対数

数学において、底bの対数は底bの累乗の逆関数です。つまり、 底bの数xの対数は、x を得るためにb を累乗しなければならない指数です。たとえば、1000 = 10 ³なので、1000の対数の底は3、つまりlog ₁₀  (1000) = 3です。底bのxの対数はlog _b  ( x )と表されるか、括弧なしでlog _b xと表されます。底が文脈から明らかな場合や無関係な場合は、log  xと書かれることもあります。   ${\displaystyle 10}$  

10を底とする対数は、十進対数または常用対数と呼ばれ、科学や工学でよく使用されます。自然対数は、 e ≈ 2.718を底とします 。導関数が非常に簡単なため、数学や物理学で広く使用されています。2進対数は、底が2で、コンピューター サイエンスでよく使用されます。

対数は、計算を簡略化する手段として、1614 年にジョン・ネイピアによって導入されました。 ^{[1]対数は、}航海士、科学者、技術者、測量士、その他の人々に、高精度の計算をより簡単に実行するために急速に採用されました。対数表を使用すると、面倒な多桁の乗算手順を表の検索と簡単な加算に置き換えることができます。これが可能なのは、積の対数が因数の対数の 合計であるためです。 ただし、b、x、yはすべて正で、b ≠ 1です。同じく対数に基づく計算尺を使用すると、表を使わずに素早く計算できますが、精度は低くなります。今日の対数の概念は、 18 世紀に対数を指数関数と結び付け、自然対数の底として文字e を導入したレオンハルト・オイラーに由来します。 ^[2]$${\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}x+\log _{b}y,}$$

対数スケールは、広範囲にわたる量をより小さな範囲に縮小します。たとえば、デシベル(dB) は、主に信号電力と振幅 (音圧が一般的な例)の比率を対数で表すために使用される単位です。化学では、 pH は水溶液の酸性度を対数で表す尺度です。対数は、科学的な式、およびアルゴリズムの複雑さやフラクタルと呼ばれる幾何学的オブジェクトの測定でよく使用されます。対数は、音楽の音程の周波数比を説明するのに役立ち、素数を数える式や階乗を近似する式に使用され、心理物理学の一部のモデルに情報を提供し、法廷会計にも役立ちます。

対数を指数の逆数としてとらえる概念は、他の数学的構造にも適用されます。ただし、一般的な設定では、対数は多値関数になる傾向があります。たとえば、複素対数は複素指数関数の多値逆数です。同様に、離散対数は有限群の指数関数の多値逆数であり、公開鍵暗号化で使用されます。

加算、乗算、累乗は、最も基本的な算術演算の 3 つです。加算の逆は減算で、乗算の逆は除算です。同様に、対数は累乗の逆演算です。累乗とは、数b (底) を指数y (特定の累乗)で累乗して値x を生成することです。これは と表記されます。 たとえば、2 を3乗すると8になります。$${\displaystyle b^{y}=x.}$$${\displaystyle 2^{3}=8.}$

b を底とする対数は逆演算であり、入力xから出力y を生成します。つまり、bが正の実数の場合、は と同等です。( bが正の実数でない場合は、指数と対数の両方を定義できますが、複数の値を取る可能性があり、定義がはるかに複雑になります。) ${\displaystyle y=\log _{b}x}$${\displaystyle x=b^{y}}$

対数を導入する主な歴史的動機の 1 つは、 対数表によって乗算と除算を加算と減算に簡略化できるという 公式 であり、これはコンピューターが発明される前の計算に非常に役立ちました。$${\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}x+\log _{b}y,}$$

正の実数 bが与えられ、 b ≠ 1である場合、正の実数xのbを底とする 対数^{[nb 1]は、} x を得るためにb を累乗しなければならない指数です。言い換えると、b を底とする xの対数は、 となる唯一の実数 yです。^[3]${\displaystyle b^{y}=x}$

対数は「log _b  x 」と表記されます（「 bを底とする xの対数」、「bを底とするxの対数」、または最も一般的には「 bを底とするxの対数」と発音されます ）。

同等でより簡潔な定義は、関数log _bが関数 の逆関数であるということです。 ${\displaystyle x\mapsto b^{x}}$

• log ₂  16 = 4、2 ⁴ = 2 × 2 × 2 × 2 = 16なので。
• 対数は負になることもある。${\textstyle \log _{2}\!{\frac {1}{2}}=-1}$${\textstyle 2^{-1}={\frac {1}{2^{1}}}={\frac {1}{2}}.}$
• log ₁₀  150は約 2.176 で、2 と 3 の間にあります。これは、150 が10 ² = 100と10 ³ = 1000の間にあるのと同じです。
• 任意の底 bについて、それぞれ_b ¹ = bおよびb ⁰ = 1であるため、log  b b = 1およびlog _b  1 = 0です。

いくつかの重要な公式は、対数恒等式や対数法則とも呼ばれ、対数を互いに関連付けます。^[4]

積の対数は、掛け算される数の対数の合計です。2 つの数の比の対数は、対数の差です。数のp乗の対数は 、数自体の対数のp倍です。p乗根の対数は、数をpで割った対数です。次の表は、これらの恒等式を例とともに示しています。各恒等式は、対数の定義または左辺を代入することで導出できます。 ${\displaystyle x=b^{\,\log _{b}x}}$${\displaystyle y=b^{\,\log _{b}y}}$

対数log _b  xは、任意の底kに対する xとbの対数から次の式で計算できる。 ^{[nb 2]} $${\displaystyle \log _{b}x={\frac {\log _{k}x}{\log _{k}b}}.}$$

一般的な科学計算機は、 10 とeを底とする対数を計算します。^{[5]任意の底}bに関する対数は、 前の式を使用してこれら 2 つの対数のいずれかを使用して決定できます。 $${\displaystyle \log _{b}x={\frac {\log _{10}x}{\log _{10}b}}={\frac {\log _{e}x}{\log _{e}b}}.}$$

