幾何学の歴史

幾何学（古代ギリシャ語のγεωμετρία、geo-「地球」、-metron 「測定」に由来）は、空間関係を扱う知識の分野として生まれました。幾何学は前近代数学の 2 つの分野のうちの 1 つであり、もう 1 つは数の研究（算術）でした。

古典幾何学はコンパスと定規による作図に重点が置かれていた。幾何学はユークリッドによって革命を起こし、数学的厳密さと今日でも使われている公理的方法を導入した。彼の著書『原論』は史上最も影響力のある教科書と広く考えられており、20世紀半ばまで西洋の知識人なら誰でも知っていた。^[1]

現代では、幾何学の概念は高度に抽象化され、複雑化しており、微積分や抽象代数の手法が取り入れられているため、この分野の多くの現代分野は初期の幾何学の子孫であるとはほとんど認識できません。（「数学の領域」および「代数幾何学」を参照してください。）

記録に残る最も古い幾何学の始まりは、紀元前3000年頃の古代インダス文明（ハラッパー数学を参照）や古代バビロニア（バビロニア数学を参照）などの古代民族にまで遡ることができます。初期の幾何学は、長さ、角度、面積、体積に関する経験的に発見された原理の集まりであり、測量、建築、天文学、さまざまな工芸における実際的な必要性を満たすために発展しました。これらの中には驚くほど洗練された原理もあり、現代の数学者でも微積分や代数を使わずにそのいくつかを導き出すのは難しいかもしれません。たとえば、エジプト人とバビロニア人はピタゴラスより約1500年も前にピタゴラスの定理のバージョンを知っており、紀元前800年頃のインドのスルバ・スートラには定理の最初の記述が含まれていました。エジプト人は四角錐の 錐台の体積の正しい公式を持っていました。

古代エジプト人は円の面積を次のように近似できることを知っていました。^[2]

円の面積 ≈ [ (直径) x 8/9 ] ² .

アハメス・パピルスの問題 50 では、これらの方法を使用して、面積は円の直径の 8/9 の 2 乗に等しいという規則に従って円の面積を計算します。これは、πが 4×(8/9) ² (または 3.160493...) であると仮定しており、誤差は 0.63 パーセントをわずかに超えます。この値は、バビロニア人の計算(25/8 = 3.125、0.53 パーセント以内) よりわずかに正確ではありませんでしたが、アルキメデスの近似値 211875/67441 = 3.14163 までこれを超えることはありませんでした。この近似値の誤差は 10,000 分の 1 をわずかに超える程度でした。

アーメスは現代の 22/7 がπの近似値であることを知っており、それをヘカットの分割に使用しました。ヘカット x 22/xx 7/22 = ヘカット; ^{[出典が必要]}しかし、アーメスはシリンダー内のヘカットの体積を計算するために、 伝統的なπの値 256/81 を使い続けました。

問題 48 では、辺の長さが 9 単位の正方形を使用します。この正方形は 3x3 のグリッドに切り分けられます。角の正方形の対角線を使用して、面積が 63 単位の不規則な八角形が作成されます。これにより、πの 2 番目の値として 3.111 が得られました...

2 つの問題を合わせると、πの値は3.11 から 3.16 の範囲にあることがわかります。

モスクワ数学パピルスの問題 14 には、ピラミッドの 円錐台の体積を求める唯一の古代の例が示されており、正しい公式が説明されています。

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}h(a^{2}+ab+b^{2})}$

ここで、aとb はそれぞれ切頂角錐の底辺と上辺の長さ、h は高さです。

バビロニア人は、面積と体積の測定に関する一般的な規則を知っていた可能性があります。彼らは円の円周を直径の 3 倍、面積を円周の 2 乗の 12 分の 1 として測定しました。これは、π を3 と見積もれば正しいことになります。円筒の体積は底辺と高さの積として取られましたが、円錐台や四角錐の体積は高さと底辺の合計の半分の積として誤って取られました。ピタゴラスの定理もバビロニア人には知られていました。また、最近発見された粘土板ではπ が3 と 1/8 として使われていました。バビロニア人は、今日の約 7 マイルに相当する距離の単位であるバビロニア マイルでも知られています。この距離の単位は、最終的に太陽の移動を測定するために使用される時間マイルに変換され、したがって時間を表します。^[3]古代バビロニア人はヨーロッパ人よりも1400年近くも前に天文学的幾何学を発見していた可能性があることを示す最近の発見がありました。^[4]

