となった。世紀末までに、数学の博士号を授与される人は毎年何千人も増え、教育と産業界の両方で仕事が見つかった。[203]数学の分野と応用をカタログ化する取り組みは、クラインの百科事典で行われた。[204]
1900年の国際数学者会議での演説で、デイヴィッド・ヒルベルトは数学における未解決の問題を23個挙げた。[205]これらの問題は数学の多くの分野にまたがり、20世紀の数学の中心的な焦点となった。今日、10個は解決済み、7個は部分的に解決済み、2個はまだ未解決である。残りの4個は定式化が緩すぎるため、解決済みかどうかは判断できない。[要出典]
著名な歴史的予想がついに証明された。1976年、ヴォルフガング・ハーケンとケネス・アペルは、当時はコンピュータの使用が議論の的となっていた四色定理を証明した。 [206] アンドリュー・ワイルズは、他の人の研究を基に、1995年にフェルマーの最終定理を証明した。 [207] ポール・コーエンとクルト・ゲーデルは、連続体仮説が集合論の標準公理とは独立している（証明も反証もできない）ことを証明した。[208] 1998年、トーマス・カリスター・ヘイルズは、やはりコンピュータを使用してケプラー予想を証明した。 [209]
前例のない規模と範囲の数学的な共同研究が行われた。一例として、有限単純群の分類（「巨大な定理」とも呼ばれる）が挙げられ、1955年から2004年の間にその証明には約100人の著者による500以上の雑誌論文が必要となり、数万ページに及んだ。[210]ジャン・デュドネとアンドレ・ヴェイユを含むフランスの数学者のグループは、「ニコラ・ブルバキ」というペンネームで出版し、既知の数学のすべてを首尾一貫した厳密な全体として説明しようとした。その結果生まれた数十冊の本は、数学教育に物議を醸す影響を与えた。[211]
微分幾何学は、アルバート・アインシュタインが一般相対性理論に使用したときに真価を発揮しました。[引用が必要]数理論理学、位相幾何学、ジョン・フォン・ノイマンのゲーム理論などのまったく新しい数学の分野により、数学的方法で回答できる問題の種類が変化しました。[引用が必要]あらゆる種類の構造が公理を使用して抽象化され、計量空間、位相空間などの名前が付けられました。 [引用が必要]数学者がするように、抽象的な構造の概念自体が抽象化され、圏論につながりました。[引用が必要] グロタンディークとセールは層理論を使用して代数幾何学を作り直しました。[引用が必要]ポアンカレが1890年代に始めた動的システムの定性的研究に大きな進歩がありました。 [引用が必要]測度論は19世紀後半から20世紀初頭にかけて発展しました。測度の応用には、ルベーグ積分、コルモゴロフの確率論の公理化、エルゴード理論などがある。[要出典]結び目理論は大きく拡張された。[要出典]量子力学は関数解析の発展をもたらした。[要出典]これは、シュテファン・バナッハと彼の協力者によって大きく発展した数学の一分野であり、ルヴフ数学学校を形成した。[212]その他の新しい分野には、ローラン・シュワルツの分布理論、不動点理論、特異点理論、ルネ・トムのカタストロフィー理論、モデル理論、マンデルブロのフラクタルなどがある。[要出典]リー群とリー代数を含むリー理論 主要な研究分野の一つとなった。[213]
アブラハム・ロビンソンによって導入された非標準解析は、極限理論に取って代わられて評判が悪くなってしまっていた微積分学への無限小アプローチを、実数の分野を無限小と無限量を含む超実数に拡張することによって復活させた。[要出典]さらに大きな数体系である超実数は、組み合わせゲームに関連してジョン・ホートン・コンウェイによって発見された。[要出典]
最初は機械的なアナログ機械、次いでデジタル電子機械となったコンピュータの発達と継続的な改良により、産業界は大量生産、流通、通信を容易にするためにますます大量のデータを処理できるようになり、これに対処するために新しい数学の分野が開発された。アラン・チューリングの計算可能性理論、複雑性理論、デリック・ヘンリー・レーマーによるENIACを使用した数論とルーカス・レーマー素数判定、ローザ・ペーテルの再帰関数理論、クロード・シャノンの情報理論、信号処理、データ分析、最適化、およびその他のオペレーションズ・リサーチの分野。[要出典]前の世紀の数学の多くは微積分と連続関数に重点が置かれていたが、コンピューティングと通信ネットワークの台頭により、離散概念の重要性が高まり、グラフ理論を含む組合せ論が拡張された。コンピュータの速度とデータ処理能力により、鉛筆と紙での計算では時間がかかりすぎる数学の問題も処理できるようになり、数値解析や記号計算などの分野につながりました。[要出典] 20世紀の最も重要な方法とアルゴリズムには、シンプレックス法、高速フーリエ変換、誤り訂正符号、制御理論のカルマンフィルタ、公開鍵暗号のRSAアルゴリズムなどがあります。[要出典]