数xとその対数y = log _b  x（底 bは不明）が与えられた場合、底は次のように与えられます。

$${\displaystyle b=x^{\frac {1}{y}},}$$

これは定義式を${\displaystyle x=b^{\,\log _{b}x}=b^{y}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{y}}.}$

底の選択肢の中で、特によく使われるのは 3 つです。b = 10、b = e（無理数e ≈ 2.71828183）、 b = 2（2進対数）です。数学的解析では、以下に説明する解析特性のため、対数の底eが広く使用されています。一方、底 10 の対数（常用対数）は、 10 進数システムでの手動計算に簡単に使用できます。^[6]

$${\displaystyle \log _{10}\,(\,10\,x\,)\ =\;\log _{10}10\ +\;\log _{10}x\ =\ 1\,+\,\log _{10}x\,.}$$

したがって、log ₁₀  ( x ) は正の整数xの小数点以下の桁数に関係します。桁数は、log ₁₀  ( x )よりも確実に大きい最小の整数です。^[7] たとえば、log ₁₀ (5986)は約 3.78 です。その上の次の整数は 4 で、これは 5986 の桁数です。自然対数と二進対数はどちらも情報理論で使用され、それぞれナットまたはビットを情報の基本単位として使用することに対応しています。 ^[8]二進対数は、バイナリシステムが普及しているコンピューターサイエンス でも使用されます。音楽理論では、ピッチ比が2（オクターブ）はどこにでもあり、2つのピッチ間のセント数は、ピッチ比の2進対数、つまりlog 2の1200倍（つまり、従来の平均律では半音あたり100セント）のスケールバージョン、または2を底とする対数^1/1200に相当します 。また、写真では、再スケールされた底2の対数は、露出値、光レベル、露出時間、レンズの絞り、およびフィルム速度を「ストップ」で測定するために使用されます。^[9]

略語log  x は、文脈や分野に基づいて意図された底が推測できる場合、または底が不確定または重要でない場合に使用されることが多い。 常用対数 (底 10) は、歴史的に対数表や計算尺で使用され、科学や工学の多くの分野で測定と計算の基本的なツールです。これらの文脈では、log  xは依然として底 10 の対数を意味することが多い。^[10]数学では、log  x は通常、自然対数 (底e ) を意味します。^{[11] [12]} コンピューターサイエンスと情報理論では、log はしばしば 2 進対数 (底 2) を指します。次の表は、これらの底に対する対数の一般的な表記を示しています。「ISO 表記」列には、国際標準化機構によって提案された表記がリストされています。^[13]

17世紀ヨーロッパの対数の歴史では、代数的手法の範囲を超えて解析の領域を拡張した新しい関数の発見がありました。対数の方法は、1614年にジョン・ネイピアによって「対数の素晴らしい規範の説明」と題された本で公に提唱されました。^{[19] [20]ネイピアの発明以前にも、}プロスタファエレシスや数列表の使用など、同様の範囲の他の手法があり、1600年頃にヨスト・ビュルギによって広範囲に開発されました。 ^{[21] [22]}ネイピアは中世ラテン語で対数を表す用語logarithmusを造りました。これは文字通り「比率-数」を意味し、ギリシャ語のlogos「割合、比」 + arithmos「数」に由来しています。

ある数の常用対数は、その数に等しい10の累乗の指数である。^{[23]ある数に多くの数字が必要であるという表現は、常用対数への大まかな言及であり、}アルキメデスはこれを「数の順序」と呼んだ。 ^[24]最初の実対数は、乗算を加算に変換し、高速計算を容易にする発見的手法であった。これらの方法のいくつかは、三角関数の恒等式から得られた表を使用していた。^{[25]このような方法は}、プロスタファエレシスと呼ばれる。

現在自然対数として知られている関数の発明は、プラハに住むベルギーのイエズス会士、グレゴワール・ド・サン＝ヴァンサンが直角双曲線の求積法を実行しようとしたことから始まった。アルキメデスは紀元前3世紀に『放物線の求積法』を著していたが、双曲線の求積法はサン＝ヴァンサンが1647年にその結果を発表するまでは、いかなる努力も成されなかった。対数の引数における等比数列と値の等差数列との間に関係があることから、AA・デ・サラサはサン＝ヴァンサンの求積法と、補語論における対数の伝統を結び付け、「双曲対数」という用語が生まれ、これは自然対数の同義語となった。すぐにこの新しい関数は、クリスティアーン・ホイヘンスやジェームズ・グレゴリーに評価された。Log yという表記は1675年にライプニッツによって採用され^[26]、翌年彼はそれを積分と結び付けた。 ${\textstyle \int {\frac {dy}{y}}.}$

オイラーが複素自然対数の現代的な概念を開発する前に、ロジャー・コーツは1714年にほぼ同等の結果を示しました。^[27] $${\displaystyle \log(\cos \theta +i\sin \theta )=i\theta .}$$

計算機やコンピュータが普及する以前に難しい計算を簡素化することで、対数は科学、特に天文学の進歩に貢献しました。対数は測量、天体航法、その他の分野の進歩に不可欠でした。ピエール・シモン・ラプラスは対数を

「...何ヶ月もかかる作業を数日に短縮することで天文学者の寿命を2倍にし、長時間の計算で避けられない間違いや嫌悪感から天文学者を解放する素晴らしい技巧。」^[28]

関数f ( x ) = b ^xはlog _b  xの逆関数であるため、逆対数と呼ばれてきました。^{[29]現在では、この関数は}指数関数と呼ばれることがより一般的です。