インドのヴェーダ時代には幾何学の伝統があり、それは主に精巧な祭壇の建設に表れていた。このテーマに関する初期のインドの文献（紀元前1千年紀）には、サタパタ・ブラフマナやシュルバ・スートラなどがある。^{[5] [6] [7]}

シュルバ・スートラは「古代バビロニア人にはすでに知られていたが、ピタゴラスの定理を言葉で表現した世界最古の現存する書物」と評されている。^[8]シュルバ・スートラでは、ピタゴラスの定理^{[9] [10]}が用いられており、これはディオファントス方程式の特殊なケースである。^[11]

数学者SGダニによれば、紀元前1850年頃に書かれたバビロニアの楔形文字板プリンプトン322 ^[12]には「かなり長いエントリを持つ15のピタゴラスの三つ組が含まれており、その中には原始的な三つ組である(13500、12709、18541)も含まれている^[13]。これは特に、紀元前1850年のメソポタミアでこのテーマに関する高度な理解があったことを示している」^[14] 。 「これらの板はスルバスートラ時代より数世紀前のものであるため、三つ組のいくつかが文脈上どのように現れているかを考慮すると、インドでも同様の理解があったと予想するのは妥当である。」^[14]ダニはさらに次のように述べている。^[15]

スルヴァスートラの主な目的は祭壇の建設とそれに関わる幾何学的原理を記述することであったため、ピタゴラスの三つ組という主題は、たとえよく理解されていたとしても、スルヴァスートラには取り上げられなかったかもしれない。スルヴァスートラにおける三つ組の出現は、建築学やその他の同様の応用分野の入門書で出会う数学に匹敵し、当時のその主題に関する全体的な知識に直接対応するものではない。残念ながら、同時代の他の資料が見つかっていないため、この問題を満足のいく形で解決することは決して不可能かもしれない。

ミレトス（現在のトルコ南西部）のタレス（紀元前635年 - 紀元前543年）は、数学における演繹の発明者として最初に挙げられる人物である。彼が演繹的証明を書いた幾何学的命題は5つあるが、その証明は現存していない。イオニア、後にはイタリア（当時はギリシャの植民地であった）のピタゴラス（紀元前582年 - 紀元前496年）はタレスの弟子だった可能性があり、バビロンやエジプトへ旅した。彼の名を冠した定理は彼の発見ではなかったかもしれないが、彼はおそらくその定理の演繹的証明を行った最初の人物の1人であった。彼は数学、音楽、哲学を学ぶ学生たちを集め、今日高校生が幾何学の授業で学ぶことのほとんどを一緒に発見した。さらに、彼らは通約不可能な長さと無理数という重大な発見をした。

プラトン（紀元前427年 - 347年）はギリシャ人から高く評価された哲学者だった。彼が自分の有名な学校の入り口の上に「幾何学を知ら​​ない者は誰もここに入るな」と刻んだという伝説がある。しかし、この物語は真実ではないと考えられている。^[16]彼自身は数学者ではなかったが、彼の数学に対する見解は大きな影響力を持っていた。そのため、数学者たちは、幾何学ではコンパスと定規以外の道具は使用すべきではなく、目盛り付きの定規や分度器などの測定器具は決して使用すべきではないという彼の信念を受け入れた。なぜなら、これらは作業員の道具であり、学者にふさわしくないからである。この格言は、コンパスと定規の可能な作図法と、3つの古典的な作図問題、すなわちこれらの道具を使って角度を3等分する方法、与えられた立方体の2倍の体積の立方体を作る方法、与えられた円と面積が等しい正方形を作る方法の徹底的な研究につながった。これらの構成が不可能であることの証明は、19 世紀にようやく達成され、実数体系の深層構造に関する重要な原理につながりました。プラトンの最も偉大な弟子であるアリストテレス(紀元前 384 年 - 322 年) は、演繹的証明で使用される推論方法に関する論文を書きました (論理学を参照)。この論文は 19 世紀まで大幅に改良されることはありませんでした。