同時に、数学の限界についての深い洞察がなされた。1929年と1930年には、自然数と加算または乗算（両方ではない）について定式化されたすべての命題の真偽は決定可能、すなわち何らかのアルゴリズムによって決定できることが証明された[誰によって? ] 。 1931年、クルト・ゲーデルは、自然数と加算と乗算の両方についてはそうではないことを発見した。ペアノ算術として知られるこのシステムは、実際には不完全だった。（ペアノ算術は、素数の概念を含む多くの数論に適している。）ゲーデルの2つの不完全性定理の結果、ペアノ算術を含むあらゆる数学システム（解析学と幾何学のすべてを含む）では、真理が必然的に証明に勝る、すなわちシステム内で証明できない真の命題が存在することになる。したがって、数学は数学的論理に還元することはできず、数学全体を完全かつ一貫したものにするというデイヴィッド・ヒルベルトの夢は再定式化する必要があった。[要出典]
20世紀の数学で最も多彩な人物の一人が、インドの独学者シュリニヴァーサ・アイヤンガル・ラマヌジャン（1887-1920）です。 [214 ]彼は3000以上の定理[要出典]を推測または証明しました。これには、高度合成数の性質[215]、分割関数[214]とその漸近線[216]、模擬シータ関数[214]が含まれます。[214]彼はまた、ガンマ関数[217] 、 [218]モジュラー形式[214]、発散級数[214]、超幾何級数[214] 、素数論[214]の分野で主要な研究を行いました。
ポール・エルデシュは歴史上他のどの数学者よりも多くの論文を発表し、[219]何百人もの共同研究者と共同研究を行った。数学者にはケビン・ベーコン・ゲームに相当するゲームがあり、それが数学者のエルデシュ数を導き出す。これは数学論文の共同執筆者によって測定される、ある人物とエルデシュの間の「共同研究距離」を表す。[220] [221]
エミー・ネーターは数学史上最も重要な女性であると多くの人に言われています。[222]彼女は環、体、代数の理論を研究しました。[223]
他の多くの研究分野と同様に、科学時代の知識の爆発的な増加は専門化をもたらした。世紀の終わりまでに、数学には何百もの専門分野があり、数学分野分類は数十ページに及んだ。[224]ますます多くの数学雑誌が出版され、世紀の終わりまでにワールドワイドウェブの発達によりオンライン出版が行われた。[要出典]
21世紀
2000年、クレイ数学研究所は7つのミレニアム懸賞問題を発表しました。[225] 2003年、ポアンカレ予想はグリゴリー・ペレルマンによって解決されました（彼は数学界に批判的であったため、賞の受け取りを辞退しました）。[226]
現在、ほとんどの数学雑誌には印刷版だけでなくオンライン版もあり、オンラインのみの雑誌も数多く創刊されています。[227] [228] arXivによって最初に普及したオープンアクセス出版への動きが高まっています。[要出典]
未来
数学には多くの注目すべき傾向があり、最も顕著なのは、コンピュータがますます重要かつ強力になるにつれて、数学という科目がますます大きくなっていることです。コンピュータによって促進される科学と産業によって生成されるデータの量は、指数関数的に拡大し続けています。その結果、このビッグデータの処理と理解を支援する数学の需要がそれに応じて増加しています。[229]数学科学のキャリアも成長し続けると予想されており、米国労働統計局は（2018年に）「数学科学の職業の雇用は2016年から2026年の間に27.9％増加すると予測されています。」と推定しています。[230]
参照
注記
- ^ πのおおよその値は、4 x (13/15) 2 (3.0044...)、25/8 (3.125)、900/289 (3.11418685...)、1156/361 (3.202216...)、および339/108 (3.1389)です。