対数の実用化を可能にした重要なツールは、対数表でした。^[30]最初の対数表は、ネイピアの発明の直後の1617年にヘンリー・ブリッグスによってまとめられましたが、底として10を使用するという革新的でした。ブリッグスの最初の表には、1から1000までの範囲のすべての整数の常用対数が14桁の精度で含まれていました。その後、範囲が拡大した表が作成されました。これらの表には、特定の範囲の 任意の数 xに対するlog ₁₀  xの値が特定の精度でリストされていました。10を底とする対数は計算に広く使用されており、常用対数と呼ばれています。これは、10の因数で異なる数は対数が整数で異なるためです。xの常用対数は、特性値と仮数と呼ばれる整数部分と小数部分に分けることができます。対数表には仮数部のみを記載すれば十分である。なぜなら、小数点から桁を数えることで簡単に特性を決定できるからである。^[31] 10 · xの特性はxの特性の1を加えたものであり、それらの仮数部は同じである。したがって、3桁の対数表を使用すると、3542の対数は次のように近似される。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\log _{10}3542&=\log _{10}(1000\cdot 3.542)\\&=3+\log _{10}3.542\\&\approx 3+\log _{10}3.54\end{aligned}}}$$

補間によってより高い精度が得られます。

$${\displaystyle \log _{10}3542\approx {}3+\log _{10}3.54+0.2(\log _{10}3.55-\log _{10}3.54)}$$

対数は単調関数なので、同じ表を逆引きすることで10 ^xの値を判定できます。

2 つの正の数cとdの積と商は、通常、それらの対数の和と差として計算されます。積 cdまたは商 c / d は、同じ表を使用して、和または差の真数を調べることで得られます。

$${\displaystyle cd=10^{\,\log _{10}c}\,10^{\,\log _{10}d}=10^{\,\log _{10}c\,+\,\log _{10}d}}$$ そして $${\displaystyle {\frac {c}{d}}=cd^{-1}=10^{\,\log _{10}c\,-\,\log _{10}d}.}$$

かなりの精度が要求される手動計算の場合、2 つの対数を検索し、それらの合計または差を計算し、真数を検索する方が、三角関数の恒等式に依存するprosthaphaeresisなどの以前の方法で乗算を実行するよりもはるかに高速です。

累乗と平方根の計算は、乗算または除算と参照に簡略化されます。 $${\displaystyle c^{d}=\left(10^{\,\log _{10}c}\right)^{d}=10^{\,d\log _{10}c}}$$

そして $${\displaystyle {\sqrt[{d}]{c}}=c^{\frac {1}{d}}=10^{{\frac {1}{d}}\log _{10}c}.}$$

三角関数の計算は、三角関数の常用対数を含む表によって容易になりました。

もう一つの重要な用途は計算尺で、これは計算に使われる一対の対数目盛りです。スライドしない対数目盛りであるグンターの定理は、ネイピアの発明のすぐ後に発明されました。ウィリアム・オートレッドはこれを改良して、互いに移動可能な一対の対数目盛りである計算尺を作りました。数字は、スライド目盛り上に、対数の差に比例した距離で配置されます。上側の目盛りを適切にスライドさせると、次に示すように機械的に対数を加算することになります。

例えば、下の目盛りの1から2までの距離と上の目盛りの1から3までの距離を足すと6となり、それが下の部分で読み取られます。計算尺は、精度は犠牲になりますが、表に基づく技術よりもはるかに高速な計算を可能にするため、1970年代までエンジニアや科学者にとって不可欠な計算ツールでした。^[32]

対数をより深く研究するには、関数の概念が必要です。関数とは、ある数値を与えると別の数値を生成する規則です。^[33]一例として、任意の実数 xからbのx乗を生成する関数があります。ここで、底 b は固定数です。この関数は、f ( x ) = b ^xと表記されます。bが正で 1 と等しくない場合、実数から正の実数への関数として考えた場合 、 fは可逆であることが以下で示されます。

b を1 以外の正の実数とし、f​​ ( x ) = b ^xとします。

実解析における標準的な結果は、任意の連続した厳密な単調関数がその定義域と値域の間で全単射であるということです。この事実は中間値定理から導かれます。^[34]ここで、f は（b > 1 の場合）厳密に増加、または（0 < b < 1の場合）厳密に減少し、^[35]連続で、定義域を持ち、値域を持ちます。したがって、f はからへの全単射です。言い換えると、すべての正の実数yに対して、となる実数x が1 つだけ存在します。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$${\displaystyle b^{x}=y}$

ここで、はfの逆数を表します。つまり、log _b yはとなる唯一の実数xです。この関数は、 b を底とする対数関数または対数関数(または単に対数)と呼ばれます。 ${\displaystyle \log _{b}\colon \mathbb {R} _{>0}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle b^{x}=y}$

関数log _b  xは、本質的に積の公式によって特徴付けられる。 より正確には、任意の底b > 1 に対する対数は、 f ( b ) = 1を満たす正の実数から実数への唯一の増加関数fであり、^[36]$${\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}x+\log _{b}y.}$$ $${\displaystyle f(xy)=f(x)+f(y).}$$

上で述べたように、関数log _{b は}指数関数の逆関数です。したがって、x座標とy座標を交換すると（または対角線x = yで反射すると）、右に示すようにそれらのグラフは互いに対応します。つまり、 fのグラフ上の点( t、u = b ^t )は、対数のグラフ上の点( u、t = log _b u )を生成し、その逆も同様です。結果として、bが 1 より大きい場合、 x が無限大になると、log b ₍  x )は無限大に発散します（任意の数よりも大きくなります）。その場合、log _b  ( x )は増加関数 です。b < 1の場合、log _b ( x )は代わりにマイナスの無限大に近づきます。x がゼロに近づくと、log _b x はb > 1の場合はマイナスの無限大に（それぞれb < 1の場合はプラスの無限大に）なります。 ${\displaystyle x\mapsto b^{x}}$   