アレクサンドリアのユークリッド（紀元前325年頃 - 紀元前265年）は、おそらくプラトンが設立したアカデミーの学生で、13巻（章）からなる論文『幾何学原論』を著し、理想的な公理形式で幾何学を提示しました。これはユークリッド幾何学として知られるようになりました。この論文は、当時のヘレニズム数学者が幾何学について知っていたことのすべてをまとめたものではありません。ユークリッド自身は、幾何学に関するさらに高度な本を8冊書いています。他の文献から、ユークリッドのものが最初の初等幾何学の教科書ではなかったことが分かっていますが、ユークリッドの教科書が非常に優れていたため、他の教科書は使われなくなり、紛失しました。彼はエジプト王 プトレマイオス1世によってアレクサンドリアの大学に連れてこられました。

『原論』は、用語の定義、基本的な幾何学原理（公理または公準と呼ばれる）、および一般的な定量的原理（共通概念と呼ばれる）から始まり、これらから残りのすべての幾何学が論理的に演繹されます。以下は、英語を読みやすくするために多少言い換えた彼の 5 つの公理です。

1. 任意の 2 つの点は直線で結ぶことができます。
2. 任意の有限直線は直線に延長できます。
3. 任意の中心と任意の半径で円を描くことができます。
4. すべての直角は互いに等しい。
5. 平面上の 2 本の直線が別の直線 (交差線と呼ばれる) と交差し、その 2 本の直線と交差線の片側にある交差線との間の内角の合計が 2 直角未満である場合、交差線のその側で、延長された 2 本の直線は交差します (平行公理とも呼ばれます)。

現在では代数学として理解されている概念は、ユークリッドによって幾何学的に表現され、その方法はギリシャ幾何代数学と呼ばれていました。

アルキメデス（紀元前287年 - 紀元前212年）は、ギリシャの都市国家だったシチリア島シラクサ出身で、ヘレニズム時代の最も有名な数学者の一人である。静水力学の原理（アルキメデスの原理として知られる）の定式化と、『円の測定』や『円錐体と回転楕円体について』などの幾何学の著作で知られている。『浮体について』は静水力学に関する最初の著作として知られ、アルキメデスはその創始者とみなされている。古代の注釈を含む彼の著作のルネサンス時代の翻訳は、17世紀の最も優れた数学者、特にルネ・デカルトやピエール・ド・フェルマーの著作に多大な影響を与えた。^[17]

アルキメデスの後、ヘレニズム数学は衰退し始めた。まだ少数のマイナースターがいたが、幾何学の黄金時代は終わった。『ユークリッド第一書注解』の著者プロクロス（410-485）は、ヘレニズム幾何学の最後の重要な人物の一人だった。彼は有能な幾何学者だったが、さらに重要なのは、彼が自分より前の作品の優れた注解者だったことだ。その作品の多くは現代まで残っておらず、彼の注解を通じてのみ知られている。ギリシャの都市国家を継承して吸収したローマ共和国とローマ帝国は、優れた技術者を生み出したが、注目すべき数学者は生み出さなかった。

アレクサンドリアの偉大な図書館は後に焼失した。歴史家の間では、アレクサンドリア図書館はおそらくいくつかの破壊的な出来事に見舞われたが、4世紀後半のアレクサンドリアの異教の寺院の破壊が最も深刻で最後のものであったという意見が広まりつつある。その破壊の証拠は最も決定的で確実なものである。シーザーの侵攻により、港に隣接する倉庫にあった約4万～7万の巻物が失われた可能性は高い（ルチアーノ・カンフォラの主張によると、それらはおそらく図書館が輸出用に作成したコピーだった）が、後に図書館や博物館が存在したという十分な証拠があることを考えると、図書館や博物館に影響が及んだ可能性は低い。^[18]

内戦、新しい巻物の維持と取得への投資の減少、そして非宗教的な活動への関心の全般的な低下が、特に 4 世紀に図書館で利用可能な資料の量の減少につながったと考えられます。セラペウムは 391 年にテオフィロスによって破壊されたことは確かであり、博物館と図書館も同じ攻撃の犠牲になった可能性があります。

バクシャーリー写本には、いくつかの幾何学の問題（不規則な立体の体積に関する問題を含む）が掲載されている。バクシャーリー写本では、「ゼロにドットを付した小数点方式も採用されている」。^[19] アリヤバタの『アリヤバティヤ』（499）には、面積と体積の計算が含まれている。