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私が皆さんに挙げることができる例の1つは、紀元1400年頃のインドのマダヴァによる、幾何学的および代数的議論を用いた三角関数の無限べき級数の証明に関するものです。これが1830年代に
チャールズ・ウィッシュ
によって初めて英語で説明されたとき、それはインド人による微積分の発見として歓迎されました。この主張とマーダヴァの業績は西洋の歴史家によって無視されたが、それはおそらく最初はインド人が微積分を発見したことを認めることができなかったためであり、後にウィッシュの論文が掲載された
王立アジア協会紀要を誰も読まなくなったためである。この問題は 1950 年代に再浮上し、現在ではサンスクリット語のテキストが適切に編集され、マーダヴァが微積分
を使わずに
数列を導き出した巧妙な方法がわかっている
。しかし多くの歴史家は依然として、問題とその解決を微積分以外の何かの観点から考えることは不可能であり、マーダヴァが見つけたのは微積分であると主張するのは不可能であると考えている。この場合、マーダヴァの数学の優雅さと輝きは、彼が別の強力な解決法を発見した問題に対する現在の数学的解決法に埋もれてしまい、ゆがめられているのである。
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さらに読む
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特定のトピックに関する書籍
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外部リンク
Wikiquote には数学の歴史に関する引用があります。
ドキュメンタリー
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- 数学の歴史ホームページ (David E. Joyce、クラーク大学)。数学の歴史に関するさまざまなトピックに関する記事と広範な参考文献。
- 数学の歴史 (David R. Wilkins、トリニティ カレッジ、ダブリン)。17 世紀から 19 世紀までの数学に関する資料のコレクション。
- 数学用語の最も古い既知の使用法 (Jeff Miller)。数学で使用される用語の最も古い既知の使用法に関する情報が含まれています。
- さまざまな数学記号の初期の使用 (Jeff Miller)。数学表記の歴史に関する情報が含まれています。
- 数学用語: 起源と情報源 (ジョン・アルドリッチ、サウサンプトン大学) 現代の数学用語の起源について説明します。
- 女性数学者の伝記（ラリー・リドル、アグネス・スコット大学）。
- アフリカ系ディアスポラの数学者 (スコット W. ウィリアムズ、バッファロー大学)。
- MAA ミニコースのノート: 数学の歴史に関するコースの指導。(2009) ( V. Frederick RickeyおよびVictor J. Katz )。
- 古代ローマ: ヴィトルフの走行距離計。ヴィトゥシウスのローマの走行距離計の絵画的(動く)再現。
書誌
- 2007 年 3 月 17 日付の数学者の著作と書簡集の書誌アーカイブ (Steven W. Rockey、コーネル大学図書館)。
組織
- 国際数学史委員会
ジャーナル
- 数学史
- 収束 アーカイブ 2020-09-08ウェイバックマシン、アメリカ数学協会のオンライン数学史雑誌
- 数学の歴史 2006-10-04 にWayback Machineにアーカイブされました数学アーカイブ (テネシー大学、ノックスビル)
- 歴史/経歴 数学フォーラム（ドレクセル大学）
- 数学の歴史（コートライト記念図書館）。
- 数学 Web サイトの歴史 (2009 年 5 月 25 日、 Wayback Machineにアーカイブ) (David Calvis、Baldwin-Wallace College)
- Historia de las Matemáticas (ラ・グナ大学)
- História da Matemática (コインブラ大学)
- 数学の授業で歴史を使う
- 数学リソース: 数学の歴史 (ブルーノ・ケビウス)
- 数学の歴史（ロベルタ・トゥッチ）