関数の解析的性質は、その逆関数にも当てはまります。^[34]したがって、f ( x ) = b ^{x が}連続かつ微分可能な関数であるのと同様に、log _b  yも連続かつ微分可能な関数です。大まかに言えば、グラフに鋭い「角」がない場合、連続関数は微分可能です。さらに、指数関数の性質により、f ( x )の導関数はln( b ) b ^xと評価されるため、連鎖律により、 log _b xの導関数は次のように与えられます。^{[35] [37]} つまり、点( x , log _b  ( x ))で底b の対数のグラフに接する接線の傾きは、 1/( x  ln( b ))に等しくなります。   $${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{b}x={\frac {1}{x\ln b}}.}$$

ln( x )の導関数は1/ xです。つまり、ln( x )は、 x = 1に対して値 0 を持つ1/ xの唯一の原始導関数です。この非常に単純な式が、自然対数を「自然」とみなす動機となっています。これは、定数 eが重要である主な理由の 1 つでもあります。

一般化された関数引数f ( x )による導関数は、 右辺の商をfの対数導関数と呼ぶ。ln( f ( x ))の導関数を使ってf' ( x )を計算することを対数微分という。^[38]自然対数ln( x )の原始導関数は次のようになる。^{[39]他の底に対する対数の原始導関数などの}関連式は、底の変更を使用してこの式から導くことができる。^[40]$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln f(x)={\frac {f'(x)}{f(x)}}.}$$ $${\displaystyle \int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C.}$$

tの自然対数は定積分として定義できます。

$${\displaystyle \ln t=\int _{1}^{t}{\frac {1}{x}}\,dx.}$$ この定義の利点は、指数関数や三角関数に依存しないという点です。定義は、単純な逆数の積分で行われます。積分として、ln( t ) は、 x軸と関数1/ xのグラフの間の領域に等しく、範囲はx = 1からx = tです。これは、微積分の基本定理と、 ln( x )の導関数が1/ xであるという事実の結果です。この定義から、積と累乗の対数式を導くことができます。^[41]たとえば、積の式ln( tu ) = ln( t ) + ln( u )は次のように演繹されます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(tu)&=\int _{1}^{tu}{\frac {1}{x}}\,dx\\&{\stackrel {(1)}{=}}\int _{1}^{t}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{t}^{tu}{\frac {1}{x}}\,dx\\&{\stackrel {(2)}{=}}\ln(t)+\int _{1}^{u}{\frac {1}{w}}\,dw\\&=\ln(t)+\ln(u).\end{aligned}}}$$

等式 (1) は積分を 2 つの部分に分割しますが、等式 (2) は変数の変更 ( w = x / t ) です。下の図では、分割は領域を黄色と青色の部分に分割することに対応しています。左側の青色の領域を垂直方向に係数 t で再スケーリングし 、同じ係数で水平方向に縮小しても、サイズは変わりません。適切に移動すると、領域は関数f ( x ) = 1/ xのグラフに再び適合します。したがって、 tからtuまでのf ( x )の積分である左側の青色の領域は、 1 からuまでの積分と同じです。これにより、より幾何学的な証明によって等式 (2) が正当化されます。

べき乗の式ln( t ^r ) = r ln( t )も同様の方法で導くことができます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(t^{r})&=\int _{1}^{t^{r}}{\frac {1}{x}}dx\\&=\int _{1}^{t}{\frac {1}{w^{r}}}\left(rw^{r-1}\,dw\right)\\&=r\int _{1}^{t}{\frac {1}{w}}\,dw\\&=r\ln(t).\end{aligned}}}$$ 2番目の等式では変数の変更（置換積分）w = x ^{1/ r}が使用されます。

自然数の逆数の和は 調和級数 と呼ばれる。これは自然対数と密接に関係しており、nが無限大に近づくにつれて、差は オイラー・マスケローニ定数γ = 0.5772...と呼ばれる数に収束（つまり、任意に近づく）する。この関係は、クイックソートなどのアルゴリズムのパフォーマンスを分析するのに役立ちます。^[42]$${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},}$$$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln(n),}$$

代数的でない実数は超越数と呼ばれる。^[43]例えば、πとe は超越数であるが、は超越数ではない。ほとんどすべての実数は超越数である。対数は超越関数の一例である。ゲルフォン・シュナイダーの定理は、対数は通常超越値、つまり「難しい」値を取ると主張している。^[44]${\displaystyle {\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}}$

対数は、 log ₁₀  (1000) = 3のように、簡単に計算できる場合があります。一般に、対数はべき級数または算術幾何平均を使用して計算するか、固定精度を提供する計算済みの対数表から取得できます。 ^{[45] [46]方程式を近似的に解く反復法で} あるニュートン法も、対数の計算に使用できます。これは、その逆関数である指数関数を効率的に計算できるためです。^[47]ルックアップテーブルを使用すると、CORDICのような方法を使用して、加算とビットシフトの操作のみを使用して対数を計算できます。^{[48] [49]}さらに、2進対数アルゴリズムは、関係を利用して 、 xの繰り返しの2乗に基づいて、lb( x ) を 再帰的に計算します。$${\displaystyle \log _{2}\left(x^{2}\right)=2\log _{2}|x|.}$$

0 < z ≤ 2を満たす任意の実数zに対して、次の式が成り立つ: ^{[nb 4] [50]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(z)&={\frac {(z-1)^{1}}{1}}-{\frac {(z-1)^{2}}{2}}+{\frac {(z-1)^{3}}{3}}-{\frac {(z-1)^{4}}{4}}+\cdots \\&=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {(z-1)^{k}}{k}}.\end{aligned}}}$$

関数ln( z )をこの無限和 (級数) に等しくすることは、関数が次の式 (部分和と呼ばれる) によってより正確な値に近似できることを簡潔に表すことになります。

$${\displaystyle (z-1),\ \ (z-1)-{\frac {(z-1)^{2}}{2}},\ \ (z-1)-{\frac {(z-1)^{2}}{2}}+{\frac {(z-1)^{3}}{3}},\ \ldots }$$

たとえば、z = 1.5の場合、3 番目の近似値は0.4167となり、これはln(1.5) = 0.405465より約0.011大きくなります。また、9 番目の近似値は0.40553となり、これは約0.0001だけ大きくなります。加数nの数が十分に大きい 場合、 n番目の部分和は任意の精度でln( z )を近似できます。