ブラフマグプタは628年に天文学の著作『ブラフマ・スプタ・シッダーンタ』を著した。66のサンスクリット語詩からなる第12章は、「基本演算」（立方根、分数、比率と比例、物々交換を含む）と「実用数学」（混合、数列、平面図形、レンガ積み、木材の製材、穀物の積み上げを含む）の2つのセクションに分かれている。^{[20]後者のセクションでは、彼は}円周四辺形の対角線に関する有名な定理を述べている。^[20]

ブラフマグプタの定理:円周四辺形の対角線が互いに垂直である場合、対角線の交点から四辺形の任意の辺に引いた垂線は、常に反対側の辺を二等分します。

第 12 章には、円周四辺形の面積の公式 (ヘロンの公式の一般化) と、有理三角形(つまり、有理数辺と有理数面積を持つ三角形) の完全な説明も含まれていました。

ブラフマグプタの公式：辺の長さがそれぞれa、b、c、dである円四辺形の面積Aは次のように表される。

${\displaystyle A={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}$

ここで、s は半周長であり、次のように与えられます。${\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}.}$

有理三角形に関するブラフマグプタの定理:有理辺と有理面積を持つ三角形は次の形式になります。 ${\displaystyle a,b,c}$

${\displaystyle a={\frac {u^{2}}{v}}+v,\ \ b={\frac {u^{2}}{w}}+w,\ \ c={\frac {u^{2}}{v}}+{\frac {u^{2}}{w}}-(v+w)}$

いくつかの有理数とに対して。^[21]${\displaystyle u,v,}$${\displaystyle w}$

パラメシュヴァラ・ナンブディリは、円周四辺形に外接する円の半径の公式を示した最初の数学者でした。 ^[22]この式は、350年後のルイリエ[1782]に帰属されることもあります。円周四辺形の辺をa、b、c、 dとすると、外接円の 半径Rは次のようになります。

${\displaystyle R={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}}}.}$

中国における幾何学に関する最初の決定的な著作（少なくとも現存する最古の著作）は、初期の哲学者墨子（紀元前470-390年）の墨家経典である『墨経』^{である。これは墨子の死後何年も経って、紀元前330年頃に信奉者によって編纂された。 [23]} 『墨経』は中国で現存する最古の幾何学に関する書物であるが、さらに古い文献が存在した可能性もある。しかし、秦の始皇帝（在位紀元前221-210年）による政治的策略で起きた悪名高い焚書により、始皇帝の時代以前に作成された多数の文献が抹殺された。さらに、『墨経』は数学における幾何学的概念を提示しているが、それはおそらく、それ以前の幾何学的基礎や数学的背景なしには扱えないほど高度であったと思われる。

『墨経』は、物理科学に関連する多くの分野のさまざまな側面を説明し、数学についても少量の豊富な情報を提供した。『墨経』は幾何学的な点の「原子論的」定義を提供し、線は複数の部分に分かれており、残りの部分がなく（つまり、より小さな部分に分割できない）、したがって線の端を形成する部分が点であると述べた。^[23]ユークリッドの第一および第三の定義やプラトンの「線の始まり」と同様に、 『墨経』は「点は（線の）終わりに立つことも、出産時の頭位のように線の始まりに立つこともできる。（その不可視性に関しては）それに似たものは何もない」と述べた。^[24]デモクリトスの原子論者と同様に、墨経は点が最小の単位であり、半分に切ることはできないと述べた。なぜなら、「何もの」も半分にできないからである。^[24]長さの等しい2本の線は常に同じ場所で終わると述べ、^[24]長さの比較と平行線の定義、^[25]空間と境界のある空間の原理も示しています。^[26]また、厚みのない平面は互いに接触できないため積み重ねることができないという事実も説明しています。^[27]この本では、円周、直径、半径の定義、および体積の定義が提供されています。^[28]

中国の漢王朝（紀元前202年-紀元後220年）の時代は、数学が新たに開花した時代でした。等比数列を提示した中国の最古の数学書の一つは、前漢時代の紀元前186年の算書です。数学者、発明家、天文学者の張衡（紀元後78年-139年）は、数学の問題を解くために幾何学的な公式を使用しました。円周率（π ）のおおよその推定値は周礼（​​紀元前2世紀に編纂）で示されていますが、 ^[29]より正確な円周率の公式を作成するために初めて努力したのは張衡でした。張衡は円周率を730/232（約3.1466）と概算しましたが、球形の体積を求める際には10の平方根（約3.162）を使用する別の円周率の公式を使用しました。祖崇志（429-500年）は円周率の近似値の精度を3.1415926から3.1415927の間に改善し、³⁵⁵ ⁄ ₁₁₃（密率、Milü、詳細な近似値）と²² ⁄ ₇（约率、Yuelü、大まかな近似値）も注目すべき近似値であった。^{[30]後の研究と比較すると、フランスの数学者}フランシスクス・ヴィエタ（1540-1603）が示した円周率の公式は祖の近似値の中間に位置していた。

『九章算術』は、179年に青銅の碑文にその題名が初めて登場し、3世紀の曹魏の国の数学者劉徽によって編集され注釈が付けられました。この本には、正方形や円の表面積、さまざまな3次元形状の立体の体積の求め方など、幾何学を応用した問題が数多く含まれており、ピタゴラスの定理も使用されています。この本にはピタゴラスの定理の図解付き証明があり、 ^[31]先代の周公と商高の間で直角三角形とピタゴラスの定理の性質について書かれた対話が含まれており、天文学の日時計、円と正方形、高さと距離の測定についても言及されています。 ^[32]編纂者の劉徽は、192辺の多角形を使用して円周率を3.141014と記載し、次に3072辺の多角形を使用して円周率を3.14159と計算した。これは、劉徽と同時代の東呉出身の数学者で天文学者の王凡が¹⁴² ⁄ _45を使用して円周率を3.1555と表現するよりも正確であった。 ^[33]劉徽は、深さ、高さ、幅、表面積の距離測定を計算するための数学的測量についても書いている。立体幾何学では、彼は、長方形の底辺と両側が傾斜しているくさびは、ピラミッドと四面体くさびに分解できることを突き止めた。 ^{[34]彼はまた、}台形の底辺と両側が傾斜しているくさびは、ピラミッドで区切られた2つの四面体くさびを作ることができることを突き止めた^{。 [34]}さらに劉徽は、カヴァリエリの体積原理やガウスの消去法についても説明している。『九章論』からは、前漢時代（紀元前202年～紀元9年）までに知られていた以下の幾何学公式が列挙されている。

^[35]の領域

^[34]の巻

古代中国の幾何学の伝統を引き継いだ人物は数多く存在し、その中には有名な天文学者で数学者の沈括（ 1031年～1095年）、パスカルの三角形を発見した楊回（1238年～1298年） 、徐光啓（1562年～1633年）など、他にも数多くいます。

タービト・イブン・クルラは、いわゆる「縮小と合成の方法」を用いて、すべての三角形に対するピタゴラスの定理の2つの異なる一般的な証明を与えた。それ以前には、特別な直角三角形の特別な場合の定理の証明しか存在しなかった。^[36]

2007年にサイエンス誌に掲載された論文では、ギリヒタイルにはペンローズタイルのような自己相似 フラクタル 準結晶タイルと一致する特性があることが示唆された。^{[37] [38]}

ギリシャ古典が9世紀から10世紀の「イスラム黄金時代」のアラビア文学を介して中世ヨーロッパに伝わったのは10世紀に始まり、12世紀のラテン語訳で最高潮に達した。プトレマイオスの『アルマゲスト』のコピーは、ヘンリー・アリスティッポス（1162年没）によって、皇帝からウィリアム1世（在位1154年 - 1166年）への贈り物としてシチリアに持ち帰られた。サレルノの無名の学生がシチリアを訪れ、『アルマゲスト』とユークリッドのいくつかの作品をギリシャ語からラテン語に翻訳した。^[39]シチリア人は一般にギリシャ語から直接翻訳したが、ギリシャ語のテキストが利用できない場合はアラビア語から翻訳した。パレルモのエウゲニウス（1202年没）は、3言語すべての知識を活用して、プトレマイオスの『光学』をラテン語に翻訳した。^{[40]ユークリッドの}『幾何学原論』に見られる厳密な演繹的手法が再学習され、ユークリッド（ユークリッド幾何学）とカイヤーム（代数幾何学）の両方のスタイルで幾何学のさらなる発展が続けられ、多くの非常に深遠で優雅な新しい定理や概念が生まれました。