初等微積分学では、級数は関数ln( z )に収束すると言われ、関数は級数の極限です。これはz = 1における自然対数のテイラー級数です。ln ( z )のテイラー級数は、 zが小さいとき、つまり | z |<1のとき、 ln(1 + z )の特に有用な近似値を提供します。$${\displaystyle \ln(1+z)=z-{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}-\cdots \approx z.}$$

たとえば、z = 0.1の場合、一次近似ではln(1.1) ≈ 0.1となり、正しい値0.0953から5%未満の誤差となります。

もう一つの級数は逆双曲正接関数に基づいており、 任意の実数z > 0に対してである。^{[注 5] [50]}シグマ記法を用いると、これは次のようにも書ける 。この級数は上記のテイラー級数から導出できる。特にz が1 に近い場合、テイラー級数よりも速く収束する。例えば、z = 1.5の場合、2番目の級数の最初の3つの項は​​ln(1.5)を約$${\displaystyle \ln(z)=2\cdot \operatorname {artanh} \,{\frac {z-1}{z+1}}=2\left({\frac {z-1}{z+1}}+{\frac {1}{3}}{\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)}^{3}+{\frac {1}{5}}{\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)}^{5}+\cdots \right),}$$$${\displaystyle \ln(z)=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+1}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{2k+1}.}$$3 × 10 ⁻⁶。zが1 に近づくとすぐに収束するという利点は、次のように活用できます。低精度の近似値y ≈ ln( z )が与えられ、 z の対数は次のように表されます。 初期近似値yが優れているほど、 A は1 に近くなるため、その対数を効率的に計算できます。A は指数級数を使用して計算できます。指数級数は、 yが大きすぎない場合にすぐに収束します。より大きなzの対数の計算は、 z = a · 10 ^bと書くことで、より小さなzの値に簡略化できます。つまり、ln( z ) = ln( a ) + b · ln(10)となります。 $${\displaystyle A={\frac {z}{\exp(y)}},}$$$${\displaystyle \ln(z)=y+\ln(A).}$$

密接に関連した方法を使用して、整数の対数を計算することができます。上記の級数を当てはめると、次のようになります。 大きな整数 nの対数がわかっている場合、この級数は、収束率がであるlog( n +1)の高速収束級数を生成します。 ${\displaystyle \textstyle z={\frac {n+1}{n}}}$$${\displaystyle \ln(n+1)=\ln(n)+2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+1}}\left({\frac {1}{2n+1}}\right)^{2k+1}.}$$${\textstyle \left({\frac {1}{2n+1}}\right)^{2}}$

算術幾何平均は、自然対数の高精度近似値を生成する。佐々木と金田は1982年に、この方法は400から1000桁の精度で特に高速であることを示したが、テイラー級数法はより低い精度が必要な場合には通常より高速であった。彼らの研究では、ln( x )は2 ^{− p}（またはpビットの精度）に次の式で近似されている（カール・フリードリヒ・ガウス による）：^{[51] [52]}

$${\displaystyle \ln(x)\approx {\frac {\pi }{2\,\mathrm {M} \!\left(1,2^{2-m}/x\right)}}-m\ln(2).}$$

ここで、M( x , y ) はxとyの算術平均と幾何平均を表します。これは、 x と y の平均 ( x + y )/2 (算術平均) と (幾何平均) を繰り返し計算して得られ、それらの2つの数値が次のxとyになります。2つの数値はすぐに共通の限界に収束し、それがM( x , y )の値になります。mは次のように選択されます。 ${\textstyle {\sqrt {xy}}}$

$${\displaystyle x\,2^{m}>2^{p/2}.\,}$$

必要な精度を確保するためです。mが大きいほど、M( x , y ) の計算に必要なステップ数が増えますが (初期のxとy は離れているため、収束するのに必要なステップ数が多くなります)、精度は高くなります。定数πとln(2)は、収束の早い級数で計算できます。

リチャード・ファインマンは、ロスアラモス国立研究所でマンハッタン計画に取り組んでいたとき、長除法に似た対数を計算するビット処理アルゴリズムを開発し、後にコネクションマシンで使用されました。このアルゴリズムは、 1 < x < 2であるすべての実数x は、 1 + 2 ^{− k}という形式の異なる因数の積として表すことができるという事実に依存しています。アルゴリズム は、 P = 1およびk = 1から始めて、その積Pを順次構築します。P · (1 + 2 ^{− k} ) < xの場合、 PをP · (1 + 2 ^{− k} )に変更します。その後、関係なく 1 ずつ増加します。 k が目的の精度を与えるのに十分な大きさになると、アルゴリズムは停止します。 log( x )は、積 Pに係数1 + 2 ^{− k}が含まれるkに対応するlog(1 + 2 ^{− k} )形式の項の合計であるため、log( x )は、すべてのkについてlog(1 + 2 ^{− k} )の表を使用して単純な加算で計算できます。対数表には任意の底を使用できます。^[53]${\displaystyle k}$

対数は数学の内外で多くの用途がある。これらの事例のいくつかはスケール不変性の概念に関連している。例えば、オウムガイの殻の各部屋は、定数倍された隣の部屋の近似コピーである。これにより対数螺旋が生じる。^[54] ベンフォードの先頭数字の分布に関する法則もスケール不変性で説明できる。^{[55]対数は}自己相似性とも関連している。例えば、対数は、問題を2つの類似した小さな問題に分割し、それらの解決策を継ぎ接ぎすることで解くアルゴリズムの分析に現れる。^[56]自己相似な幾何学的形状、つまり、部分が全体像に似ている形状の寸法も対数に基づいている。対数スケールは、値の絶対差ではなく相対的な変化を定量化するために役立つ。さらに、対数関数log( x )はxが大きい場合非常にゆっくりと増加するため、大規模な科学データを圧縮するために対数スケールが使用されます。対数は、ツィオルコフスキーのロケット方程式、フェンスケ方程式、ネルンスト方程式など、数多くの科学式にも登場します。