14世紀から15世紀のルネサンス美術では、遠近法の扱いが古代の成果を上回るほど進歩した。14世紀から15世紀のルネサンス建築では、建築秩序の概念が探求され、規則が策定された。その代表的な例は、フィリッポ・ブルネレスキ（1377-1446）によるフィレンツェのサン・ロレンツォ大聖堂である。^[41]

1413年頃、フィリッポ・ブルネレスキは、鏡にフィレンツェのさまざまな建物の輪郭を描くことで、今日の芸術家が使用する幾何学的な遠近法を実証しました。その後すぐに、フィレンツェとイタリアのほぼすべての芸術家が絵画に幾何学的な遠近法を使用し、 ^[42]マソリーノ・ダ・パニカーレとドナテッロが有名です。メロッツォ・ダ・フォルリは（ローマ、ロレート、フォルリなどで）上方短縮法を初めて使用し、そのことで称賛されました。遠近法は奥行きを示す方法であるだけでなく、絵画を構成する新しい方法でもありました。絵画は、いくつかのシーンの組み合わせではなく、単一の統一されたシーンを示すようになりました。

フィレンツェで正確な遠近法の絵画が急速に普及したことからもわかるように、ブルネレスキは（友人の数学者トスカネッリの助けを借りて）遠近法の背後にある数学を理解していたと思われるが^[43]、それを出版することはなかった。数十年後、友人のレオン・バッティスタ・アルベルティは、ユークリッド幾何学に基づいて絵画で距離を示す適切な方法についての論文『絵画について』 （1435/1436年）を著した。アルベルティはまた、パドヴァ学校で、アルハゼンの『光学』を学んだビアジョ・ペラカーニ・ダ・パルマの影響下で光学の科学を学んだ。

ピエロ・デラ・フランチェスカは、 1470年代に著書『遠近法の考察』でデラ・ピトゥーラについて詳しく述べています。アルベルティは、地平面上の人物像と遠近法の全体的な基礎にとどまっていました。デラ・フランチェスカはそれをさらに充実させ、絵画平面のあらゆる領域にある立体を明示的に取り上げました。また、デラ・フランチェスカは、数学的概念を説明するために図解を使用するという、今では一般的な手法を考案し、アルベルティの論文よりも理解しやすくしました。デラ・フランチェスカは、遠近法で見える プラトン立体を正確に描いた最初の人物でもあります。

遠近法は、しばらくの間、フィレンツェの領域にとどまっていました。ヤン・ファン・エイクなどは、ロンドンの『アルノルフィーニ夫妻の肖像』のように、絵画の収束線に一貫した構造を作り出すことができませんでした。それは、当時イタリアで起こっていた理論的躍進に気づいていなかったからです。しかし、室内ではスケールの操作によって非常に微妙な効果を実現しました。徐々に、そして部分的には芸術アカデミーの動きを通じて、イタリアの技法がヨーロッパ全土、そして後には世界の他の地域の芸術家の訓練の一部となりました。これらのルネサンスの伝統の頂点は、建築家、幾何学者、光学士のジラール・デザルグによる遠近法、光学、射影幾何学の研究に究極の統合を見出します。

レオナルド・ダ・ヴィンチ（1490年頃）^[44]の「ウィトルウィウス的人体図」は、円と四角形の中に腕と足を広げた2つの重ね合わせた姿勢の男性を描いている。この絵は、古代ローマの建築家ウィトルウィウスが著書『建築について』第3巻で述べた理想的な人間の比率と幾何学との相関関係に基づいている。

17 世紀初頭、幾何学において 2 つの重要な発展がありました。最初で最も重要な発展は、ルネ・デカルト (1596–1650) とピエール・ド・フェルマー(1601–1665) による解析幾何学、つまり座標と方程式を用いた幾何学の創始でした。これは、微積分学と物理学の正確な定量的科学の発展に不可欠な前兆でした。この時期の幾何学の 2 つ目の発展は、ジラール・デザルグ(1591–1661)による射影幾何学の体系的な研究でした。射影幾何学は、測定を行わない幾何学の研究であり、点がどのように互いに揃っているかを研究するものです。この分野では、ヘレニズム時代の幾何学者、特にパップス(c. 340) による初期の研究が行われていました。この分野が最も開花したのは、ジャン＝ヴィクトール・ポンスレ(1788–1867) の時代でした。