科学的な量は、対数スケールを使用して、他の量の対数として表現されることが多い。たとえば、デシベルは対数スケールの量に関連付けられた測定単位である。これは、比の常用対数、つまり電力比の常用対数の 10 倍、または電圧比の常用対数の 20 倍に基づいている。これは、電気信号の減衰または増幅を定量化するために使用され、^[57]音響学における音のパワー レベルを記述するために、^[58]分光測定および光学の分野で光の吸収を表すために使用される。 （意味のある）信号に対する不要なノイズの量を表す信号対雑音比も、デシベルで測定される。^[59]同様に、ピーク信号対雑音比は、対数を使用してサウンドおよび画像圧縮方法の品質を評価するために一般的に使用される。 ^[60]

地震の強さは、地震時に放出されるエネルギーの常用対数を取ることで測定されます。これは、モーメントマグニチュードスケールまたはリヒターマグニチュードスケールで使用されます。たとえば、マグニチュード5.0の地震は、マグニチュード4.0の地震の32倍（10 ^1.5）のエネルギーを放出し、6.0の地震は1000倍（10 ³）のエネルギーを放出します。^[61] 見かけのマグニチュードは、星の明るさを対数で測定します。^[62]化学では、10進対数の負の10進対数は、10進対数の負の数です。共対数pHは文字pで示される。[^63]例えば、pHはヒドロニウムイオン（水素イオンH ⁺
（水に取り込む）。^[64]中性水中のヒドロニウムイオンの活量は10 ⁻⁷  mol·L ⁻¹なのでpHは7である。酢のpHは通常約3である。4の差は活量の10 ⁴の比率に相当し、つまり酢のヒドロニウムイオン活量は約10 ⁻³ mol·L ⁻¹である。

半対数（対数線形）グラフは、視覚化のために対数スケールの概念を使用します。つまり、1 つの軸（通常は垂直軸）が対数的にスケールされます。たとえば、右のグラフは、100 万から 1 兆への急激な増加を、1 から 100 万への増加と同じスペース（垂直軸）に圧縮しています。このようなグラフでは、形式f ( x ) = a · b ^xの指数関数は、傾きがbの対数に等しい直線として表示されます。対数対数グラフは両方の軸を対数的にスケールするため、形式f ( x ) = a · x ^kの関数は、傾きが指数kに等しい直線として描画されます 。これは、べき乗法則の視覚化と分析に適用されます。^[65]

対数は、人間の知覚を記述するいくつかの法則に見られる。^{[66] [67]} ヒックの法則は、個人が選択肢を選ぶのにかかる時間と選択肢の数との間に対数関係があることを示唆している。^[68] フィッツの法則は、目標エリアに素早く移動するのに必要な時間は、目標までの距離と目標のサイズの比の対数関数であると予測している。^[69]心理物理学では、ウェーバー・フェヒナーの法則は、人が運んでいる物の実際の重さと知覚された重さなど、刺激と感覚との間に対数関係があることを示唆している。 ^{[70] （ただし、この「法則」は、}スティーブンスのべき乗法則などの最近のモデルほど現実的ではない。^[71]）

心理学的研究によると、数学教育をほとんど受けていない人は量を対数的に見積もる傾向があることがわかった。つまり、彼らは対数に従って無記名の線上に数字を配置し、10 が 100 に最も近い位置に配置され、100 が 1000 に最も近い位置に配置されるようにする。教育が進むと、状況によってはこれが線形推定（1000 を 10 倍離れた位置に配置する）にシフトするが、対数はプロットする数字を線形にプロットするのが難しい場合に用いられる。^{[72] [73]}

対数は確率論で登場する。大数の法則によれば、公平なコインの場合、コインを投げる回数が無限に増えるにつれて、表が出る確率は半分に近づく。この割合が半分付近で変動する様子は、反復対数の法則で説明される。^[74]

対数は対数正規分布にも現れる。ランダム変数の対数が正規分布に従う場合、その変数は対数正規分布に従うと言われる。^[75]対数正規分布は、乱流の研究など、変数が多くの独立した正のランダム変数の積として形成される多くの分野で見られる。^[76]

対数はパラメトリック統計モデルの最大尤度推定に使用されます。このようなモデルでは、尤度関数は推定する必要がある少なくとも 1 つのパラメータに依存します。対数は増加関数であるため、尤度関数の最大値は、尤度の対数 (「対数尤度」) の最大値と同じパラメータ値で発生します。対数尤度は、特に独立したランダム変数の乗算尤度の場合、最大化が容易です。^[77]

ベンフォードの法則は、建物の高さなど、多くのデータセットにおける数字の出現を説明しています。ベンフォードの法則によれば、データサンプル内の項目の最初の小数点以下桁がd (1 から 9) である確率は、測定単位に関係なく、log ₁₀  ( d + 1) − log ₁₀  ( d )に等しくなります。 ^[78]したがって、約 30% のデータは最初の桁が 1 になり、18% は 2 で始まる、などと予想されます。監査人は、ベンフォードの法則からの逸脱を調べて不正会計を検出します。^[79]

対数変換は、経験分布を想定分布に近づけるために使用される データ変換の一種です。

アルゴリズム分析は、アルゴリズム（特定の問題を解決するコンピュータプログラム）のパフォーマンスを研究するコンピュータサイエンスの分野です。 ^{[80]対数は}、問題を小さな問題に分割し、サブ問題の解決策を結合するアルゴリズムを記述するのに役立ちます。^[81]

たとえば、ソートされたリストで数字を見つけるために、バイナリ検索アルゴリズムは中央のエントリをチェックし、それでも数字が見つからない場合は中央のエントリの前または後の半分に進みます。このアルゴリズムでは、平均してlog ₂  ( N )回の比較が必要です。ここで、Nはリストの長さです。^[82]同様に、マージソートアルゴリズムは、ソートされていないリストをソートするために、リストを半分に分割し、結果をマージする前に最初にこれらをソートします。マージソートアルゴリズムは通常、 N · log( N )にほぼ比例する 時間が必要です。^{[83]ここでは対数の底は指定されていません。別の底が使用された場合にのみ結果が定数倍だけ変化するためです。定数倍は通常、標準}均一コストモデルに基づくアルゴリズムの分析では無視されます。^[84]

関数 f ( x ) がxの対数に（正確にまたは近似的に）比例する場合、関数f ( x )は対数的に増加するといいます。（ただし、生物の成長に関する生物学的な説明では、この用語は指数関数に対して使用されます。^[85]）たとえば、任意の自然数N は、バイナリ形式ではlog ₂ N + 1ビット以下で表すことができます。言い換えると、 N を格納するために必要なメモリの量は、Nとともに対数的に増加します。    

エントロピーは、大まかに言うと、あるシステムの無秩序さの尺度です。統計熱力学では、ある物理システムの エントロピー Sは 次のように定義されます。 合計 は、容器内の気体粒子の位置など、問題のシステムのすべての可能な状態iについてです。さらに、 p _{i は}状態iが達成される確率 、 k はボルツマン定数です。同様に、情報理論におけるエントロピーは情報量を測ります。メッセージの受信者がN 個の可能なメッセージのいずれかを等しい確率で期待する場合、そのようなメッセージ 1 つによって伝達される情報量はlog ₂ Nビットとして定量化されます。^[86]$${\displaystyle S=-k\sum _{i}p_{i}\ln(p_{i}).\,}$$ 

リャプノフ指数は、対数を使用して動的システムのカオス性の度合いを測定します。たとえば、楕円形のビリヤード台の上を移動する粒子の場合、初期条件の小さな変化でも粒子の軌道が大きく異なります。このようなシステムは、初期状態の小さな測定誤差が予想どおりに大きく異なる最終状態につながるため、決定論的にカオス的です。 ^[87]決定論的にカオス的なシステムの少なくとも1つのリャプノフ指数は正です。

対数はフラクタル次元の定義に登場します。^[88]フラクタルとは、小さな部分が少なくとも大まかに全体の構造を再現するという意味で自己相似な幾何学的オブジェクトです。シェルピンスキーの三角形（図）は、それぞれが元の長さの半分の辺を持つ3つのコピーで覆うことができます。これにより、この構造のハウスドルフ次元はln(3)/ln(2) ≈ 1.58になります。 対数に基づく次元の別の概念は、問題のフラクタルを覆うために必要なボックスの数を数えることによって得られます。

対数は、音楽の音と音程に関連しています。平均律では、周波数比は 2 つの音の間隔のみによって決まり、個々の音の特定の周波数、つまりピッチには依存しません。現代の西洋音楽で一般的な12 音平均律では、各オクターブ(周波数の 2 倍) が半音と呼ばれる 12 の等間隔の間隔に分割されます。たとえば、音 Aの周波数が 440  Hzの場合、音B♭の周波数は 466 Hz です。AとB ♭ の間の間隔は半音であり、B♭とB (周波数 493 Hz)の間の間隔も同様です。したがって、周波数比は次のようになります。 $${\displaystyle {\frac {466}{440}}\approx {\frac {493}{466}}\approx 1.059\approx {\sqrt[{12}]{2}}.}$$

任意の音程の間隔は、周波数比の2を底とする対数を取ることでオクターブ単位で測定できるほか、2 ^1/12対数（2を底とする対数の12倍）を取ることで平均律の半音単位で測定できるほか、 2 ^1/1200対数（2を底とする対数の1200倍）を取ることで半音の100分の1であるセント単位で測定できる。後者はより細かい測定や非平均律に必要なため、より細かい符号化に用いられる。^[89]

自然対数は、数論における重要なトピックである素数(2、3、5、7、11、...)を数えることと密接に関係している。任意の整数xに対して、 x以下の素数の個数はπ ( x )で示される。素数定理によれば、 π ( x ) は、 xが無限大に近づくにつれてπ ( x )とその分数 の比が 1 に近づくという意味で、近似的に次のように表される 。[ ^{90]結果として、 1 から}x の間でランダムに選ばれた数が素数である確率は、 xの小数点以下の桁数に反比例する。 π ( x )のはるかに優れた推定値は、次のように定義されるオフセット対数積分関数Li( x )によって与えられる。 最古の未解決の数学的な予想の 1 つである リーマン予想は、 π ( x )とLi( x )を比較することで述べることができる。^{[91]異なる}素因数の個数を記述するエルデシュ・カッチの定理には自然対数も含まれる。  $${\displaystyle {\frac {x}{\ln(x)}},}$$$${\displaystyle \mathrm {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {1}{\ln(t)}}\,dt.}$$

nの 階乗の対数n ! = 1 · 2 · ... · nは次のように与えられる。これを使って 、大きなnに対するn !の近似値であるスターリングの公式 を得ることができる。^[92]$${\displaystyle \ln(n!)=\ln(1)+\ln(2)+\cdots +\ln(n).}$$

方程式を解く すべての複素数 a

$${\displaystyle e^{a}=z}$$

は、 z が（複素数とみなされる）複素数であるとき、zの複素対数と呼ばれます。複素数は一般にz = x + iyと表されます。ここで、xとyは実数、i は虚数単位で、その平方は -1 です。このような数は、右に示すように、複素平面上の点で視覚化できます。極形式は、ゼロでない複素数 z をその絶対値、つまり原点 までの（正の実数の）距離rと、実数（x）軸Reと原点とz の両方を通る線との間の角度でエンコードします。この角度はzの引数と呼ばれます。  

zの絶対値rは次のように与えられる 。

$${\displaystyle \textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$$

正弦と余弦の幾何学的解釈と2πにおけるそれらの周期性を用いると、任意の複素数 zは次のように表される。

$${\displaystyle {\begin{aligned}z&=x+iy\\&=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )\\&=r(\cos(\varphi +2k\pi )+i\sin(\varphi +2k\pi )),\end{aligned}}}$$