17 世紀後半、アイザック ニュートン(1642–1727) とゴットフリート ヴィルヘルム ライプニッツ(1646–1716) は、それぞれ独立に、そしてほぼ同時に微積分学を開発しました。これが、現在解析学と呼ばれる数学の新しい分野の始まりでした。微積分学自体は幾何学の一分野ではありませんが、幾何学に応用でき、長い間ほとんど解決不可能とされていた 2 種類の問題、つまり奇曲線の接線を求める問題と、それらの曲線で囲まれた面積を求める問題を解きました。微積分学の手法により、これらの問題はほとんど計算という単純な問題にまで簡略化されました。

ユークリッドの第 5 公準である「平行線公準」を最初の 4 つの公準から証明するという非常に古い問題は、決して忘れ去られることはありませんでした。ユークリッドの死後間もなく、多くの証明が試みられましたが、後に、最初の 4 つの公準から証明されていない原理を推論に取り入れていたため、すべてが誤りであることが判明しました。オマール・カイヤームも平行線公準の証明には成功しませんでしたが、ユークリッドの平行線理論に対する彼の批判と非ユークリッド幾何学における図形の特性の証明は、非ユークリッド幾何学の最終的な発展に貢献しました。1700 年までに、最初の 4 つの公準から何が証明できるか、そして 5 番目の公準を証明しようとする際の落とし穴が何であるかについて、多くのことが発見されました。サッケリ、ランバート、ルジャンドルはそれぞれ 18 世紀にこの問題に関する優れた研究を行いましたが、それでも成功には至りませんでした。 19 世紀初頭、ガウス、ヨハン・ボヤイ、ロバチェフスキーはそれぞれ独立に異なるアプローチをとった。平行線公準を証明するのは不可能だと疑い始めた彼らは、その公準が偽である自己無撞着な幾何学を展開しようとした。彼らはこれに成功し、最初の非ユークリッド幾何学を生み出した。1854 年までに、ガウスの弟子ベルンハルト・リーマンは微積分の手法を応用して、すべての滑らかな表面の本質的 (自己完結的) 幾何学の画期的な研究を行い、別の非ユークリッド幾何学を発見した。このリーマンの研究は後にアインシュタインの相対性理論の基礎となった。

非ユークリッド幾何学がユークリッド幾何学と同様に自己無矛盾であることが数学的に証明される必要があったが、これは1868 年にベルトラミによって初めて証明された。これにより、非ユークリッド幾何学はユークリッド幾何学と同等の数学的基盤の上に確立された。

さまざまな幾何学理論が数学的に可能であることはわかっていましたが、「これらの理論のうちどれが私たちの物理的空間に正しいのか？」という疑問は残りました。数学的研究により、この疑問は数学的推論ではなく物理的実験によって答えられなければならないことが明らかになり、実験が巨大な距離（地球ではなく星間）を伴わなければならない理由が明らかになりました。物理学における相対性理論の発展により、この疑問ははるかに複雑になりました。

平行線公理に関連するすべての研究は、幾何学者が論理的推論を物理的空間の直観的理解から切り離すことが極めて困難であること、さらに、そうすることが極めて重要であることを明らかにした。注意深い調査により、ユークリッドの推論にはいくつかの論理的欠陥があり、ユークリッドが時折頼っていたいくつかの暗黙の幾何学的原理が明らかになった。この批判は、収束や連続性などの無限過程の意味に関して微積分学と解析学で起こっていた危機と並行していた。幾何学では、完全で、私たちが描く図や空間の直観にまったく依存しない新しい公理のセットが明らかに必要だった。現在ヒルベルトの公理として知られているそのような公理は、 1894年にデイヴィッド・ヒルベルトが学位論文「幾何学の基礎」 で示した。

18 世紀半ば、数直線上、2 次元、3 次元で同様のアイデアを研究すると、数学的推論の特定の進行が繰り返されることが明らかになりました。したがって、距離空間の一般概念が作成され、推論をより一般的に実行し、特殊なケースに適用できるようになりました。微積分と解析に関連する概念を研究するこの方法は、解析学として、後に位相幾何学として知られるようになりました。この分野の重要なトピックは、ユークリッド幾何学と非ユークリッド幾何学の焦点であった直線性や長さと角度の測定の正確な等式などの特性ではなく、連結性や境界など、より一般的な図形の特性でした。位相幾何学はすぐに、幾何学や解析学のサブフィールドではなく、重要な独立した分野になりました。