任意の整数 kに対して成り立つ。明らかに、 zの偏角は一意に特定されない。φとφ' = φ + 2 k π は両方とも、すべての整数 kに対してzの有効な偏角である。なぜなら、φに2 k πラジアンまたはk ⋅360° ^{[nb 6]}を加えることは、原点の周りを反時計回りに k 回転「巻く」ことに対応するからである。結果として得られる複素数は常にzであり、これはk = 1について右に示されている。 φが都合よく選択された１つの回転、例えば− π < φ ≤ π ^[93]または0 ≤ φ < 2 π ^[94]に属することを要求することにより、大文字のAで示される、いわゆる主偏角としてzの可能な偏 角のちょうど１つを選択できる。   

オイラーの公式は三角関数の 正弦と余弦を複素指数に結び付けます。 $${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi .}$$

この式と周期性を用いると、次の等式が成り立つ。^[95]

$${\displaystyle {\begin{aligned}z&=r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)\\&=r\left(\cos(\varphi +2k\pi )+i\sin(\varphi +2k\pi )\right)\\&=re^{i(\varphi +2k\pi )}\\&=e^{\ln(r)}e^{i(\varphi +2k\pi )}\\&=e^{\ln(r)+i(\varphi +2k\pi )}=e^{a_{k}},\end{aligned}}}$$

ここで、ln( r )は唯一の実自然対数、a _{k は}zの複素対数、k は任意の整数です。したがって、 e のa _k乗が z に等しいすべての複素値a _kであるzの複素対数は、 任意の整数kに対する無限に多い値です 。 $${\displaystyle a_{k}=\ln(r)+i(\varphi +2k\pi ),}$$

φ + 2 k π が主引数の定義された区間内にあるようなk をとると、 k_は対数の主値と呼ばれ、大文字の LでLog( z )と表記される。任意の正の実数 xの主引数は 0 である。したがって、Log( x )は実数であり、実数（自然対数）に等しい。しかし、積とべき乗の対数に対する上記の公式は、複素対数の主値には一般化できない。 [ ^96]

右の図はLog( z )を表し、 zの引数を区間(-π, π]に制限しています。このように、複素対数の対応する枝は、負の実数x 軸に沿って不連続性を持ち、そこでの色相のジャンプで確認できます。この不連続性は、境界を横切るときに同じ枝の他の境界にジャンプすること、つまり、連続的に隣接する枝の対応するk値に変化しないことから生じます。このような軌跡は、分岐切断と呼ばれます。引数の範囲制限を削除すると、関係「zの引数」、したがって「zの対数」が多値関数になります。

指数関数は数学の多くの分野で登場し、その逆関数はしばしば対数と呼ばれる。例えば、行列の対数は、行列指数関数の（多値）逆関数である。^[97]もう1つの例は、p進対数であり、 p進指数関数の逆関数である。どちらも、実際の場合と同様にテイラー級数によって定義される。^[98]微分幾何学の文脈では、指数写像は多様体のある点における接空間をその点の近傍に写像する。その逆は対数（またはログ）写像とも呼ばれる。^[99]

有限群の文脈では、指数は群の元 b をそれ自体で繰り返し乗算することによって与えられる。離散対数は、群の元x に対して方程式を解く 整数 nである。指数計算は効率的に実行できるが、離散対数はいくつかの群では非常に計算が難しいと考えられている。この非対称性は、例えば、安全でない情報チャネルを介して暗号鍵を安全に交換できるルーチンであるDiffie-Hellman 鍵交換などの公開鍵暗号で重要な用途がある。^[100]ツェヒの対数は、有限体の非ゼロ元の乗法群の離散対数と関連している。^[101]$${\displaystyle b^{n}=x,}$$

さらに対数のような逆関数には、二重対数 ln(ln( x ))、超4対数または超4対数（コンピュータサイエンスでは、そのわずかなバリエーションが反復対数と呼ばれる）、ランバートW関数、ロジットがある。これらは、二重指数関数、テトレーション、f ( w ) = we ^{wの逆関数[102] 、}ロジスティック関数の逆関数である。^[103]

群論の観点から、恒等式log( cd ) = log( c ) + log( d )は、乗算のもとでの正の実数と加算のもとでの実数との間の群同型性を表現する。対数関数は、これらの群の間の唯一の連続同型性である。^[104]その同型性により、実数上のハール測度（ルベーグ測度）  dxは、正の実数上のハール測度 dx / x^{に対応する。 [105]}非負の実数には乗算だけでなく加算もあり、確率半環と呼ばれる半環を形成する。これは実際には半体である。次に、対数は乗算を加算に変換し（対数乗算）、加算を対数加算に変換し（LogSumExp ）、確率半環と対数半環の間に半環の同型を与える。

対数1形式 df / fは、複素解析学と代数幾何学において対数極を持つ微分形式として現れる。^[106]

多重対数とは、自然対数とLi ₁  ( z ) = −ln(1 − z )で関係する関数 である。さらに、Li _s  (1)はリーマンゼータ関数ζ( s )に等しい。^[107]$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{s}}.}$$

• 10進指数（dex）
• 指数関数
• 対数記事の索引

• ウィキメディア・コモンズの対数に関連するメディア
• ウィクショナリーの対数の辞書定義
• ウィキクォートにおける対数の歴史に関する引用
• 対数に関するレッスンはWikiversityで見つかります
• ワイスシュタイン、エリック W.、「対数」、MathWorld
• カーンアカデミー: 対数、無料のオンラインマイクロ講義
• 「対数関数」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• コリン・バイフリート、対数に関する教育ビデオ、 2010 年10 月 12 日閲覧
• エドワード・ライト、ネイピアの対数に関する著作の翻訳、2002年12月3日時点のオリジナルからアーカイブ、2010年10月12日閲覧
• グレイシャー、ジェームズ・ウィットブレッド・リー（1911）、「対数」 、ヒュー・チザム（編）、ブリタニカ百科事典、第16巻（第11版）、ケンブリッジ大学出版局、pp. 868-77