19 世紀には、ユークリッド幾何学を 3 次元を超えて拡張したルートヴィヒ・シュレーフリによって、ユークリッド空間の一般概念が発展しました。彼はプラトン立体の高次元類似体をすべて発見し、 4 次元にはそのような正凸多面体がちょうど 6 個、高次元には 3 個存在することを発見しました。

1878 年、ウィリアム・キングドン・クリフォードは、ウィリアム・ローワン・ハミルトンの四元数とヘルマン・グラスマンの代数を統合し、特に 4 次元におけるこれらのシステムの幾何学的性質を明らかにした、現在では幾何代数と呼ばれるものを導入しました。幾何代数の演算には、モデル化されている幾何学的オブジェクトを新しい位置にミラーリング、回転、変換、マッピングする効果があります。

代数幾何学の発展には、アンドレ・ヴェイユ、アレクサンダー・グロタンディーク、ジャン＝ピエール・セールらの研究で実証された有限体上の曲線と曲面の研究や、実数や複素数上の研究も含まれている。有限幾何学自体は、有限個の点のみを持つ空間の研究であり、符号理論や暗号学に応用されている。コンピュータの出現により、計算幾何学やデジタル幾何学などの新しい分野が、幾何学アルゴリズム、幾何学データの離散的表現などを扱っている。

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平地

• 4次元の概念を理解するために、 A.スクエアによる2次元と3次元の空間に関する本「フラットランド」
• 幾何学のタイムライン– 幾何学の歴史における注目すべき出来事
• ユークリッド幾何学の歴史
• 非ユークリッド幾何学の歴史
• 数学の歴史
• 測定の歴史
• 宇宙の歴史（数学）
• 幾何学における重要な出版物
• インタラクティブな幾何学ソフトウェア
• 幾何学トピックのリスト
• 現代の三角形の幾何学

• クック、ロジャー（2005）、数学の歴史、ニューヨーク：ワイリー・インターサイエンス、632ページ、ISBN 978-0-471-44459-6
• Dani, SG (2003 年 7 月 25 日)、「Śulvasūtras におけるピタゴラスの三つ組について」(PDF)、Current Science、85 (2): 219–224、2003-08-04にオリジナルからアーカイブ(PDF)
• 林孝雄 (2003)、「インドの数学」、グラッタン・ギネス・アイヴァー編『数学の歴史と哲学の百科事典』第 1 巻、メリーランド州ボルチモア:ジョンズ・ホプキンス大学出版局、976 ページ、pp. 118–130、ISBN 978-0-8018-7396-6
• 林孝雄 (2005)、「インドの数学」、フラッド、ギャビン (編)、『ブラックウェル・コンパニオン・トゥ・ヒンズー教』、オックスフォード:バジル・ブラックウェル、616 ページ、pp. 360–375、ISBN 978-1-4051-3251-0
• ジョセフ・GG（2000）『孔雀の紋章：数学の非ヨーロッパ起源』プリンストン、ニュージャージー州：プリンストン大学出版局、416ページ、ISBN 978-0-691-00659-8
• クヌーセン、トーケ・リンデガード (2018)。「紀元650年までのインドの数学」。ジョン・スカーバラ、ポール・ターカンド・ケイザー (編)。『古典世界における科学と医学のオックスフォード・ハンドブック』。オックスフォード大学出版局。pp. 83–94。

• ニーダム、ジョセフ（1986）、中国の科学と文明：第3巻、数学と天と地の科学、台北：Caves Books Ltd
• スタール、フリッツ（1999）、「ギリシャとヴェーダの幾何学」、インド哲学ジャーナル、27（1–2）：105–127、doi：10.1023 / A：1004364417713、S2CID  170894641
• スティルウェル、ジョン（2004）、ベルリンとニューヨーク：数学とその歴史（第2版）、シュプリンガー、568ページ、ISBN 978-0-387-95336-6

• スタンフォード哲学百科事典の19世紀の幾何学
• アラビア数学：忘れられた輝き？